أسئلة الرياضيات الوزارية: الوحدة ٦: المتجهات

إذا كانت: $A(3, 4, -2)$، و $B(7, -5, 3)$، و $C(\alpha, 3, -4)$، وكانت $D$ نقطة في الفضاء، حيث: $\vec{AB} = \vec{BD}$، فإنّ متّجه الموقع للنقطة $D$ هو:

بالاعتماد على النقطتين $A(3, 4, -2)$ و $C(\alpha, 3, -4)$، إذا كان: $\vert{}\vec{AC}\vert{} = \sqrt{21}$، فإنّ قيمة الثابت $\alpha$، حيث $\alpha < 0$ هي:

في متوازي المستطيلات الآتي، إذا كانت إحداثيات الرأس $B$ هي: $(3, 5, 6)$، فإنّ إحداثيات نقطة منتصف $\overline{AF}$ هي:

في الشكل الآتي $UXWV$ متوازي أضلاع. إذا كان: $\vec{UX} = 8\vec{b}$ ، و $\vec{UV} = 3\vec{a}$ ، وكانت $Y$ نقطة منتصف $\vec{UW}$، وكان: $XW : WZ = k : 1$، وكان: $\vec{YZ} = 4\vec{b} + \frac{7}{2}\vec{a}$، فإنّ قيمة الثابت $k$ هي:

إذا كانت: $A(-5, -8, 4)$ ، $B(n, 2, -2n)$ ، وكانت: $N(-1, -3, -1)$ نقطة مُنتصف القطعة المُستقيمة $\overline{AB}$ ، فإنّ إحداثيات النقطة $B$ هي:

إذا كان: $\vec{\mathbf{f}} = 5\hat{\imath} - 3\hat{\jmath} + 7\hat{k}$ ، $\vec{\mathbf{g}} = 10\hat{\imath} + 8\hat{\jmath} - 5\hat{k}$ ، فإنّ $2\vec{\mathbf{f}} - \vec{\mathbf{g}}$ هو:

إذا كانت: $A(-2, 8, 12)$ ، $C(0, 1, -14)$ ، فإنّ مُتجه الإزاحة من النقطة $C$ إلى النقطة $A$ هو:

إذا كان: $G(2, 3, -4)$ ، $H(4, -2, 3)$ ، وكانت $D$ نقطة حيث: $\overrightarrow{GH} = \overrightarrow{HD}$ ، فإنّ مُتجه الموقع للنقطة $D$ هو:

إذا كان: $\vec{b} = \langle \alpha, 6, -8 \rangle, \vec{a} = \langle 2, -3, 4 \rangle$ ، فإنّ قيمة الثابت $\alpha$ التي تجعل المتجهين $\vec{a}$ و $\vec{b}$ متوازيين هي:

في متوازي الأضلاع $PSRQ$ الآتي، تقع النقطة $N$ على $\overline{SQ}$ ، حيث $SN:NQ = 3:2$ إذا كان: $\vec{RN} = k(2\vec{a} + 3\vec{b})$ ، فإنّ قيمة الثابت $k$ هي:

إذا كانت $P(1, 1, 3)$ نقطة غير واقعة على المستقيم $l$ ، وكان مسقط العمود من النقطة $P$ على المستقيم $l$ هو $F(2, \frac{1}{2}, \frac{5}{2})$ ، فإنّ البعد بين النقطة $P$ والمستقيم $l$ (بوحدات الطول) هو:

إذا كان: $\vec{u} = \langle 2, 4, \sqrt{k} \rangle$ ، وكان: $\vert{}\vec{u}\vert{} = 3\sqrt{3}$ ، فإنّ قيمة الثابت $k$ هي:

إذا كان المستقيم $l$ يوازي المتّجه: $\vec{v} = 3\hat{i} - 5\hat{j} + 2\hat{k}$، ويمرّ بالنقطة $A$ التي متّجه موقعها هو: $2\hat{i} - \hat{k}$، فإنّ للمستقيم $l$ معادلة متّجهة هي:

إذا كانت $A, B, C$ ثلاث نقاط في الفضاء، وكان: $\vec{AB} = \langle 3, a + 1, 3 \rangle$، و $\vec{AC} = \langle 4, 12, 4 \rangle$، فإنّ قيمة $a$ التي تجعل النقاط $A, B, C$ تقع على استقامة واحدة هي:

إذا كانت: $\vec{\mathbf{r}} = \langle 2, -3, 5 \rangle + t\langle -4, 2, 8 \rangle$ مُعادلة مُتجهة للمستقيم $l$ ، فإنّ إحداثيات نقطة تقاطع المُستقيم $l$ مع المُستوى $yz$ هي:

إذا كان: $\vec{u} = \langle -6, 9, b \rangle$ ، و $\vec{v} = \langle 4, a, 6 \rangle$ ، وكان: $\vec{u} \parallel \vec{v}$، فإنّ قيمة الثابت ⁦a⁩ هي:

إذا كان الشكل الآتي يُمثّل مكعباً طول ضلعه 6 وحدات، وكانت النقطة ⁦M⁩ تُمثّل مركز المكعب، فإنّ للمستقيم ⁦l⁩ المار بالنقطتين ⁦B⁩ و ⁦M⁩ معادلة مُتّجهة تُمثّله هي:

إحداثيات النقطة التي تقع على المستقيم $l$ الذي له معادلة متجهة: $\vec{r} = \langle 4, 5, -2 \rangle + t\langle -3, 1, 2 \rangle$ ، وتقع أيضًا في المستوى $XZ$ ، هي:

إذا كان: $\vec{u} = \langle -2, 1 - a, 3 \rangle$ ، $\vec{v} = \langle b + 1, 4, -6 \rangle$ ، وكان: $\vec{u} \parallel \vec{v}$ ، فإنّ قيمة $(a + b)$ ، هي:

إذا كان المستقيم $l$ يوازي المتجه: $\vec{b} = 16\hat{j} - 3\hat{k}$ ، ويمر بنقطة متجه الموقع لها: $\vec{a} = -\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$ ، فإن للمستقيم $l$ معادلة متجهة تُمثله هي:

إذا كانت: $\vec{r} = \langle -2, 2, -1 \rangle + t \langle 1, 2, -1 \rangle$ تُمثل معادلة متجهة للمستقيم $l$ ، وكانت النقطة: $(-4a, a-3, a)$ تقع على المستقيم $l$ ، فإن قيمة الثابت $a$ هي:

إذا كانت النقطة $(1,2a,-1)$ تقع على مستقيم له معادلة متجهة هي: $\vec{r}=\langle -2,9,1\rangle+t\langle 3,-1,-2\rangle$ ، فإنّ قيمة الثابت $a$ هي:

إذا كانت: $\vec{\mathbf{r}} = \langle -1, 5, 2 \rangle + t\langle 4, 0, 5 \rangle$ معادلة متجهة للمستقيم $l$ ، و $P(5, 5, 7)$ نقطة غير واقعة عليه، وكانت النقطة $F$ هي مسقط النقطة $P$ على المستقيم $l$ ، فإنّ $\overrightarrow{PF}$ ، هو:

إذا كانت $P, N, M$ ثلاث نقاط في الفضاء، وكان: $\vec{MN} = \langle 2, 3, 1 \rangle$ ، و $\vec{PN} = \langle -1, 9, -3 \rangle$، فإنّ $\vec{MN} \cdot \vec{MP}$ يساوي:

إذا كان $ABC$ مثلثًا فيه: $\vec{BA} = \langle 4, -2, -4 \rangle$ ، و $\vec{BC} = \langle 10, -2, 11 \rangle$، فإنّ مساحته بالوحدات المربّعة تساوي:

إذا كان: |⁦v⁩⃗| = |⁦w⁩⃗| = √2، وكان: ⁦v⁩⃗ · ⁦w⁩⃗ = -1، فإنّ قياس الزاوية بين المُتّجهين ⁦v⁩⃗ و ⁦w⁩⃗ هو:

إذا كان قياس الزاوية بين $\vec{a}$ و $\vec{b}$ هو $45^{\circ}$ ، وكان: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 18$ ، وكان: $\vert{}\vec{a}\vert{} = 6$ ، فإن مقدار $\vec{b}$ هو:

إذا كان قياس الزاوية بين المتجهين $\vec{a}, \vec{b}$ يساوي $60°$ ، وكان $\vec{a} \cdot \vec{b} = 60$ ، وكان $\vert{}\vec{a}\vert{} = 10$ ، فإن $\vert{}\vec{b}\vert{}$ هو:

إذا كان: $\vec{u}=\langle 13,-3,6\rangle$ ، $\vec{v}=\langle 3c,2,-12\rangle$ متعامدين، فإنّ قيمة الثابت $c$ هي:

إذا كان: $\vec{u},\vec{v}$ متجهين غير صفريين، فأيّ الأشكال الآتية يكون فيها $\vec{u}\cdot\vec{v}>0$ ؟

إذا كان: $\vec{\mathbf{c}} = \langle 1, -2, 6 \rangle$ ، $A(2, 1, 4)$ , $B(-3, 0, 4)$ ، وكان $\vec{\mathbf{u}} = \overrightarrow{AB}$ ، فإنّ $\vec{\mathbf{u}} \cdot \vec{\mathbf{c}}$ يساوي:

إذا كان: $\vec{\mathbf{u}}$ , $\vec{\mathbf{v}}$ متجهين غير صفريين، وكان $\vec{\mathbf{u}} \cdot \vec{\mathbf{v}} = 0$ ، فإنّ الشكل الأنسب للتعبير عن المتجهين $\vec{\mathbf{u}}$ , $\vec{\mathbf{v}}$ هندسيًّا من الأشكال الآتية، هو:

إذا كان: $\vec{w} = \langle 3, -1, 3 \rangle$ ، $\vec{v} = \langle -2, 1, 1 \rangle$ ، فإنّ قيمة $\vec{v} \cdot \vec{w}$ هي: