أسئلة الرياضيات الوزارية: الوحدة ٣: التفاضل وتطبيقاته

إذا كان: $f(x) = \sin x + \cos x$، فإنّ $f'(x) \times f(x)$ هو:

إذا كان: $f(x) = \ln(\frac{x^2}{e}), x \neq 0$، فإن $f'(x)$ هي:

إذا كان: $f(x) = \sin x + \pi \cos x$، فإن $f'(\frac{3\pi}{2})$ هي:

إذا كان الاقتران: $s(t) = 5 - \sin t, t \ge 0$ يُمثّل موقع جُسيم يتحرك في مسار مستقيم، حيث $s$ الموقع بالأمتار، و $t$ الزمن بالثواني، فإنّ موقع الجُسيم عندما كان في حالة سكون لحظي أوّل مرة بعد انطلاقه هو:

إذا كان: $f(x) = \ln(ax^3),\ x > 0$ حيث: $a > 0,\ a \neq 1$ ، فإنّ $f'(x)$ هي:

إذا كان: $f(x) = 4\sin x - 2\cos x$ ، فإنّ $f'\left(-\frac{\pi}{6}\right)$ هي:

إذا كان: $f(x) = \frac{4-x^2}{x^2+1}$ ، فإنّ للاقتران $f(x)$ قيمة صغرى مطلقة في الفترة $[-1, 2]$ عندما:

إذا كان: $f(x) = 2\sin(x + \pi) - \frac{x^2}{\pi}$ ، فإنّ $f'\left(\frac{\pi}{2}\right)$ ، هي:

يُمثّل الاقتران: $s(t) = 2t^2 - \frac{1}{2}t^3 + 4$ , $t \geq 0$ موقع جسم يتحرك في مسار مستقيم، حيث $s$ الموقع بالأمتار، $t$ الزمن بالثواني، فإنّ سرعة الجسم بالمتر لكل ثانية في اللحظة التي يعود فيها إلى موقعه الابتدائي، هي:

إذا كان: $f(x) = e^x - 3x$ ، فإنّ الإحداثي $x$ للنقطة التي يكون عندها المماس موازيًا للمستقيم الذي معادلته: $4x + 2y + 2 = 0$ ، هو:

إذا كان: $f(x) = \sqrt[3]{x^2}$ ، فإن $f'(x)$ هي:

• يُمثّل الاقتران $s(t)$ المبيّن منحناه في الشكل الآتي موقع جسم يتحرك في مسار مستقيم في الفترة $[0,9]$، حيث $s$ الموقع بالأمتار، و $t$ الزمن بالثواني، اعتمد الشكل للإجابة عن الفقرتين (15) و (16) الآتيتين: قيمة (قيم) $t$ التي يكون عندها الجسم في حالة سكون لحظي هي:

إذا كان: $f(x) = \sqrt[3]{x} (x^3 + b)$، وكان: $f'(-1) = 2$، فإنّ قيمة الثابت $b$ هي:

يُبيّن الشكل الآتي منحنى الاقتران $g(x)$. إذا كان: $h(x) = g(x)e^{-x}$، فإن $h'(4)$ هي:

إذا أمكن التعبير عن ارتفاع نبتة مُهجّنة من نبات تبّاع الشمس باستعمال الاقتران: $h(t) = \frac{t^2}{4+t^2}$، حيث $h$ ارتفاع النبتة بالأمتار، و $t$ الزمن بالأشهر بعد زراعة البذور، فإنّ معدّل تغيّر ارتفاع النبتة بالنسبة إلى الزمن عندما $t=1$ هو:

إذا كان: $f(x) = \frac{4}{x+1}, x < -1$، فإنّ إحداثيي النقطة التي يكون عندها $f'(x) = -1$ هي:

يُبيّن الشكل الآتي منحنيي الاقترانين $f(x)$ ، و $g(x)$ . إذا كان: $u(x) = f(x) + \frac{2}{g(x)}$ ، فإنّ $u'(1)$ هي:

إذا كان: $y = \frac{1+\sin 2x}{3+\cos 2x}$ ، فإنّ $\frac{dy}{dx}$ هي:

إذا مثّل الاقتران: $s(t) = t^3 - 4t^2 + 4t,\ t \geq 0$ موقع جسم يتحرك في مسار مستقيم، حيث $s$ الموقع بالأمتار، و $t$ الزمن بالثواني، فإنّ الفترة التي تتناقص فيها سرعة الجسم هي:

يُمثّل الشكل الآتي منحنى الاقتران $f$ ، إذا كان: $g(x) = \frac{-1}{f(x)}$ ، فإنّ $g'(2)$ ، هي:

إذا كان: $f(x) = \csc x + e^2$ ، فإنّ $f''\left(\frac{\pi}{4}\right)$ ، هي:

