ضرب المصفوفات

آخر تحديث: ٢ تشرين الثاني 2026

محتويات الموضوع (٨)

شرح الموضوع

ضرب المصفوفات (٣-١)

ضرب المصفوفات: كيف نحسب ثمن الفاكهة من محلين؟

تعتبر السياحة في فلسطين من مصادر الدخل القومي، ويعتبر قطاع الفنادق من عناصر هذه السياحة، ويترتب على هذا القطاع تقديم خدمات مناسبة للنزلاء لتشجيع هذه السياحة. أراد موظف المشتريات في أحد الفنادق شراء ٢٠ صندوقاً من البرتقال، ١٠ صناديق من التفاح، ٥ صناديق من الموز، وكانت لائحة الأسعار للصندوق الواحد في محلين للفواكه كالآتي:

المحل الأول: صندوق البرتقال بدينارين، وصندوق التفاح بأربعة دنانير، وصندوق الموز بخمسة دنانير.
المحل الثاني: صندوق البرتقال بثلاثة دنانير، وصندوق التفاح بثلاثة دنانير، وصندوق الموز بأربعة دنانير.

تمثل المصفوفة الآتية عدد الصناديق:

\begin{bmatrix} ٢٠ & ١٠ & ٥ \end{bmatrix}

ويمكن تمثيل هذه العملية بالضرب الآتي:

$\begin{bmatrix} ٢٠ & ١٠ & ٥ \end{bmatrix}$ × $\begin{bmatrix} ٢ & ٣ \\ ٤ & ٣ \\ ٥ & ٤ \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} ١٠٥ & ١١٠ \end{bmatrix}$

ماذا تمثل المصفوفة الآتية؟

\begin{bmatrix} ٢ \\ ٤ \\ ٥ \end{bmatrix}

كيف يمكن مساعدة موظف المشتريات على اختيار المحل الأنسب لشراء الفاكهة بأقل الأسعار؟

تعريف:

متى يكون حاصل الضرب معرَّفًا؟ وما رتبة الناتج؟

أي أن: أ من الرتبة م×ن ، ب من الرتبة ن×هـ ، فالناتج جـ من الرتبة م×هـ

نشاط ٢

رتبة المصفوفة أ ٢×٣ ورتبة المصفوفة ب ٣×٢: هل أ . ب معرفة؟ وما رتبة الناتج؟

مثال: ضرب مصفوفتين مدخلةً مدخلة

مثال

المثال ١: $\begin{aligned}أ &= \begin{bmatrix} ٢ & -١ & ٤ \\ ٠ & ١ & -٢ \end{bmatrix} \\ ب &= \begin{bmatrix} -١ & ٢ & -٥ \\ ٠ & ١ & -٢ \\ -١ & -٢ & -١ \end{bmatrix}\end{aligned}$ أجد: أ.ب ، ب.أ إن أمكن؟ رتبة الناتج: رتبة أ ٢×٣ ورتبة ب ٣×٣ ، فرتبة جـ ٢×٣ جـ = $\begin{bmatrix} جـ_{١١} & جـ_{١٢} & جـ_{١٣} \\ جـ_{٢١} & جـ_{٢٢} & جـ_{٢٣} \end{bmatrix}$ المصفوفتان: $جـ = \begin{bmatrix} ٢ & -١ & ٤ \\ ٠ & ١ & -٢ \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} -١ & ٢ & -٥ \\ ٠ & ١ & -٢ \\ -١ & -٢ & -١ \end{bmatrix}$ المدخلة الأولى: جـ١١ = $٢ × (-١) + (-١) × ٠ + ٤ × (-١)$ $= -٢ + ٠ - ٤ = -٦$ وهي ناتج جمع (ضرب مدخلات الصف الأول من المصفوفة أ في مدخلات العمود الأول من المصفوفة ب). وهكذا بقية مدخلات المصفوفة جـ. بقية المدخلات: جـ١٢ = $٢ × ٢ + (-١) × ١ + ٤ × (-٢)$ $= ٤ - ١ - ٨ = -٥$ جـ١٣ = $٢ × (-٥) + (-١) × (-٢) + ٤ × (-١)$ $= -١٠ + ٢ - ٤ = -١٢$ جـ٢١ = $٠ × (-١) + ١ × ٠ + (-٢) × (-١)$ $= ٠ + ٠ + ٢ = ٢$ جـ٢٢ = $٠ × ٢ + ١ × ١ + (-٢) × (-٢)$ $= ٠ + ١ + ٤ = ٥$ جـ٢٣ = $٠ × (-٥) + ١ × (-٢) + (-٢) × (-١)$ $= ٠ - ٢ + ٢ = ٠$ أ . ب = جـ $\begin{bmatrix} -٦ & -٥ & -١٢ \\ ٢ & ٥ & ٠ \end{bmatrix}$ ب . أ غير معرفة، لأن عدد أعمدة ب لا يساوي عدد صفوف أ.

وكيف نجد مدخلة واحدة من الناتج دون حساب بقية المدخلات؟

أتعلم

مدخلة واحدة من الناتج: صف من أ في عمود من ب

الضرب ليس تبديليًّا، والمصفوفة المحايدة تُبقي المصفوفة كما هي

وماذا لو بدّلنا ترتيب العاملين، أو ضربنا بالمصفوفة المحايدة؟

الحل

مثال

المثال ٣: $\begin{aligned}أ &= \begin{bmatrix} ٨ & ٦ \\ ٤ & ٠ \end{bmatrix} \\ ب &= \begin{bmatrix} ٠ & -٢ \\ ١ & ٠ \end{bmatrix}\end{aligned}$ أجد أ . ب ، ب . أ ، أ . $م_{٢}$ ، $م_{٢}$ . أ ؟ أ . ب: $\begin{bmatrix} ٨ & ٦ \\ ٤ & ٠ \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} ٠ & -٢ \\ ١ & ٠ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ٦ & -١٦ \\ ٠ & -٨ \end{bmatrix}$ ب . أ: $\begin{bmatrix} ٠ & -٢ \\ ١ & ٠ \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} ٨ & ٦ \\ ٤ & ٠ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -٨ & ٠ \\ ٨ & ٦ \end{bmatrix}$ أ . م٢: $\begin{bmatrix} ٨ & ٦ \\ ٤ & ٠ \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} ١ & ٠ \\ ٠ & ١ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ٨ & ٦ \\ ٤ & ٠ \end{bmatrix}$ م٢ . أ: $\begin{bmatrix} ١ & ٠ \\ ٠ & ١ \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} ٨ & ٦ \\ ٤ & ٠ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ٨ & ٦ \\ ٤ & ٠ \end{bmatrix}$

نشاط ٣

المعادلة المصفوفية: نجد المجهول من ضرب المصفوفتين

لماذا المصفوفة س من الرتبة ٢×١؟

أتحقق من الحل

خصائص عملية الضرب على المصفوفات:

خصائص الضرب: التجميع والتوزيع والمحايد

إذا كانت أ ، ب ، جـ مصفوفات بحيث أن عملية الضرب والجمع في العبارات الآتية معرفة، ك ∈ ح فإن:
الخاصية التجميعية: (أ . ب) . جـ = أ . (ب . جـ)
توزيع الضرب على الجمع من اليمين: أ . (ب + جـ) = (أ . ب) + (أ . جـ)
توزيع الضرب على الجمع من اليسار: (أ + ب) . جـ = (أ . جـ) + (ب . جـ)
المصفوفة المحايدة (م): أ . م = م . أ = أ
العدد الحقيقي ك: ك (أ . ب) = (ك أ) . ب = أ . (ك ب)

تمارين ومسائل

تمارين: طبّق ما تعلّمت عن ضرب المصفوفات

س١: أكمل الجدول الآتي:

رتبة المصفوفة أ ١×٣ ورتبة المصفوفة ب ٣×٢: هل أ . ب معرفة؟ وما رتبة الناتج؟

رتبة المصفوفة ب ١×٣ ورتبة الناتج ٢×٣: ما رتبة المصفوفة أ؟

س٢: أجد ناتج ما يأتي (إن أمكن):

$\begin{bmatrix} ٣ & ١ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} ٨ \\ ٩ \end{bmatrix}$

س٣: إذا كانت $أ = \begin{bmatrix} ٢ & -١ \\ ٣ & ١ \\ ٠ & ٥ \end{bmatrix}$ $ب = \begin{bmatrix} ٧ & ٨ & ١٥ \\ ٣ & ٥ & -٦ \end{bmatrix}$ $جـ = \begin{bmatrix} ٣ & ٥ & ٩ \\ -١ & -٢ & ٤ \\ ٠ & ٦ & ٠ \end{bmatrix}$ أجد (إن أمكن):

ب . جـ

٢أ . (-ب)

$جـ^{٢}$

$أ^{٢}$

س٤: أجد قيم س ، ص فيما يأتي:

\begin{bmatrix} س & -٢ \\ ١ & ٠ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} ٣ & -٢ \\ ١ & ص \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ٤ & -١٤ \\ ٣ & -٢ \end{bmatrix}

س٥: إذا كانت $أ = \begin{bmatrix} ٣ & ٠ \\ ١ & ٧ \end{bmatrix}$ $ب = \begin{bmatrix} ٧ & ١ & ٢ \\ ٣ & -٥ & ١ \end{bmatrix}$ $جـ = \begin{bmatrix} ٢ & ٥ & -٣ \\ -١ & -٢ & ٢ \\ ٠ & ١ & ٤ \end{bmatrix}$ أجد:

(أ .

ب) . جـ

أ . (ب .

جـ)

٢(أ .

ب)

(٢أ) . ب

أ . (٢ب)

تعريفات أساسية

ضرب المصفوفات: إذا كانت أ ، ب مصفوفتين، وكان عدد الأعمدة في أ يساوي عدد الصفوف في ب، فإن المصفوفة أ . ب معرفة، والناتج مصفوفة جـ من الرتبة (عدد صفوف أ في عدد أعمدة ب)، أي أن $أ_{م×ن} . ب_{ن×هـ} = جـ_{م×هـ}$
المصفوفة المحايدة: $أ . م_{٢} = م_{٢} . أ = أ$ ، $م_{٢}$ المصفوفة المحايدة لعملية ضرب المصفوفات الثنائية

معاينة موضوع «ضرب المصفوفات» من وحدة «المصفوفات» في مادة الرياضيات. أقسام الشرح: ٨، التعريفات: ٢، الأسئلة المحلولة: ٦.

المصدر: وزارة التربية والتعليم العالي الفلسطينية، ضرب المصفوفات (ص ٢٢–٢٧)