أسئلة الرياضيات الوزارية: الوحدة ٥: التكامل

ناتج: $\int \cot \frac{1}{2}x \, dx$ هو:

ناتج: $\int \frac{2^{2x+2}}{\ln 2} \, dx$ هو:

إذا كان: $\int_0^{\pi} \sin^2 x \, dx = a\pi$ ، فإنّ قيمة الثابت $a$ هي:

يُمثّل الاقتران: $\frac{dy}{dx} = e^{3x} - e^{-x}$ ميل المماس لمُنحنى الاقتران $y$. إذا كان مُنحنى $y$ يمرّ بالنقطة $(0, 2)$، فإنّ قاعدة الاقتران $y$ هي:

إذا تحرّك جُسيم في مسار مستقيم، وكانت سرعته تُعطى بالاقتران: $v(t) = 4\sin t$، حيث $v$ سرعته بالمتر لكلّ ثانية، و $t$ الزمن بالثواني، فإنّ المسافة الكُلّية بالأمتار التي قطعها الجُسيم في الفترة $[0, 2\pi]$ هي:

ناتج: $\int (3\sqrt{x} - 2^{-x}) \, dx$ هو:

قيمة: $\int_{2}^{4} \frac{\vert{}2x-3\vert{}}{3-2x} \, dx$ هي:

إذا كان: $a < 2$ ، $\int_{-3}^{a} (\frac{-1}{x-2}) dx = \ln(\frac{5}{3})$ ، فإنّ قيمة الثابت $a$ هي:

قيمة: $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos 2x}{\sin x \cos x + 1} dx$ هي:

يتحرك جُسيم في مسار مستقيم، وتُعطى سرعته بالاقتران: $v(t) = 20 - (2t - 6)^2$ ، حيث $v$ السرعة بالمتر لكل ثانية و $t$ الزمن بالثواني. إذا كان الموقع الابتدائي للجُسيم هو $4\text{ m}$ ، فإنّ موقع الجُسيم بعد $3$ ثوانٍ هو:

إذا كان: $f(x) = \frac{-9}{x^{-2}}$ ، فإنّ أي اقتران أصلي للاقتران $f(x)$ يُكتب على الصورة:

$\int x^2 \left(3 + \frac{2}{x}\right) dx$ هو:

ناتج: $\int x^5 \left(1 + \frac{1}{x}\right)^5 dx$ هو:

ناتج: $\int \frac{\sin^2 3x}{\cos^4 3x} dx$ هو:

قيمة: $\int \frac{(x^2-2x+1)^3}{x^8} dx$ هي:

يُمثّل الاقتران $C(t)$ تركيز دواء في الدم بعد $t$ دقيقة من حقنه في جسم مريض، حيث $C$ مقيسة بالملغرام لكلّ سنتيمتر مكعب ⁦(mg/cm³)⁩⁠. إذا كان تركيز الدواء لحظة حقنه في جسم المريض ⁦1.5mg/cm³⁩ ، وأخذ يتغيّر بمعدل $C'(t) = \frac{-0.1\, e^{-0.1t}}{(1 + e^{-0.1t})^2}$ ، فإنّ قاعدة الاقتران $C(t)$ هي:

قيمة $\int_{0}^{1} (2x - 3)^3 dx$ ، تساوي:

$\int \frac{2x^2}{x^3 - 4} dx$ هو:

$\int \frac{\ln x^4}{x} dx$ هو:

قيمة: $\int_{-1}^{0} \sqrt{x^2 - x^4} \, dx$ هي:

قيمة: $\int_{-2}^{0} e^{6x} (2 - \frac{2}{e^x})^5 \, dx$ هي:

يُمثّل الاقتران $P(x)$ سعر القطعة الواحدة (بالدينار) من مُنتَج معين، حيث $x$ عدد القطع المبيعة بالمئات. إذا كان: $P'(x) = \frac{-6x}{\sqrt{8 + x^{2}}}$ هو معدّل التغيّر في سعر هذه القطعة، وكان سعر القطعة الواحدة هو ⁦10 JD⁩⁠، عندما يكون عدد القطع المبيعة منها 100 قطعة، فإنّ قاعدة الاقتران $P(x)$ هي:

قيمة: $\int_{0}^{\pi/4} \tan x \sec^{3} x\,dx$ هي:

∫ 20($2x + 1$)⁹ ⁦dx⁩ هو:

ناتج: $\int \frac{x^2+3}{x^3+x} dx$ هو:

إذا كان: $\int \frac{x^2+3x+9}{x+3} dx = ax^2 + 9\ln\vert{}x+3\vert{} + C$ ، فإنّ قيمة الثابت $a$ هي:

ناتج: $\int \frac{x+4}{x^2-x} \, dx$ هو:

ناتج: $\int \frac{x^{2} + 2x + 2}{x + 2}\,dx$ هو:

ناتج: $\int \frac{1}{x^{2}(x - 1)}\,dx$ هو:

ناتج: $\int \frac{4}{(x-2)(x+2)} \, dx$ ، هو:

ناتج: $\int \frac{2x+1}{x-x^2} \, dx$ هو:

ناتج: $\int \sec^2 \sqrt{x} dx$ هو:

ناتج: $\int \ln \sqrt{x} \, dx$ ، هو:

ناتج: $\int 6x \ln x \ dx$ هو:

ناتج: $\int 5x \cos(5x) \ dx$ هو:

قيمة: $\int_0^1 x 4^x \ dx$ هي:

قيمة $\int_{1}^{2} \ln x^2 \, dx$ تساوي:

$\int x \csc^2 x \, dx$ يساوي:

إذا كان: $f(0) = 5, f(1) = 8, \int_{0}^{1} f(x) dx = 1$ ، فإن قيمة $\int_{0}^{1} x f'(x) dx$ تساوي:

إذا كان ميل المماس لمنحنى العلاقة $\text{ص}$ عند النقطة $(\text{س} \text{،} \text{ص})$ يساوي $\textup{٢}\text{س} \text{هـ}^{\textup{٢}\text{س}}$ ، وكانت النقطة $(\textup{٠} \text{،} \textup{٢})$ تقع على منحناها ، فإنّ قاعدة العلاقة $\text{ص}$ هي:

إذا كانت مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران: $f(x) = \frac{4}{x}\ ,\ x \neq 0$ والمحور $x$ والمستقيمين: $x = 1\ ,\ x = a$ تساوي $12$ وحدة مربّعة، فإنّ قيمة الثابت $a$، حيث $a > 1$ هي:

اعتمادًا على التمثيل البياني الآتي الذي يُبيّن منحنى الاقتران: $f(x) = \sqrt{\ln x}$، والمستقيم $x = e^2$، فإنّ حجم المُجسّم الناتج من دوران المنطقة المُظلّلة حول المحور $x$ بالوحدات المكعّبة هو:

إذا كان الاقتران المُبيّن منحناه في الشكل الآتي هو: $f(x) = x(2-x)^2$ ، فإن مساحة المنطقة المظللة (بالوحدات المربعة) هي:

يُبيّن الشكل الآتي منحنى السرعة - الزمن لجسم يتحرك على المحور ⁦x⁩ في الفترة [0, 7]، إذا بدأ الجسم الحركة من $x = 0$ عندما $t = 0$ ، فإنّ إزاحة الجسم في الفترة الزمنية المعطاة هي:

التكامل المحدود الذي قيمته تساوي مساحة المنطقة المظلّلة في التمثيل البياني الآتي هو:

مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران: $f(x) = x + 1$ ، والمحور $x$ ، والمستقيم $x = 0$ بالوحدات المربعة، هي:

إذا كان الاقتران المبين منحناه في الشكل الآتي هو: $f(x) = 5 - 5^{x}$ ، فإن مساحة المنطقة المظللة بالوحدات المربعة هي:

يُبيّن الشكل الآتي منحنى السرعة - الزمن لجسم يتحرك على المحور ⁦x⁩ في الفترة [0, 8]، إذا بدأ الجسم الحركة من $x = 5$ عندما $t = 0$، فإنّ إزاحة الجسم في الفترة الزمنية المعطاة هي:

مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران: $f(x)$ = -√⁦x⁩ ، والمحور ⁦x⁩ ، والمستقيم $x = 9$ بالوحدات المربعة، هي:

معتمدًا الشكل الآتي الذي يُمثّل منحنى السرعة - الزمن لجسيم يتحرك على المحور ⁦x⁩ في الفترة الزمنية [0,6]. إذا بدأ الجسيم الحركة من $x = 2$ عندما $t = 0$ ، فإنّ الموقع النهائي للجسيم، هو:

يُبيّن الشكل الآتي منحنى الاقتران $f(x)$ ، إذا كانت مساحة المنطقة المظلّلة تساوي $\ln 16$ وحدة مربعة، فإن قيمة الثابت ⁦k⁩ هي:

يُبيّن الشكل الآتي منحنى السرعة - الزمن لجسم يتحرك على المحور $x$ في الفترة الزمنية $[0, 6]$. إذا بدأ الجسم الحركة من $x = 3$ عندما $t = 0$ ، فإنّ المسافة التي قطعها الجسم في الفترة الزمنية المعطاة هي:

حلّ المعادلة التفاضلية: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sin^2 x \cos^2 y}$ هو:

حلّ المعادلة التفاضلية: $x \frac{dy}{dx} = \sqrt{y}\,(3x + 1)$ الذي تحققه النقطة $(1, 1)$ هو:

حلّ المعادلة التفاضلية: $\frac{dy}{dx} = \frac{((x-3) \sin y)^2}{3-x}$ الذي تحققه النقطة $(0, \frac{\pi}{4})$ هو:

الحل العام للمعادلة التفاضلية: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{xy} \ , \ x > 0, \ y > 0$ ، هو:

حل المعادلة التفاضلية: $\frac{dy}{dx} = e^{(x+y)}$ ، الذي يحقق النقطة $(0, 0)$ ، هو:

الحل الخاص للمعادلة التفاضلية: $dy = \sec x \tan x \ dx$ ، الذي يحقق النقطة $(\pi, -4)$ هو: