التكامل المحدد

التكامل المحدود: كيف نجد التغير في الاقتران دون الثابت جـ؟

بلغت كمية الأمطار التراكمية التي هطلت على محافظة الخليل لموسم ٢٠١٧م حسب الأرقام التي أوردتها وزارة الزراعة ٤١٦ ملم. حيث يتم قياس هذه الكمية بمقياس كمية الأمطار الموجود في منطقة محددة، وذلك لصعوبة جمع الأمطار في منطقة غير محددة. وكذلك المماس يمكن أن يكون مماساً لعدد غير محدود من المنحنيات، كيف يمكن تحديد الاقتران الخاص لهذا المماس؟

هل نحن بحاجة لمعرفة قيمة الثابت جـ لحساب هذا التغير؟

التكامل المحدود: الفرق بين قيمتي الاقتران عند الحدّين

مثال: نكامل ثم نعوّض الحدّين ونطرح

طريقة أقصر: نعوّض الحدّين بعد التكامل مباشرة

• أعوض الحد العلوي ، ثم أطرح منه ناتج تعويض الحد السفلي.

1. نكامل: نجد الاقتران الأصلي للاقتران داخل التكامل.
2. نعوّض: نعوّض الحد العلوي في الاقتران الأصلي.
3. نطرح: نطرح من ذلك ناتج تعويض الحد السفلي.

مثال: كثير حدود بين حدّين مختلفي الإشارة

نطبّق الطريقة نفسها على كثير حدود من ثلاثة حدود.

مثال: متوسط التغير يُحسب من التكامل المحدود

ماذا عن متوسط تغير الاقتران؟ نحسبه من التكامل المحدود.

مثال: نجد ثابتًا داخل الاقتران من قيمة التكامل

وإذا كان المجهول ثابتًا داخل الاقتران؟

مثال: نجد حدّ التكامل المجهول

وإذا كان المجهول أحد حدّي التكامل؟

$ب^{٢} = ٤$ لماذا؟

مشتقة التكامل المحدود: عدد ثابت مشتقته صفر

أجد ق'(س) في كل مما يأتي:

1. $ق(س) = \int_{١}^{٣} (٣س^{٢} - ٢س) \, دس$

2. $ق(س) = \int_{-١}^{٧} (٣س^{٢} - ٢س) \, دس$

تمارين: احسب التكامل المحدود وجد الثوابت

س١: أحسب قيمة كل من التكاملات الآتية:

• أ. $\int_{-١}^{٢} ٦\pi \, دس$

• ب. $\int_{٠}^{٢} (٥ - ٣س^{٢}) دس$

• ج. $\int_{١}^{٣} (\frac{١}{س^{٢}} - \frac{١}{س^{٣}}) دس$

• د. $\int_{١}^{٨} \sqrt[٣]{س} \, دس$

س٢: إذا كان $\int_{٣}^{٥} ب^{٢} دس = ٣٢$ فما قيمة/قيم الثابت ب

س٣: إذا كان $\int_{-٢}^{أ} (٣ - ٢س) دس = ٠$ صفراً ، فما قيمة/قيم الثابت أ

س٤: أحسب $\int_{٠}^{٢} (٢س - ١)^{٢} دس$

س٥: أجد $\frac{دص}{دس}$ لكل مما يأتي:

• أ. $ص = \int (٤س^{٣} + ٢س - ٥) دس$

• ب. $ص = \int_{٢}^{٧} (٤س^{٣} + ٢س - ٥) دس$

الخاصية الأولى: إذا تساوى الحدّان فالقيمة صفر

ماجد طالب مجتهد، يذهب صباحاً إلى مدرسته التي تبعد عن منزله ٣ كم، وبعد المدرسة يذهب إلى دكّان والده الذي يبعد عن المدرسة ٢ كم، وفي المساء يعود من الطريق نفسه، ويقوم بواجباته المدرسية. فإذا كانت المدرسة تقع بين منزله ودكّان والده، وجميعها على استقامة واحدة: المنزل —————— ٣ كم —————— المدرسة —————— ٢ كم —————— الدكّان

يسير ماجد في ذهابه من المنزل إلى المدرسة في اليوم الواحد مسافة

يسير ماجد في ذهابه من المدرسة إلى الدكّان في اليوم الواحد مسافة

يسير ماجد في ذهابه من المنزل إلى الدكّان في اليوم الواحد مسافة

يسير ماجد في ذهابه من المنزل إلى الدكّان في ٤ مسافات

عندما يخرج من المنزل في الصباح، ثم يعود إليه مساءً، تكون إزاحته = صفراً (لماذا؟)

إذا اعتبرنا أن إزاحته من المنزل إلى الدكّان ٥ كم باتجاه الدكّان، فإن إزاحته من الدكّان إلى المنزل

$\int_{٥}^{٥} (٢س + ٣) \, دس = ٠$ (لماذا ؟)

الخاصية الثانية: تبديل الحدّين يغيّر الإشارة

أكمل الجدول الآتي:

$\int_{٥}^{٣} ٧ \, دس$ $\int_{٠}^{١} س^{٥} \, دس$

من الجدول ماذا نلاحظ ؟

$\int_{٣}^{٢} -٢ق(س) \, دس = ٢ \int_{٢}^{٣} ق(س) \, دس$ لماذا؟

الخاصية الثالثة: نجمع التكامل على فترتين متجاورتين

ونجمع الخاصيتين معًا حين تُعطى التكاملات بحدود متفرقة.

$\int_{٢}^{٤} س^{٢} \, دس$ $\int_{١}^{٢} (س - ٣) \, دس$ $\int_{١}^{٣} (س - ٣) \, دس$

من الجدول أعلاه، ماذا نلاحظ؟

$\int_{٣}^{٤} ق(س) \, دس = -٣$ لماذا؟

$\int_{١}^{٤} ق(س) \, دس = -١$ لماذا؟

الخاصية الرابعة: تكامل مجموع الاقترانين أو فرقهما

تمارين: خصائص التكامل المحدود

س١: أحسب $\int_{٢}^{٢} (س^{٢} - ٦س) دس$

س٢: أحسب التكاملات الآتية:

• أ. $\int_{٢}^{٣} (س - ٦) دس$

• ب. $\int_{٢}^{٥} (س - ٦) دس$

• ج. $\int_{٣}^{٥} (س - ٦) دس$

س٣: إذا كان $\int_{-١}^{٢} ق(س) دس = -٣$ $\int_{٠}^{٢} ٢ق(س) دس = ٤$ أجد قيمة الآتي

• أ. $\int_{٠}^{٢} -٣ق(س) دس$

• ب. $\int_{-١}^{٠} ق(س) دس$

• ج. $\int_{-١}^{٢} (٣ق(س) + س) دس$

س٥: إذا كان $\int_{١}^{أ} (٢س + ٥) دس = ٠$ أجد قيمة/قيم الثابت أ