المعادلات التفاضلية

• حلّ المعادلات التفاضلية.

ما المعادلة التفاضلية، وكيف أتحقق أنّ اقترانًا حلّ لها؟

تتغيّر درجة حرارة سائل كيميائي بارد، بعد وضعه في غرفة دافئة، بمُعدّل يُمكن نمذجته بالمعادلة التفاضلية: $\frac{dA}{dt} = 2(20 - A)$ حيث $A$ درجة حرارة السائل بمقياس سيلسيوس، و $t$ الزمن بالساعات

• المطلوب أولًا: حلّ المعادلة التفاضلية لإيجاد درجة حرارة السائل بعد $t$ ساعة، علمًا بأنّ درجة حرارته عند وضعه في الغرفة هي $5^\circ\text{C}$.
• المطلوب ثانيًا: بعد كم ساعة تصبح درجة حرارة السائل $18^\circ\text{C}$؟

قبل حلّها، علينا أن نعرف ما المعادلة التفاضلية.

• من أمثلتها:
• $\frac{dy}{dx} = 2x^3 + 5$
• $\frac{dP}{dt} = kP$
• $\frac{d^2y}{dx^2} + 5\frac{dy}{dx} - 7y = \frac{1}{x}$

• الخطوة 1: أجد المشتقات اللازمة.
• الخطوة 2: أُعوّض في المعادلة التفاضلية.

أُحدّد إذا كان الاقتران المعطى حلًا للمعادلة التفاضلية: $y'' - 4y' + 3y = 0$ في كلّ مما يأتي:

a) $y = 4e^x + 5e^{3x}$ b) $y = \sin x$

الحلّ العام والحلّ الخاص: ماذا يعني ثابت التكامل؟

• يُمكن حلّ المعادلة التفاضلية عن طريق التكامل.

أجد الحلّ العام للمعادلة التفاضلية:

$\frac{dy}{dx} = 5 \sec^2 x - \frac{3}{2}\sqrt{x}$ ثمّ أجد الحلّ الخاص لها الذي يُحقّق النقطة $(0, 7)$.

فصل المتغيّرات: كيف أحلّ معادلة تحوي المتغيّرين معًا؟

هذه الطريقة هي التي ستحلّ مسألة السائل البارد.

• المعادلات السابقة صورتها $\frac{dy}{dx} = g(x)$، ونحلّها بإيجاد التكامل لطرفي المعادلة مباشرة، لكنّ ذلك لا ينطبق على جميع المعادلات التفاضلية.
• بعض المعادلات يحتوي على المتغيّرين $x$ و $y$ معًا في أحد طرفي المعادلة.
• في هذه الحالة يتطلّب الحلّ أوّلًا فصل $dy$ عن $dx$، ثمّ إيجاد التكامل لكلّ من طرفي المعادلة.

• الفصل: أفصل $dy$ عن $dx$ بكتابة $dx$ في أحد طرفي المعادلة، وكتابة $dy$ في الطرف الآخر.
• النقل: أنقل الحدود التي تحوي المتغيّر $x$ إلى طرف المعادلة الذي يحوي $dx$، والحدود التي تحوي المتغيّر $y$ إلى طرف $dy$.
• التكامل: أجد التكامل لكلّ من طرفي المعادلة.

أحلّ كُلًا من المعادلات الآتية:

a) $\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{y^4}$ b) $\frac{dy}{dx} = 2x - xe^y$ c) $\frac{dy}{dx} = \frac{x \sin x}{y}$ d) $\sin^2 x \frac{dy}{dx} = y^2 \cos^2 x$

الحلّ الخاص: كيف أستعمل الشرط الأوّلي؟

• تعلّمتُ في المثال السابق إيجاد الحلّ العام لمعادلات قابلة للفصل. والآن سأتعلم إيجاد الحلّ الخاص لهذا النوع من المعادلات.

أجد الحلّ الخاص الذي يُحقّق الشرط الأوّلي لكلٍّ مما يأتي:

a) $\frac{dy}{dx} = xy^2 e^{2x}, y(0) = 1$ b) $\frac{dy}{dx} = y \cos x, y(\frac{\pi}{2}) = 1$

النمذجة: كيف ينتشر مرض في مدرسة؟

• للمعادلات التفاضلية تطبيقات حياتية كثيرة؛ فهي تُستعمَل لنمذجة الظواهر التي تحوي قِيَمًا مُتغيّرة.
• من أمثلتها: تكاثر المجتمعات الحيوية، وانتشار الأمراض، والسلوك الاقتصادي.

غزلان: يُمكِن نمذجة مُعدَّل تغيُّر عدد الغزلان في إحدى الغابات بالمعادلة التفاضلية:

$\frac{dP}{dt} = \frac{1}{20000} P(1000 - P)$ حيث $P$ عدد الغزلان في الغابة بعد $t$ سنة من بَدْء دراسة عليها.

a) أحُلُّ المعادلة التفاضلية لإيجاد عدد الغزلان في الغابة بعد $t$ سنة من بَدْء الدراسة، علمًا بأنَّ عددها عند بَدْء الدراسة هو 2500 غزال.

b) بعد كم سنةً يصبح عدد الغزلان في الغابة 1800 غزال؟

السرعة معادلة تفاضلية: كيف أجد موقع الجسم؟

• تعلّمتُ سابقًا كيف أجد موقع جسم يتحرّك في مسار مستقيم إذا عُلم اقتران السرعة لهذا الجسم.
• في بعض الحالات تعطى السرعة للجسم بمعادلة تفاضلية، فيلزم عندئذٍ حلّ المعادلة التفاضلية لإيجاد موقع الجسم في لحظة مُعيّنة.

يتحرّك جُسيم في مسار مستقيم، وسرعته معطاة بالمعادلة التفاضلية:

$\frac{ds}{dt} = st\sqrt{t + 1}$ المعطى: $t$ الزمن بالثواني، و ${s}$ موقع الجُسيم بالأمتار.

أجد موقع الجُسيم بعد 3 ثوانٍ من بدء الحركة، علمًا بأنّ ${s}(0) = 1$.