تجاوز إلى المحتوى الرئيسي
تابعنا على تيليجرامانضم

تكامل اقترانات خاصة

التكامل · الرياضيات

آخر تحديث:

محتويات الموضوع (٢٠)

شرح الموضوع

💡 فكرة الدرس: إيجاد تكاملات تتضمّن اقترانات أُسّية، ومثلثية، ولوغاريتمية طبيعية.

تكامل اقترانات خاصة

  • إيجاد تكاملات تتضمّن اقترانات أُسّية، ومثلثية، ولوغاريتمية طبيعية.

الاقتران الأُسّي: كيف نعكس مشتقته؟

تكامل الاقترانات الأُسّية

∫f(x)dx=F(x)+C\int f(x)dx = F(x) + C
∫abf(x)dx=F(x)∣ab=F(b)−F(a)\int_{a}^{b} f(x)dx = F(x) \Big|_{a}^{b} = F(b) - F(a)
  • حدود التكامل من ⁦a⁩ إلى ⁦b⁩.
  • أستعمل هذا الرمز بعد الانتهاء من عملية التكامل.
  • قيمة الاقتران الأصلي:
  • عند الحدّ العلوي.
  • عند الحدّ السفلي.
  • التكامل والاشتقاق عمليتان عكسيتان؛ لذا نجد صيغًا مباشرة لتكامل اقترانات ناتجة من اشتقاق اقترانات مشهورة، مثل الاقترانات الأُسّية.

مفهوم أساسي

---
∫exdx=ex+C\int e^x dx = e^x + C
∫kxdx=kxln⁡k+C\int k^x dx = \frac{k^x}{\ln k} + C
∫eax+bdx=1aeax+b+C\int e^{ax+b} dx = \frac{1}{a} e^{ax+b} + C
∫kax+bdx=kax+baln⁡k+C\int k^{ax+b} dx = \frac{k^{ax+b}}{a \ln k} + C

مثال 1

أجد كُلًا من التكاملات الآتية:

a. ∫(5x2−3e7x)dx\int (5x^2 - 3e^{7x}) dx

b. ∫0ln⁡38e4xdx\int_{0}^{\ln 3} 8e^{4x} dx

c. ∫e1−xdx\int \sqrt{e^{1-x}} dx

d. ∫(3x+2x)dx\int (3^x + 2\sqrt{x}) dx

ارجع إلى مسألة اليوم وجرّب حلّها بقاعدة الاقتران الأُسّي.

تكامل الاقترانات المثلثية

المثلثية: كيف نعكس مشتقاتها الست؟

  • تعلّمتُ سابقًا إيجاد مشتقات الاقترانات الست.
  • ومن ثمّ يُمكن إيجاد تكاملات الاقترانات المثلثية الناتجة من مشتقاتها بصورة مباشرة.

مفهوم أساسي: صيغ تكاملات مثلثية (1)

---
∫sin⁡xdx=−cos⁡x+C\int \sin x dx = -\cos x + C
∫cos⁡xdx=sin⁡x+C\int \cos x dx = \sin x + C
∫sec⁡2xdx=tan⁡x+C\int \sec^2 x dx = \tan x + C
∫csc⁡2xdx=−cot⁡x+C\int \csc^2 x dx = -\cot x + C
∫sec⁡xtan⁡xdx=sec⁡x+C\int \sec x \tan x dx = \sec x + C
∫csc⁡xcot⁡xdx=−csc⁡x+C\int \csc x \cot x dx = -\csc x + C
  • علمًا بأنّه يُمكن إيجاد بقية صيغ تكاملات الاقترانات المثلثية بالطريقة نفسها.
  • الزوايا في صورة ax+bax + b، حيث a≠0a \neq 0: يُمكن إيجاد تكاملاتها على النحو الآتي.

مفهوم أساسي: صيغ تكاملات اقترانات مثلثية (2)

---
∫sin⁡(ax+b)dx=−1acos⁡(ax+b)+C\int \sin (ax + b) dx = -\frac{1}{a} \cos (ax + b) + C
∫cos⁡(ax+b)dx=1asin⁡(ax+b)+C\int \cos (ax + b) dx = \frac{1}{a} \sin (ax + b) + C
∫sec⁡2(ax+b)dx=1atan⁡(ax+b)+C\int \sec^2 (ax + b) dx = \frac{1}{a} \tan (ax + b) + C
∫csc⁡2(ax+b)dx=−1acot⁡(ax+b)+C\int \csc^2 (ax + b) dx = -\frac{1}{a} \cot (ax + b) + C
∫sec⁡(ax+b)tan⁡(ax+b)dx=1asec⁡(ax+b)+C\int \sec (ax + b) \tan (ax + b) dx = \frac{1}{a} \sec (ax + b) + C
∫csc⁡(ax+b)cot⁡(ax+b)dx=−1acsc⁡(ax+b)+C\int \csc (ax + b) \cot (ax + b) dx = -\frac{1}{a} \csc (ax + b) + C

مثال 2

a. ∫cos⁡(3x−π)dx\int \cos(3x - \pi) dx

b. ∫(csc⁡2(5x)+e2x)dx\int (\csc^2 (5x) + e^{2x}) dx

c. ∫0π/3(sin⁡2x−cos⁡4x)dx\int_{0}^{\pi/3} (\sin 2x - \cos 4x) dx

وماذا لو كان الاقتران المثلثي مرفوعًا إلى أُسّ أو في حاصل ضرب؟

المتطابقات المثلثية والتكامل

المتطابقات: كيف نُبسّط المُكامل قبل أن نكامله؟

  • المتطابقات المثلثية تُعيد كتابة المقادير المثلثية بصورة مكافئة.
  • وهذا يساعد على إيجاد تكاملات اقترانات مثلثية لا يُمكن إيجادها مباشرة.
  • مثل:
  • اقترانات الجيب، وجيب التمام، والظلّ، وظلّ التمام المرفوعة إلى أُسّ.
  • حاصل ضرب اقتراني جيب، أو اقتراني جيب تمام، أو جيب مضروب في جيب تمام.

مثال 3

  • المتطابقات وحدها لا تكفي لإيجاد تكامل اقتران مثلثي مرفوع إلى أُسّ فردي؛ نحتاج إلى طرائق أخرى سأتعلّمها في الدرس التالي.

a. ∫cos⁡4xdx\int \cos^4 x dx

b. ∫0π/6sin⁡3xsin⁡xdx\int_{0}^{\pi/6} \sin 3x \sin x dx

c. ∫dx1+cos⁡x\int \frac{dx}{1 + \cos x}

وماذا عن الكسور التي بسطها مشتقة مقامها؟

تكاملات ينتج منها اقتران لوغاريتمي طبيعي

اللوغاريتم الطبيعي: متى يكون ناتج التكامل لوغاريتمًا؟

  • تعلّمتُ سابقًا أنّ: ddx(ln⁡x)=1x\frac{d}{dx} (\ln x) = \frac{1}{x}، وهذا يعني أنّ ∫1xdx=ln⁡x+C\int \frac{1}{x} dx = \ln x + C.
  • القاعدة تشمل اقترانات أوسع، مثل 1ax+b\frac{1}{ax+b} أو kf′(x)f(x)k \frac{f'(x)}{f(x)}.
  • الاقتران الذي البسط فيه أحد مضاعفات مشتقة المقام يُكتب في صورة kf′(x)f(x)k \frac{f'(x)}{f(x)}.
  • السبب: بملاحظة أنّ:
ddx(ln⁡∣f(x)∣)=f′(x)f(x)\frac{d}{dx} (\ln |f(x)|) = \frac{f'(x)}{f(x)}

مفهوم أساسي: تكاملات ينتج منها اقتران لوغاريتمي طبيعي

---
∫1xdx=ln⁡∥x∥+C,x≠0\int \frac{1}{x} dx = \ln \|x\| + C, x \neq 0
∫1ax+bdx=1aln⁡∥ax+b∥+C,x≠−ba\int \frac{1}{ax+b} dx = \frac{1}{a} \ln \|ax+b\| + C, x \neq -\frac{b}{a}
∫f′(x)f(x)dx=ln⁡∥f(x)∥+C,f(x)≠0\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln \|f(x)\| + C, f(x) \neq 0

مثال 4

أفكّر: ما مُسوّغ عملية الضرب في 2، وعملية القسمة على 2؟

أفكّر في الفرع 8: هل يُمكن كتابة هذه النتيجة في صورة أخرى؟

a. ∫(sin⁡x−5x)dx\int (\sin x - \frac{5}{x}) dx

b. ∫53x+2dx\int \frac{5}{3x + 2} dx

c. ∫x2−7x+2x2dx\int \frac{x^2 - 7x + 2}{x^2} dx

d. ∫2x+3x2+3xdx\int \frac{2x + 3}{x^2 + 3x} dx

e. ∫sin⁡2x1+cos⁡2xdx\int \frac{\sin 2x}{1 + \cos 2x} dx

f. ∫cot⁡xdx\int \cot x dx

g. ∫exex+7dx\int \frac{e^x}{e^x + 7} dx

h. ∫csc⁡xdx\int \csc x dx

وماذا لو كانت درجة البسط أكبر من درجة المقام أو تساويها؟

الاقتران النسبي: متى نقسم قبل أن نكامل؟

  • نُعيد كتابة المُكامل باستعمال القسمة إذا كانت درجة البسط أعلى من (أو تساوي) درجة المقام.
  • الصورة الجديدة قد ينتج منها تكامل ينتج منه اقتران لوغاريتمي طبيعي.

مثال 5

أجد: ∫x2+x+1x+1dx\int \frac{x^2 + x + 1}{x + 1} dx

وكيف نجد الاقتران نفسه إذا عرفنا معدّل تغيّره وقيمة واحدة له؟

تطبيقات التكامل: الشرط الأوّلي

الشرط الأوّلي: كيف نعيّن ثابت التكامل؟

  • الشرط الأوّلي هو نقطة تُحقّق الاقتران الأصلي.
  • بتعويضها نجد قيمة ثابت التكامل CC، والاقتران الأصلي الوحيد الذي يُحقّق شرط المسألة.
  • يُستعمل الشرط الأوّلي كثيرًا لتحديد اقترانات تُنمذج مواقف علمية وحياتية.

مثال 6: من الحياة

تلوّث: تسرّب نفط من ناقلة بحرية، مُكوّنًا بقعة دائرية الشكل على سطح الماء، نصف قُطرها R(t)R(t) قدمًا بعد ⁦t⁩ دقيقة من بَدْء التسرّب.

إذا كان نصف قُطر الدائرة يزداد بمُعدّل: R′(t)=210.07t+5R'(t) = \frac{21}{0.07t + 5}، فأجد R(t)R(t)، علمًا بأنّ R(0)=0R(0) = 0.

تطبيقات التكامل: الحركة في مسار مستقيم

  • من التطبيقات المُهمّة على الشرط الأوّلي: إيجاد موقع جسم يتحرّك في مسار مستقيم إذا عُلم اقتران السرعة وعُلم شرط أوّلي عن موقع الجسم.
  • التغيّر في موقع الجسم يُسمّى الإزاحة ⁦(displacement)⁩.

مفهوم أساسي: الإزاحة

  • لإيجاد المسافة الكلية نحدّد الفترات الزمنية الجزئية التي تكون عندها:
  • v(t)≤0v(t) \leq 0 (يتحرّك الجسم إلى الجهة السالبة).
  • v(t)≥0v(t) \geq 0 (يتحرّك الجسم إلى الجهة الموجبة).
  • في كلتا الحالتين تُحسب المسافة الكلية بإيجاد تكامل السرعة القياسية ∣v(t)∣|v(t)|.

مفهوم أساسي: المسافة الكلية المقطوعة

مثال 7

الحركة في مسار مستقيم: الموقع والإزاحة والمسافة

  • اقتران الموقع هو اقتران أصلي لاقتران السرعة، واقتران السرعة هو اقتران أصلي لاقتران التسارع.
  • يُستعمَل التكامل المحدود لإيجاد إزاحة جسم، عُلِمت سرعته، على النحو الآتي:

يتحرّك جُسَيْم في مسار مستقيم، وتعطى سرعته بالاقتران: v(t)=3cos⁡tv(t) = 3 \cos t، حيث ⁦t⁩ الزمن بالثواني، و ⁦v⁩ سرعته بالمتر لكل ثانية:

a. إذا بدأ الجُسَيْم حركته من نقطة الأصل، فأجد موقع الجُسَيْم بعد π6\frac{\pi}{6} ثانية من بَدْء الحركة.

b. أجد إزاحة الجُسَيْم في الفترة [0,2π][0, 2\pi].

c. أجد المسافة الكلية التي قطعها الجُسَيْم في الفترة [0,2π][0, 2\pi].

تعريفات أساسية

التكامل غير المحدود

التكامل هو عملية عكسية للاشتقاق، وأنّ ∫f(x)dx\int f(x)dx يُسمّى التكامل غير المحدود للاقتران

التكامل المحدود

أمّا ∫abf(x)dx\int_{a}^{b} f(x)dx فيُسمّى التكامل المحدود للاقتران f(x)f(x)، حيث ⁦a⁩ الحدّ السفلي للتكامل، و ⁦b⁩ الحدّ العلوي للتكامل.

الاقتران الأصلي

إذا كان F(x)F(x) اقترانًا أصليًا للاقتران f(x)f(x)؛ أي أنّ F′(x)=f(x)F'(x) = f(x)

تكامل الاقترانات الأسية

إذا كانت ⁦k, b, a⁩ أعدادًا حقيقية، و a≠0a \neq 0، و k>0k > 0 و k≠1k \neq 1، و ⁦e⁩ العدد النيبيري، فإنّ: ∫exdx=ex+C\int e^x dx = e^x + C ∫kxdx=kxln⁡k+C\int k^x dx = \frac{k^x}{\ln k} + C ∫eax+bdx=1aeax+b+C\int e^{ax+b} dx = \frac{1}{a} e^{ax+b} + C ∫kax+bdx=kax+baln⁡k+C\int k^{ax+b} dx = \frac{k^{ax+b}}{a \ln k} + C

صيغ تكاملات اقترانات مثلثية

إذا كان ⁦a, b⁩ عددين حقيقيين، و a≠0a \neq 0، فإنّ: ∫sin⁡(ax+b)dx=−1acos⁡(ax+b)+C\int \sin (ax + b) dx = -\frac{1}{a} \cos (ax + b) + C ∫cos⁡(ax+b)dx=1asin⁡(ax+b)+C\int \cos (ax + b) dx = \frac{1}{a} \sin (ax + b) + C ∫sec⁡2(ax+b)dx=1atan⁡(ax+b)+C\int \sec^2 (ax + b) dx = \frac{1}{a} \tan (ax + b) + C ∫csc⁡2(ax+b)dx=−1acot⁡(ax+b)+C\int \csc^2 (ax + b) dx = -\frac{1}{a} \cot (ax + b) + C ∫sec⁡(ax+b)tan⁡(ax+b)dx=1asec⁡(ax+b)+C\int \sec (ax + b) \tan (ax + b) dx = \frac{1}{a} \sec (ax + b) + C ∫csc⁡(ax+b)cot⁡(ax+b)dx=−1acsc⁡(ax+b)+C\int \csc (ax + b) \cot (ax + b) dx = -\frac{1}{a} \csc (ax + b) + C

تكاملات ينتج منها اقتران لوغاريتمي طبيعي

إذا كان ⁦a, b⁩ عددين حقيقيين، و a≠0a \neq 0، وكان f(x)f(x) اقترانًا قابلاً للاشتقاق، فإنّ: ∫1xdx=ln⁡∣x∣+C,x≠0\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C, x \neq 0 ∫1ax+bdx=1aln⁡∣ax+b∣+C,x≠−ba\int \frac{1}{ax+b} dx = \frac{1}{a} \ln |ax+b| + C, x \neq -\frac{b}{a} ∫f′(x)f(x)dx=ln⁡∣f(x)∣+C,f(x)≠0\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln |f(x)| + C, f(x) \neq 0

الاقترانات النسبية

الاقترانات النسبية هي اقترانات يُمكن كتابتها في صورة نسبة بين كثيري حدود: f(x)g(x)\frac{f(x)}{g(x)}، حيث g(x)≠0g(x) \neq 0.

الإزاحة

إذا تحرّك جسم في مسار مستقيم وَفق اقتران الموقع s(t)s(t)، فإنّ سرعته هي: v(t)=s′(t)v(t) = s'(t)، وإزاحته في الفترة الزمنية [t1,t2][t_1, t_2] هي: s(t2)−s(t1)=∫t1t2v(t)dts(t_2) - s(t_1) = \int_{t_1}^{t_2} v(t) dt

المسافة الكلية المقطوعة

إذا تحرّك جسم في مسار مستقيم وَفق اقتران الموقع s(t)s(t)، فإنّ سرعته هي: v(t)=s′(t)v(t) = s'(t)، والمسافة الكلية ⁦(d)⁩ التي قطعها في الفترة الزمنية [t1,t2][t_1, t_2] هي: d=∫t1t2∣v(t)∣dtd = \int_{t_1}^{t_2} |v(t)| dt

المسافة

المسافة هي طول المسار الذي يقطعه الجسم بصرف النظر عن الاتجاه، وقيمتها أكبر (أو تساوي) الصفر. أمّا الإزاحة فهي التغيّر في الموقع.

اقتران الموقع

اقتران الموقع هو اقتران أصلي لاقتران السرعة، واقتران السرعة هو اقتران أصلي لاقتران التسارع.

معاينة موضوع «تكامل اقترانات خاصة» من وحدة «التكامل» في مادة الرياضيات. أقسام الشرح: ٢٠، التعريفات: ١١.

المصدر: المركز الوطني لتطوير المناهج، تكامل اقترانات خاصة (ص ٨–٢٥)

موضوعات أخرى في الوحدة

تابع الدراسة