امتحان الرياضيات الوزاري 2024، الدورة التكميلية، الفرع الصناعي، مع الإجابات

إذا كان: $f(x) = e^{-2x} - x$ ، فإنّ قيمة $f'(0)$ هي:

إذا كان: $f(x) = \ln \sqrt{x}$ , $x > 0$ ، فإنّ ناتج $f'(x)$ هو:

إذا كان: $f(x) = \pi x - 2\cos x$ ، فإنّ $f'\left(\frac{\pi}{2}\right)$ هي:

ميل المماس لمنحنى الاقتران: $f(x) = \frac{4}{3-x^2}$ عند النقطة $(1, 2)$ هو:

إذا كان: $f(x) = \frac{\sin x}{x^2}$ ، فإن قيمة $f'(\frac{\pi}{2})$ هي:

إذا كان: $y = \sqrt{3x^2 + 1}$ ، فإن $\frac{dy}{dx}$ هي:

إذا كان: $f(x) = \tan(x^2 - 3x + 4)$ ، فإن ناتج $f'(x)$ هو:

إذا كانت: $2x + y = 2 \sin y$ ، فإنّ قيمة $\frac{dy}{dx}$ عند النقطة $(0, 0)$ هي:

القيمة الصغرى المطلقة للاقتران: $f(x) = x^3 - 6x^2 - 1$ في الفترة $[-1, 5]$ هي:

إذا كان: $i = \sqrt{-1}$ ، فإنّ ناتج $2i \times \sqrt{-9}$ في أبسط صورة هو:

يُبيّن الشكل الآتي التمثيل البياني للعدد المُركّب $z$ . إنّ مرافق $z$ هو:

قِيَم كلّ من $x, y$ الحقيقية التي تُحقّق المعادلة: $8 + 9i = x + 2iy - 1 - 5i$ هي:

سعة العدد المركب: $z = -5 - 5i$ هي:

ناتج: $\int \frac{4(x+1)}{x^2 + 2x - 5}\, dx$ هو:

ناتج: $\int (3e^{1-6x} + 3)\, dx$ هو:

قيمة: $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 3 \sec^2(3x) dx$ هي:

قيمة: $\int_{3}^{5} (3 + |4 - 2x|) dx$ هي:

ناتج: $\int 4 \sin x \cos x dx$ هو:

إذا كانت: $M(5, -3, 6)$, $N(2, 1, -6)$ نقطتين في الفضاء، فإنّ المسافة بين النقطتين $N, M$ هي:

إذا كانت: $A(3,-2,8)$ , $B(5,4,2)$ نقطتين في الفضاء، فإنّ إحداثيات منتصف $\overline{AB}$ هي:

إذا كان: $\vec{u} = \langle 3 - b, 8, 9\rangle$ ، $\vec{v} = \langle 2, 3a - 1, 9\rangle$ ، وكان: $\vec{u} = \vec{v}$ ، فإنّ قيمة $(a + b)$ هي:

إذا كانت: $A(-1,6,5)$ , $B(0,1,-4)$ نقطتين في الفضاء، فإنّ مُتّجه الإزاحة من النقطة $B$ إلى النقطة $A$ هو:

إذا كان: $\vec{u} = \langle -3, 0, 4\rangle$ ، فإنّ متّجه الوحدة باتجاه $\vec{u}$ هو:

إذا كان قياس الزاوية بين المتجهين $\vec{a}, \vec{b}$ يساوي $60°$ ، وكان $\vec{a} \cdot \vec{b} = 60$ ، وكان $|\vec{a}| = 10$ ، فإن $|\vec{b}|$ هو:

إذا كان: $\vec{v} = \langle 2, a, -5\rangle$ ، وكان $|\vec{v}| = 3\sqrt{5}$ ، فإن قيمة (قيم) الثابت $a$ هي:

جد $\frac{dy}{dx}$ لكل مما يأتي عند القيمة المعطاة إزاء كل منها: (13 علامة)

1) $y = \frac{5x}{(e^x + 1)^2}$ , $x = 0$

2) $y = \frac{x^2}{\pi}\tan x$ , $x = \frac{\pi}{4}$

3) $x = \frac{t}{2}$ , $y = t^2 - 4$ , $t = -1$

يُمثّل الاقتران: $s(t) = \frac{1}{3}t^3 - 4t$ , $t \geq 0$ ، موقع جسم يتحرك في مسار مستقيم، حيث $s$ الموقع بالأمتار، $t$ الزمن بالثواني . جد كلًّا ممّا يأتي: (12 علامة)

1) قيم $t$ التي يكون عندها الجسم في حالة سكون لحظي.

2) تسارع الجسم عندما $t = 2$

3) اللحظة التي يعود فيها الجسم إلى موقعه الابتدائي.

جد معادلة العمودي على المماس لمنحنى العلاقة: $x^2 - xy + y^2 = 13$ عند النقطة $(-1, 3)$ . (9 علامات)

معتمدًا الشكل المجاور الذي يُمثّل المشتقة الأولى للاقتران $f(x)$ المتصل على الفترة $[0,6]$ ، جد كلًّا ممّا يأتي: 1) قيم $x$ التي يكون عندها للاقتران $f(x)$ قيم قصوى محلية، مُبيّنًا نوع كلّ منها. 2) فترات التزايد وفترات التناقص للاقتران $f(x)$ .

جد ناتج العمليات الآتية على مجموعة الأعداد المركبة بالصورة القياسية: 1) $2\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right) \times 4\left(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}\right)$ 2) $\frac{i}{3 - 4i}$ 3) $(5 + 3i) - (2 + i)$

إذا كان: $\int_{0}^{\ln a} (e^x - 8e^{-x})\, dx = -3$ , $a > 0$ ، فجد قيمة (قيم) الثابت $a$ .

جد كلًّا من التكاملات الآتية: 1) $\int \frac{\sin(\ln x)}{x}\, dx$ 2) $\int_{0}^{1} xe^{-2x}\, dx$

إذا كان: $f'(x) = 2x(4x^2 - 10)$ يُمثّل ميل المماس لمنحنى الاقتران $f(x)$ ، فجد قاعدة الاقتران $f(x)$ الذي يمرّ منحناه بالنقطة $(2,10)$ .

إذا كان: $\vec{v} = \langle 6, 14, 18\rangle$ , $\vec{w} = \langle 5, -6, 3\rangle$ ، فجد كلًّا ممّا يأتي: 1) ناتج: $3\vec{v} - 2\vec{w}$ 2) ناتج الضرب القياسي للمتجهين: $\vec{v}$ و $\vec{w}$ 3) قياس الزاوية بين المتجهين: $\vec{v}$ و $\vec{w}$ إلى أقرب عُشر درجة.