امتحان الرياضيات الوزاري 2023، الدورة التكميلية، الورقة الثانية، مع الإجابات

قيمة $\int_{-1}^{1} 3^x dx$ تساوي:

$\int \sin(5 - 3x) dx$ يساوي:

$\int (\tan^2 2x - \sec^2 2x) dx$ يساوي:

إذا كان: $f(x) = \begin{cases} (2-3x)^{2} & , x < 1 \\ 3x^{2} - 2x & , x \ge 1 \end{cases}$ ، فإنّ قيمة $\int_{0}^{3} f(x)\, dx$ تساوي:

إذا كان: $f'(x) = e^{x} + e^{-x}$ يمثل ميل المماس لمنحنى الاقتران $f$ ، وكان منحنى الاقتران يمر بالنقطة $(0, -1)$ ، فإنّ قاعدة الاقتران $f$ ، هي:

يتحرك جُسيم في مسار مستقيم، وتُعطى سرعته المتجهة بالاقتران: $v(t) = 12t - 3t^{2}$ ، حيث $t$ الزمن بالثواني، و $v$ السرعة المتجهة بالمتر لكل ثانية. فإنّ إزاحة الجسم في الفترة $[0, 6]$ تساوي:

$\int (1 - 2x) \sqrt[3]{x^{2} - x}\, dx$ يساوي:

$\int \sin^{2} x \sin 2x\, dx$ يساوي:

قيمة $\int_{1}^{2} \ln x^2 \, dx$ تساوي:

$\int x \csc^2 x \, dx$ يساوي:

إذا كان: $f(0) = 5, f(1) = 8, \int_{0}^{1} f(x) dx = 1$ ، فإن قيمة $\int_{0}^{1} x f'(x) dx$ تساوي:

معتمدًا الشكل المجاور الذي يمثل منحنى السرعة المتجهة - الزمن لجسم يتحرك على المحور $x$ في الفترة الزمنية $[0, 6]$. إذا بدأ الجسم الحركة من $x = 10$ ، عندما $t = 0$ ، فإن موقع الجسم النهائي، هو:

إذا كانت: $\frac{dy}{dx} = \tan x - xe^{-x^2}$ ، فإن الحل الخاص الذي يحقق النقطة $(0, 0)$ ، هو:

عند تعيين النقطة $A(0, -1, 1)$ في نظام الإحداثيات ثلاثي الأبعاد، فإنّها تقع على:

إذا كانت $A(-5, 2, 5)$ , $B(-1, 5, -7)$ ، فإنّ $AB$ يساوي:

معتمدًا الشكل الآتي الذي يمثل كلًّا من المتجهات $\vec{\mathbf{a}}$ , $\vec{\mathbf{b}}$ , $\vec{\mathbf{c}}$ ، أيّ من الآتية يمثل جمعًا هندسيًّا صحيحًا للمتجهات؟

إذا كان $A(3, 2, -7)$ , $B(-8, 1, -9)$ ، فإنّ متجه الإزاحة من النقطة $B$ إلى النقطة $A$ ، هو:

إذا كانت: $\vec{\mathbf{r}} = \langle -1, 5, 2 \rangle + t\langle 4, 0, 5 \rangle$ معادلة متجهة للمستقيم $l$ ، و $P(5, 5, 7)$ نقطة غير واقعة عليه، وكانت النقطة $F$ هي مسقط النقطة $P$ على المستقيم $l$ ، فإنّ $\overrightarrow{PF}$ ، هو:

إذا كان: $\vec{\mathbf{c}} = \langle 1, -2, 6 \rangle$ ، $A(2, 1, 4)$ , $B(-3, 0, 4)$ ، وكان $\vec{\mathbf{u}} = \overrightarrow{AB}$ ، فإنّ $\vec{\mathbf{u}} \cdot \vec{\mathbf{c}}$ يساوي:

إذا كان: $\vec{\mathbf{u}}$ , $\vec{\mathbf{v}}$ متجهين غير صفريين، وكان $\vec{\mathbf{u}} \cdot \vec{\mathbf{v}} = 0$ ، فإنّ الشكل الأنسب للتعبير عن المتجهين $\vec{\mathbf{u}}$ , $\vec{\mathbf{v}}$ هندسيًّا من الأشكال الآتية، هو:

إذا كان $X \sim Geo\left(\frac{3}{4}\right)$ ، فإنّ $P(X = 2)$ يساوي:

احتمال ظهور ثلاجة بها عيب في إحدى شركات تصنيع الثلاجات يساوي 4%، إذا اختيرت عينة عشوائية من 10 ثلاجات، فإن احتمال أن تكون ثلاجتان فيهما عيب، هو تقريبًا:

إذا كان: $X \sim Geo\left(\frac{5}{8}\right)$ ، فإنّ توقع المتغير العشوائي $X$ ، هو:

إذا كان هطل الأمطار السنوي في إحدى المدن يتبع توزيعًا طبيعيًا، وسطه الحسابي $1000\text{ mm}$ ، وانحرافه المعياري $200\text{ mm}$ ، فإنّ احتمال أن يكون هطل الأمطار السنوي بين $800\text{ mm}$ و $1200\text{ mm}$ ، هو: ملحوظة: يمكنك الاستفادة من القاعدة التجريبية

إذا كان $\mu > 0$ ، $X \sim N\left(\mu, \frac{\mu^2}{4}\right)$ ، فإنّ قيمة $P(X > 2\mu)$ تساوي: ملحوظة: يمكنك الاستفادة من الجدول الآتي والذي يمثل بعضًا من قيم جدول التوزيع الطبيعي المعياري.

a) جد كلًّا من التكاملات الآتية: 1) $\int (\sec x \tan x)^{4}\, dx$ 2) $\int \frac{x^{2} - x + 1}{x^{4} + x^{2}}\, dx$

b) جد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيي الاقترانين: $f(x) = x^{2} + 2$ , $g(x) = 12 - \frac{9}{x^{2}}$ حيث $x \ge 1$

a) أثبت أنّ حجم المُجسَّم الناتج من دوران المنطقة المحصورة بين منحنيي الاقترانين: $f(x) = \frac{4}{x}$ , $g(x) = (x - 3)^{2}$ حول المحور $x$ يساوي $\frac{27}{5}\pi$ وحدة مكعبة.

b) حُلّ المعادلة التفاضلية الآتية: $\frac{dy}{dx} = x^{2} - x^{2}e^{-y} + e^{-y} - 1$

معتمدًا الشكل المجاور الذي يظهر فيه المثلث $OAB$ ، إذا كانت النقطة $P$ تقع على $\overline{OA}$ ، حيث: $AP:PO = 1:4$ ، والنقطة $Q$ تقع على $\overline{AB}$ ، حيث: $AQ:QB = 2:3$ ، والنقطة $R$ تقع على امتداد $OB$ ، حيث: $OB:BR = 5:3$ ، وكان $\overrightarrow{PA} = \vec{\mathbf{a}}$ , $\overrightarrow{OB} = 5\vec{\mathbf{b}}$ ، فأثبت أنّ النقاط $P, Q, R$ تقع على استقامة واحدة.

إذا كان: $l_{1}: \vec{r_1} = \langle -5, 2, 4 \rangle + t\langle 3, -5, -1 \rangle$ ، $l_{2}: \vec{r_2} = \langle 0, -8, -1 \rangle + u\langle 12, -15, a + 1 \rangle$ ، فما قيمة الثابت $a$ التي تجعل المستقيمين $l_{1}$ و $l_{2}$ متقاطعين؟

معتمدًا الشكل المجاور الذي يظهر فيه الهرم $ABCDE$ ، إذا علمت أنّ إحداثيات رؤوس قاعدة هذا الهرم هي: $A, B, C, D$ ، وأنّ: $\overrightarrow{EA} = \langle -7, 2, 8 \rangle$ , $\overrightarrow{EC} = \langle 1, -10, -4 \rangle$ ، فجد $m\angle AEC$ مقرّبًا إجابتك إلى أقرب عُشر درجة.

يتضمن اختبار شهري لمادة اللغة العربية 10 أسئلة جميعها من نوع الاختيار من متعدد، ولكل منها 4 بدائل، واحد منها الإجابة الصحيحة. إذا أجاب أحد الطلبة عن هذه الأسئلة العشرة بصورة عشوائية، فما احتمال أن تكون إجابة واحدة على الأكثر منها صحيحة؟ (أقرّب الناتج إلى أقرب جزء من ألف).

مراقب ضبط الجودة في أحد المصانع يأخذ عينات عشوائية بصورة متكررة لتحديد كتل قطع البسكويت المنتجة في هذا المصنع، وقد وُجد أن هذه الكتل تتبع توزيعًا طبيعيًا: $X \sim N(\mu, \sigma^{2})$ . إذا كانت 6.68% من عينات الكتل تُظهر أن الكتلة تزيد على $55\text{ g}$ ، وكانت 2.74% من العينات تُظهر أن الكتلة تقل عن $50\text{ g}$ ، فجد الوسط الحسابي والانحراف المعياري لكتل قطع البسكويت.

ملحوظة: يمكنك الاستفادة من الجدول الآتي والذي يمثل بعضًا من قيم جدول التوزيع الطبيعي المعياري.