امتحان الرياضيات الوزاري 2023، الدورة العامة، الورقة الثانية، مع الإجابات

قيمة: $\int_{0}^{1} (2^{e})^{x}\,dx$ هي:

ناتج: $\int (\frac{1}{\sin^2(3x)} + \pi) dx$ هو:

ناتج: $\int \cot(-x) dx$ هو:

قيمة: $\int_{3}^{4} |4 - 2x| \, dx$ هي:

إذا كان: $f'(x) = \frac{3x^3 + 1}{x}$ ، وكان: $f(1) = 6$ ، فإن قاعدة الاقتران $f$ هي:

يتحرك جُسيم في مسار مستقيم، وتُعطى سرعته المتجهة بالاقتران: $v(t) = \frac{-3t}{t^2 + 2}$ ، حيث $t$ الزمن بالثواني، و $v$ سرعته المتجهة بالمتر لكل ثانية. إزاحة الجُسيم بالأمتار في الفترة $[0, 4]$ تساوي:

ناتج: $\int \frac{(\ln x)^4}{x} \, dx$ هو:

ناتج: $\int \sin^3 x \, dx$ هو:

ناتج: $\int 6x \ln x \ dx$ هو:

ناتج: $\int 5x \cos(5x) \ dx$ هو:

قيمة: $\int_0^1 x 4^x \ dx$ هي:

يُبيّن الشكل الآتي منحنى السرعة المتجهة - الزمن لجسيم يتحرك على المحور $x$ في الفترة الزمنية $[0, 5]$. إذا بدأ الجسيم حركته من $x = 3$ عندما $t = 0$ ، فإنّ الموقع النهائي للجسيم هو:

الحل الخاص للمعادلة التفاضلية: $dy = \sec x \tan x \ dx$ ، الذي يحقق النقطة $(\pi, -4)$ هو:

اعتمادًا على الشكل الآتي الذي يمثل مكعبًا طول ضلعه ⁦8cm⁩ ، فإنّ إحداثيات النقطة A هي:

إذا كانت: $A(3,a,2)$ و $B(-5,2,a+b)$ ، وكانت إحداثيات نقطة منتصف $\overline{AB}$ هي $(-1,-1,-3)$ ، فإنّ قيمة الثابت $b$ هي:

إذا كان: $\vec{u}=\langle 3,-5,-2\rangle$ ، $\vec{v}=\langle 1,3,1\rangle$ ، فإنّ: $2\vec{u}-\vec{v}$ هو:

إذا كان متجه الموقع للنقطة $P$ هو $\langle 6,5,7\rangle$ ، وكان متجه الموقع للنقطة $Q$ هو $\langle 3,-1,1\rangle$ ، فإنّ متجه الموقع للنقطة $F$ التي تقع على $\overline{PQ}$ ، حيث: $\overrightarrow{PF}=\frac{2}{3}\overrightarrow{PQ}$ هو:

إذا كانت النقطة $(1,2a,-1)$ تقع على مستقيم له معادلة متجهة هي: $\vec{r}=\langle -2,9,1\rangle+t\langle 3,-1,-2\rangle$ ، فإنّ قيمة الثابت $a$ هي:

إذا كان: $\vec{u}=\langle 13,-3,6\rangle$ ، $\vec{v}=\langle 3c,2,-12\rangle$ متعامدين، فإنّ قيمة الثابت $c$ هي:

إذا كان: $\vec{u},\vec{v}$ متجهين غير صفريين، فأيّ الأشكال الآتية يكون فيها $\vec{u}\cdot\vec{v}>0$ ؟

إذا كان: $X\sim Geo(0.6)$ ، فإنّ $P(X>2)$ هو:

إذا كان احتمال إصابة لاعب للهدف في لعبة رمي السهام يساوي $\frac{4}{5}$ ، وحاول هذا اللاعب إصابة الهدف في 5 رميات متتالية، فإنّ احتمال إصابته للهدف في 4 من رمياته على الأقل هو:

إذا كان: $X\sim B(200,p)$ ، وكان التباين للمتغير العشوائي $X$ يساوي 18 ، فإنّ قيم الثابت $p$ الممكنة هي:

إذا كان $X\sim N(8,0.04)$ ، فإنّ $P(7.6<X<8.2)$ هو: ملحوظة: يمكنك الاستفادة من القاعدة التجريبية.

إذا كان: $X\sim N(7,2^{2})$ ، وكان: $P(X>x)=0.1469$ ، فإنّ قيمة $x$ هي: ملحوظة: يمكنك الاستفادة من الجدول الآتي والذي يمثل بعض من قيم جدول التوزيع الطبيعي المعياري.

a) جد كلاً من التكاملات الآتية: 1) $\int \sec^{2}x\tan x\sqrt{1+\tan x}\,dx$ (10 علامات) 2) $\int \frac{7x^{2}-16x-2}{(x^{2}+2)(x-2)}\,dx$ (10 علامات)

b) معتمدًا الشكل المجاور، ما مساحة المنطقة المظللة؟ (10 علامات)

a) جد حجم المجسم الناتج عن دوران المنطقة المحصورة بين منحنيي الاقترانين الآتيين حول المحور $x$ . $f(x)=(x-2)^{2}\,,\ g(x)=2-(x-2)^{2}$ (12 علامة)

b) تمثّل المعادلة التفاضلية: $\frac{dy}{dx}=\frac{9x^{2}-3}{y^{2}}-3x^{2}y+y$ ميل المماس لمنحنى علاقة ما. جد قاعدة هذه العلاقة، إذا علمت أنّ منحناها يمر بالنقطة $(2,\sqrt[3]{3})$ . (12 علامة)

معتمدًا الشكل المجاور الذي يظهر فيه المثلث OAB، والنقطتان: C، و D. إذا كان: $\vec{OA} = 3\vec{a}, \vec{OB} = 3\vec{b}$ وكانت النقطة C تقع AB، حيث: $AC = m CB$ وكان $\vec{BD} = 2\vec{a} + \vec{b}$، فجد قيمة الثابت m التي تجعل النقاط O, C, D تقع على استقامة واحدة.

إذا كان: $l_1: \vec{r} = \langle 10, 4, 0 \rangle + t \langle 6, 3, 5 \rangle$ ، وكان: $l_2: \vec{r} = \langle -2, 2, 5 \rangle + u \langle -9, 3, 0 \rangle$ ، فأثبت أن المستقيمين $l_1$ و $l_2$ متخالفان.

معتمدًا الشكل المجاور الذي يظهر فيه الهرم الرباعي ABCDE، إذا كان: $\vec{ED} = \langle -7, -8, -2 \rangle$ ، $\vec{EB} = \langle 1, -4, -10 \rangle$ ، فجد $m\angle BED$ إلى أقرب عُشر درجة.

يمثل الشكل المجاور قرصًا مقسمًا إلى 8 قطاعات متطابقة. إذا دُوّر مؤشر القرص 6 مرات، ودلّ المتغيّر العشوائي X على عدد مرات توقف المؤشر على الحرف R، فجد كلاً من الاحتمالات الآتية: 1) توقف المؤشر على الحرف R ثلاث مرات فقط. 2) توقف المؤشر على الحرف R مرة واحدة على الأقل.

يدلّ المتغير العشوائي $X\sim N(5,\sigma^{2})$ على كتل أكياس الأرز (بالكيلوغرام) التي ينتجها أحد المصانع. إذا زادت كتلة 2.5% فقط منها على ⁦5.3 Kg⁩، فجد الانحراف المعياري لكتل أكياس الأرز. (8 علامات) ملحوظة: يمكنك الاستفادة من الجدول الآتي والذي يمثل بعض من قيم جدول التوزيع الطبيعي المعياري.