تطبيقات على التكامل المحدد (المساحات)

المساحة تحت المنحنى: كيف يجدها التكامل المحدود؟

تعمل دائرة تسجيل الأراضي في فلسطين على تسجيل الأراضي بأسماء مالكيها الحقيقيين، ومن متطلبات هذا التسجيل معرفة مساحة كل قطعة من هذه الأراضي. بعض من هذه القطع أشكالها هندسية مستوية كالمثلث والمستطيل وشبه المنحرف، إضافةً إلى الأشكال التي يمكن تركيبها من هذه الأشكال، وبعضها الآخر ذات أشكال غير منتظمة، لا يمكن حساب مساحتها باستخدام قوانين المساحات. كيف يمكن إيجاد مساحة مثل هذه القطع؟

• في هذا الدرس: نستخدم التكامل المحدود لإيجاد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى ق(س) ومحور السينات في فترة معينة.
• الشرط: ق(س) ممثل بيانياً ويقع منحناه فوق محور السينات.

1. الحدّان: أقرأ حدّي التكامل من المستقيمين العموديين على المحور، وأتأكد أن المنحنى فوق محور السينات.
2. الاقتران الأصلي: أكامل الاقتران وأكتب الاقتران الأصلي.
3. التعويض: أعوّض الحدّ الأعلى ثم الأدنى وأطرح، فيكون الناتج المساحة.
4. الوحدة: أكتب الناتج بوحدات مربعة.

مثال: مساحة المستطيل تحت منحنى ثابت

مثال: مساحة منطقة تحت مستقيم

وماذا لو لم تكن المنطقة مستطيلة؟

هل يمكن حساب المساحة بطريقة أخرى؟

مثال: مساحة منطقة تحت منحنى غير مستقيم

وهل يصلح التكامل إذا كان المنحنى غير مستقيم؟

تمارين: طبّق المساحة تحت المنحنى

أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى $ق(س) = ٣$ ، ومحور السينات والمستقيمين $س = -١$ ، $س = ٣$.

إذا كانت مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى $ق(س) = أس$ ومحور السينات والمستقيمين $س = ١$ ، $س = ٥$ تساوي ٨ فما قيمة الثابت أ ، أ > صفر.

أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى $ك(س) = \sqrt{٣س + ٩}$ ومحور السينات والمستقيمين $س = ٠$ ، $س = ٩$.

تمارين عامة: اختيار من متعدد في التكامل

إذا كان $ق(س) = \int (٢س + ١) دس$ فما قيمة ق'(٢)؟

• أ. صفر

• ب. ٢

• ج. ٥

• د. ٦

ما الاقتران الذي يمثل اقتراناً أصلياً للمشتقة $ق'(س) = ٤س^{٢} + ٦س + ٢$ ؟

• أ. $ق(س) = \frac{٤}{٣}س^{٣} + ٣س^{٢} + ٢س + ١$

• ب. $ق(س) = \frac{٤}{٣}س^{٣} + ٦س^{٢} + ٢س + ١$

• ج. $ق(س) = ٨س + ٦$

• د. $ق(س) = \frac{٤}{٣}س^{٣} + ٣س^{٢} + ٢$

إذا كان $\int ق'(س) دس = ٣س - ٤س^{٢} + ٢$ ، ما قيمة ق'(١) ؟

• أ. -٨

• ب. -٥

• ج. ١

• د. صفر

ما هو $\int س \sqrt[٣]{س^{٢}} \, دس$ ؟

• أ. $س^{\frac{٥}{٣}} + جـ$

• ب. $\frac{٣}{٥}س^{\frac{٥}{٣}} + جـ$

• ج. $س^{\frac{٨}{٣}} + جـ$

• د. $\frac{٣}{٨}س^{\frac{٨}{٣}} + جـ$

إذا كان $\int_{٢}^{٥} ق'(س) دس = ١٢$ ، وكان ق(٥) = ٢ق(٢) ، ما قيمة ق(٢) ؟

• أ. ١٢

• ب. ٥

• ج. ٤

• د. ٢

إذا كان $هـ(س) = \int_{٠}^{٣} (٢س + ٣س^{٢} + ١) دس$ ، ما قيمة هـ'(٢) ؟

• ب. ٣

• ج. ٨

• د. ١٥

إذا كان $\int_{١}^{ب} ب \, دس = ٢$ ، ما قيمة/ قيم الثابت ب ؟

• أ. ١ ، ٢

• ب. ١ ، -٢

• ج. -١ ، ٢

• د. -١ ، -٢

ما قيمة $\int_{١}^{١} (س^{٢} + ٢س + ١)^{٥} دس$ ؟

• ب. $(٤)^{٦}$

• ج. $(٤)^{٥}$

• د. $\frac{(س^{٢} + ٢س + ١)^{٦}}{٦} + جـ$

$\⁦int (⁩٢س + ٣)^{٧} دس = $

• أ. $(٢س + ٣)^{٨} + جـ$

• ب. $\frac{(٢س + ٣)^{٨}}{٨} + جـ$

• ج. $\frac{(٢س + ٣)^{٨}}{١٦} + جـ$

• د. $\frac{(٢س + ٣)^{٨}}{٤} + جـ$

تمارين عامة: مسائل على التكامل

إذا علمت أن $ق'(س) = ٤س^{٣} + س^{٢} - ٢س$ ، ق(٠) = ٣ أجد ق(١).

إذا كان ميل المماس لمنحنى الاقتران ق(س) عند أي نقطة عليه يعطى بالعلاقة ق'(س) = ٣ - ٢س ، ما قاعدة الاقتران ق(س) علماً بأن منحنى ق(س) يمر بالنقطة (١ ، ٦).

إذا كان $\int_{١}^{٣} ق(س) دس = ٧$ ، $\int_{١}^{٣} هـ(س) دس = -٤$ ، ما قيمة $\int_{٣}^{١} (٢ق(س) - ٥هـ(س) + ٢) دس$ ؟

أجد $\int (٢س + ١) \sqrt[٣]{(س^{٢} + س + ٤)^{٢}} \, دس$.

أجد المساحة المحصورة بين منحنى $ق(س) = س^{٢} + ٥$ ، ومحور السينات والمستقيمين س = ٠ ، س = ٢.