إذا كان الاقتران: $s(t) = t^3 - 6t^2 + 1, t \ge 0$ يُمثّل موقع جسم يتحرك في مسار مستقيم، حيث $s$ الموقع بالأمتار، و $t$ الزمن بالثواني، فإنّ سرعة الجسم عندما يكون تسارعه صفرًا هي:

يبيّن الشكل الآتي منحنيي الاقترانين $g(x), f(x)$. إذا كان: $h(x) = f(x) g(x)$ ، فإنّ $h'(3)$ هي:

إذا كان: $x \ne 0$ ، $f(x) = 2x - \frac{1}{x}$ ، فإنّ $f'''(x)$ هي:

إذا كان: $f(x) = e^{2x} + e^{-2x}$، فإنّ $f''(x) + 2f'(x)$ هي:

إذا أمكن التعبير عن درجة حرارة الجو في أحد أيام الشتاء بالاقتران: $A(t) = \frac{16}{(t+2)^2}$، حيث $t$ الزمن بالساعات بعد غروب الشمس، و $A$ درجة الحرارة بالسيليسيوس، فإنّ معدّل تغيّر درجة حرارة الجو عندما $t = 2$ هو:

إذا كان: $f(x) = \log_3(2 + \ln x)$، فإنّ $f'(e)$ هي:

إذا أُعطي منحنى بالمعادلة الوسيطية: $x = 2\sec t$ ، $y = \tan t + 1$، حيث: $-\frac{\pi}{2} < t < \frac{\pi}{2}$، فإنّ $\frac{dy}{dx}$ عندما $t = \frac{\pi}{4}$ هو:

إذا كان: $f(x) = 5^{2-x}$، فإنّ ميل العمودي على المماس لمنحنى الاقتران $f(x)$ عندما $x=2$ هو:

إذا كان: $f(x) = \cot \pi x$، فإنّ $f'(\frac{1}{4})$ هي:

إذا كان الاقتران: $A(t) = Ne^{0.1t}$ يُمثّل عدد الخلايا البكتيرية بعد $t$ ساعة في مجتمع بكتيري، وكان معدّل نمو المجتمع بعد 10 ساعات هو ($200e$) خلية لكلّ ساعة، فإنّ قيمة الثابت $N$ هي:

إذا كان: $h(x) = (f \circ g)(x)$، وكان: $f(1) = 3, f'(1) = -1, g(2) = 1, g'(2) = 2$؛ فإن $h'(2)$ هي:

إذا كان: $f(x) = (\log_2(x - 1))^3$؛ فإنّ $f'(5)$ هي:

إذا تحرّكت كُرة معلّقة بزنبرك إلى الأعلى وإلى الأسفل، وحدّد الاقتران: $s(t) = 0.2\sin 1.5t$ موقع الكُرة عند أيّ زمن لاحق، حيث $t$ الزمن بالثواني، و $s$ الموقع بالسنتيمترات، فإنّ موقع الكُرة عندما تكون سرعتها صفرًا هو:

إذا كان: $f(x) = 2^{-4x}$ ، فإنّ ميل العمودي على المماس لمنحنى الاقتران $f(x)$ عندما $x = \log_2 3$ هو:

إذا كان: $f(x) = 2e^{x^3}\sqrt{x+1}$ ، فإنّ $f'(0)$ هو:

إذا كان: $4^x \ln y = \frac{x}{y} - 1$، فإنّ $\frac{dy}{dx}$ عندما $y = 1$ هو:

إذا مثّل المستقيم $l$ مماسًا لمنحنى العلاقة: $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 5$ عند النقطة $(4, 9)$، فإنّ المقطع $y$ للمستقيم $l$ هو:

إذا كانت: $y^2 = \ln(xy)$ ، فإن $\frac{dy}{dx}$ عند النقطة $(e, 1)$ ، هي:

إذا كانت: $x > 0$ ، $y = x^{\frac{1}{x}}$ ، فإن ميل المماس لمنحنى العلاقة $y$ عند أي نقطة تقع عليها، هو:

إذا كانت: $2x + y = 2 \sin y$ ، فإنّ قيمة $\frac{dy}{dx}$ عند النقطة $(0, 0)$ هي:

إذا كان: $y^2 = 2cos(\frac{\pi}{3} e^{\ln x})$ ، فإن ميل المماس لمنحنى العلاقة $y$ عند النقطة $(1, 1)$ هو:

إذا كان $y^{2} + \cos x = 5$ ، فإنّ $\frac{dy}{dx}$ هي:

النقطة الواقعة على منحنى العلاقة $\sqrt{\text{س}} + \sqrt{\text{ص}} = \textup{٤}$ ، $\text{س} \text{،} \text{ص} > \textup{٠}$ ، التي يصنع عندها المماس زاوية مقدارها $(\textup{١٣٥}^{\circ})$ مع الاتجاه الموجب لمحور السينات هي:

يُبيّن الشكل الآتي خزّانًا أسطوانيًّا ارتفاعه $10\text{ m}$، وطول قُطر قاعدته $4\text{ m}$. مُلئ الخزّان بالوقود بمعدّل $200\text{ L/min}$، فإنّ معدّل تغيّر ارتفاع الوقود في الخزّان عند أيّ لحظة هو:

يتحرك جُسيم على منحنى الاقتران: $f(x) = \frac{8}{2 + \sqrt{x}}, x \ge 0$. إذا كان معدّل تغيّر الإحداثي $x$ هو $2.5 \text{ cm/s}$ ، فإنّ معدّل تغيّر الإحداثي $y$ عندما $x = 4 \text{ cm}$ هو:

يتحرّك قمر صناعيّ حول الأرض ويمسح جزءًا منها باستعمال مُستشعرات لقياس الزاوية $\theta$ (بالراديان) المُبيّنة في الشكل الآتي. إذا علمت أنّ $h$ يُمثّل المسافة بين القمر الصناعيّ وسطح الأرض بالكيلومتر، و $r$ يُمثّل نصف قطر الأرض، ويساوي $6371$ ⁦km⁩ تقريبًا، فإنّ معدّل تغيّر $h$ بالنسبة إلى $\theta$ عندما $\theta = \frac{\pi}{4}$ هو:

إذا كان ارتفاع كاميرا عن سطح الأرض $40$ ⁦m⁩ ، ورصدت الكاميرا درّاجة نارية تتحرك على طريق مستقيم بسرعة ثابتة تبلغ $100$ ⁦km/h⁩ كما في الشكل الآتي، فإنّ معدّل تغيّر الزاوية $\theta$ عندما تكون الدرّاجة أسفل الكاميرا تمامًا هو:

الإحداثي $x$ للنقطة الواقعة على منحنى الاقتران: $f(x) = 2 - x^2$ في الربع الأول من المستوى الإحداثي التي هي أقرب ما يمكن إلى النقطة $(0, 1)$ هو:

معتمدًا الشكل الآتي الذي يُمثّل كاميرا مثبتة عند النقطة $A$ ترصد منطادًا يرتفع رأسيًا إلى أعلى من النقطة $B$ ، إذا أُعطي ارتفاع المنطاد بالاقتران: $s(t) = 10t^2$ ، حيث $s$ موقع المنطاد بالأمتار، $t$ الزمن بالدقائق، فإنّ معدّل تغيّر زاوية ارتفاع المنطاد $\theta$ بعد دقيقتين من بدء ارتفاعه، هو:

مكعب طول ضلعه $5 \text{ cm}$ . إذا بدأ المكعب بالتمدد فزاد طول ضلعه بمعدل $2 \text{ cm/min}$ ، وظلّ محافظًا على شكله، فإنّ معدّل تغيّر حجم المكعب بعد $1 \text{ min}$ من بدء تمدده، هو:

سقطت قطرة ماء على سطح مائي، فتكونت موجات دائرية متحدة المركز، فإذا ازدادت مساحة إحدى الدوائر بمعدل $12 \text{ cm}^2/\text{s}$ ، فإن معدل تغير محيط هذه الدائرة عندما يكون طول نصف قطرها $3 \text{ cm}$ هو:

تُمثّل العلاقة: $C = 2\pi r$ مُحيط دائرة نصف قطرها $(r)$ بالسنتيمتر . إذا كان نصف قطر الدائرة يزداد بمعدل ⁦3 cm/s⁩ ، فإنّ مُعدل تغير محيط هذه الدائرة يساوي:

$l$ و $m$ طريقان مستقيمان متعامدان في النقطة $C$. تقع محطة وقود على الطريق $m$ وتبعد $12\text{ km}$ عن نقطة التقاطع $C$. إذا تحركت سيارة على الطريق $l$ بسرعة $26\text{ km/h}$ في اتجاه نقطة التقاطع $C$ ، فما معدل تغيّر المسافة بين السيارة ومحطة الوقود عندما تكون السيارة على بعد $5\text{ km}$ من نقطة التقاطع؟

مثلث متطابق الضلعين طول كل من ضلعيه المتطابقين $10\text{ cm}$ ، وقياس الزاوية بينهما $\theta$. إذا تغيّرت $\theta$ بمعدل $\frac{\pi}{60}\text{ rad/min}$ ، فإن معدل تغيّر مساحة المثلث عندما $\theta = \frac{\pi}{3}$ هو:

إذا كان: $f(x) = \frac{x}{3} + \frac{9}{x}$ ، $x \neq 0$ ، فإنّ القيمة العظمى المطلقة للاقتران $f(x)$ في الفترة $[-6, -1]$ هي: