امتحان الرياضيات الوزاري 2024، الدورة التكميلية، الورقة الثانية، مع الإجابات

قيمة: $\int_{1}^{2} (\frac{1}{2})^{2x-4} dx$ هي:

ناتج: $\int \frac{dx}{\sin^2 x \cos^2 x}$ هو:

ناتج: $\int \frac{3x}{1-2x^2} dx$ هو:

ناتج: $\int \frac{(x+1)^4 - 21}{(x^2 + 2x + 1)^2} \, dx$ هو:

قيمة: $\int_{-2}^{2} |x + 1| \, dx$ هي:

في دراسة تناولت أحد أنواع الحيوانات المُهدَّدة بالانقراض، تبيَّن أن عدد حيوانات هذا النوع $P(t)$ يتغيّر بمعدل $P'(t) = -0.42\,e^{-0.06t}$ ، حيث $t$ الزمن بالسنوات منذ بدء الدراسة. إذا كان عدد الحيوانات عند بدء الدراسة يساوي 548 ، فإنّ قاعدة الاقتران $P(t)$ هي:

يتحرك جسم في مسار مستقيم، وتُعطى سرعته بالاقتران $v(t) = \sin\left(\frac{t}{2}\right)$ ، حيث $t$ الزمن بالثواني، و $v$ سرعته بالمتر لكل ثانية. إذا بدأ الجسم حركته من نقطة الأصل، فإنّ موقعه بعد $2\pi$ ثانية من بدء الحركة هو:

يُبيّن الشكل الآتي منحنى الاقتران $f(x)$ ، إذا كانت مساحة المنطقة المظلّلة تساوي $\ln 16$ وحدة مربعة، فإن قيمة الثابت k هي:

ناتج: $\int \frac{e^x}{(1-e^x)^3} \, dx$ هو:

قيمة: $\int_{0}^{1} x \sqrt[3]{(x-1)^2} \, dx$ هي:

ناتج: $\int \frac{2x+1}{x-x^2} \, dx$ هو:

يُبيّن الشكل الآتي منحنى السرعة - الزمن لجسم يتحرك على المحور $x$ في الفترة الزمنية $[0, 6]$. إذا بدأ الجسم الحركة من $x = 3$ عندما $t = 0$ ، فإنّ المسافة التي قطعها الجسم في الفترة الزمنية المعطاة هي:

إذا كانت: $A(12, 8, -5)$ , $B(-3, 6, 7)$ ، فإنّ متجه الإزاحة من النقطة $B$ إلى النقطة $A$ هو:

إذا كانت: $A(-8, 5, 7)$ , $B(6, 3, -5)$ ، وكانت $N$ نقطة منتصف $\overline{AB}$ ، فإنّ مقدار متجه الموقع للنقطة N هو:

إذا كانت: $P(12, 2, 5)$ , $Q(7, -8, 1)$ , $R(3, 2, k)$ نقاطاً في الفضاء، وكانت $\overline{PQ} = \overline{QR}$ ، فإنّ قيم $k$ الممكنة هي:

في المثلث $OAB$ الآتي، تقع النقطة $P$ على $\overline{AB}$ ، حيث $AP : PB = 2 : 1$ . إذا كان: $\overrightarrow{PO} = k(\vec{\mathbf{a}} + 2\vec{\mathbf{b}})$ ، فإنّ قيمة الثابت $k$ هي:

إذا كان: $\vec{n} = \begin{pmatrix} -5 \\ -8 \\ 4 \end{pmatrix}$ ، $\vec{m} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -6 \end{pmatrix}$ ، فإن ناتج: $3\vec{m} - 4\vec{n}$ هو:

إذا كان المستقيم $l$ يوازي المتجه: $\vec{b} = 16\hat{j} - 3\hat{k}$ ، ويمر بنقطة متجه الموقع لها: $\vec{a} = -\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$ ، فإن للمستقيم $l$ معادلة متجهة تُمثله هي:

إذا كانت: $\vec{r} = \langle -2, 2, -1 \rangle + t \langle 1, 2, -1 \rangle$ تُمثل معادلة متجهة للمستقيم $l$ ، وكانت النقطة: $(-4a, a-3, a)$ تقع على المستقيم $l$ ، فإن قيمة الثابت $a$ هي:

إذا كان قياس الزاوية بين $\vec{a}$ و $\vec{b}$ هو $45^{\circ}$ ، وكان: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 18$ ، وكان: $|\vec{a}| = 6$ ، فإن مقدار $\vec{b}$ هو:

أُلقي حجر نرد منتظم ذو ثمانية أوجه مُرقّمة بالأعداد من 1 إلى 8 عشوائيًّا بشكل مُتكرّر حتى ظهور العدد 5 ، فإنّ احتمال إلقائه 3 مرات هو:

إذا كان: $X \sim B(10, 0.3)$ ، فإنّ التباين للمتغيّر العشوائي $X$ هو:

إذا كان: $X \sim N(12, 16)$ ، فإنّ $P(8 < x < 20)$ هو: ملحوظة: يمكنك الاستفادة من القاعدة التجريبية في الشكل الآتي.

إذا علمت أنّ: $P(Z < 2.25) = 0.9878$ ، و $P(Z < 1) = 0.8413$ ، فإنّ مساحة المنطقة المُظلّلة أسفل منحنى التوزيع الطبيعي المعياري المُبيّنة في الشكل الآتي هي:

إذا كان: $X \sim N(5, 9)$ ، فإنّ قيمة $x$ التي تحقق $P(X < x) = 0.25$ هي: ملحوظة: يمكنك الاستفادة من الجدول التالي الذي يُمثّل بعضًا من قيم جدول التوزيع الطبيعي.

السؤال الثاني: (27 علامة) a) جد كلاً من التكاملات الآتية: 1) $\int \frac{\csc^2 x}{2 - \csc^2 x} \, dx$ (10 علامات) 2) $\int e^{3x} \cos 5x \, dx$ (8 علامات)

b) جد مساحة المنطقة المظللة في التمثيل البياني المجاور. (9 علامات)

السؤال الثالث: (19 علامة) a) جد حجم المجسم الناتج من دوران المنطقة المظللة في الشكل المجاور حول المحور $x$ . (9 علامات)

b) جد الحل الخاص الذي يُحقق الشرط الأولي $y(1) = \sqrt[3]{2}$ للمعادلة التفاضلية الآتية: $\frac{dy}{dx} = y - \frac{2x}{y^2} + 2xy - \frac{1}{y^2}$ (10 علامات)

في الشكل المجاور OABC شبه منحرف فيه: $\vec{OA} = 2\vec{a}$ ، و $\vec{OB} = 2\vec{a} + 4\vec{b}$ ، والنقطة E هي منتصف $\overline{AC}$ ، والنقطة D هي منتصف $\overline{BC}$ ، و $\vec{OC} = 2\vec{AB}$ . أثبت باستعمال المتجهات أن: $\vec{ED}$ يوازي $\vec{OC}$ .

إذا كانت: $A(9, 1, 4)$ ، و $B(8, 18, 2)$ ، فجد مساحة المثلث OAB ، حيث O نقطة الأصل.

إذا كانت: $\vec{r} = \hat{i} - 4\hat{j} + 10\hat{k} + t(\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k})$ معادلة متجهة للمستقيم $l$ ، والنقطة $P(3, 4, 1)$ غير واقعة على المستقيم $l$ ، فحدّد مسقط العمود من النقطة P على المستقيم $l$ .

يواجه الطيّارون صعوبة في الرؤية باحتمال 0.2 عند الهبوط في أحد المطارات خلال فصل الشتاء بسبب سوء الأحوال الجوية. فإذا هبط طيّار 10 مرّات في هذا المطار خلال فصل الشتاء، فجد كلًّا ممّا يأتي: 1) احتمال أن يواجه الطيّار صعوبة في الرؤية خلال الهبوط في مرّتين على الأقلّ. (قرّب الناتج لأقرب منزلتين عشريتين). 2) العدد المُتوقّع من المرّات التي سيواجه فيها الطيّار صعوبة في الرؤية خلال الهبوط.

يدلّ المتغيّر العشوائي الطبيعي $X \sim N(60, \sigma^2)$ على كُتل الطلبة (بالكيلوغرام) في إحدى المدارس الأساسية. إذا زادت كُتل 11% فقط منهم على $68\text{ kg}$ ، فجد الانحراف المعياري ($\sigma$) لكُتل طلبة المدرسة. (قرّب الناتج لأقرب منزلتين عشريتين). ملحوظة: يمكنك الاستفادة من الجدول التالي الذي يُمثّل بعضًا من قيم جدول التوزيع الطبيعي المعياري.