تطبيقات هندسية (المماس والعمودي)

المماس والعمودي: ميل ومعادلة

غالبية المسارات التي تُركب في الملاهي هي متعرجات تصمم على شكل منحنيات، وذلك لإضفاء البهجة والسرور للمتنزهين. وتسير العربات في هذه المسارات المتعرجة بصورة مستقيمة

• المشتقة الأولى: للاقتران $ص = ق(س)$ عند $س = س_{١}$ تمثل ميل المماس لمنحنى الاقتران عند النقطة التي إحداثيها السيني $= س_{١}$.
• نقطة التماس: بمعرفة $(س_{١} ، ص_{١})$ يمكننا إيجاد معادلة المماس لمنحنى الاقتران، ومعادلة العمودي عليه.

• في المعادلتين: حيث $م = ق'(س_{١})$ ، $ص_{١} = ق(س_{١})$

1. نقطة التماس: أحدد السيني والصادي؛ إن أُعطي السيني وحده عوّضته في الاقتران لأجد الصادي.
2. الميل: أشتق الاقتران وأعوّض السيني في المشتقة فأحصل على ميل المماس.
3. المعادلة: أعوّض النقطة والميل في معادلة المماس، وللعمودي أستعمل سالب مقلوب الميل.
4. الصورة النهائية: أنقل الحدود وأرتّب المعادلة إلى الصورة المطلوبة.

مثال: ميل المماس عند نقطة

مثال: معادلة المماس عند نقطة معلومة

المماس الأفقي: متى يساوي الميل صفرًا؟

وإذا كان المماس أفقيًا، فكيف نصل إلى نقطة التماس؟

لماذا نقطة التماس هي $(٢ ، ١)$؟

مثال: معادلة العمودي على المماس

لماذا نحصل على معادلة العمودي الآتية؟

تمارين: طبّق المماس والعمودي

أجد ميل المماس لمنحنى الاقتران $ق(س) = \frac{س^{٢} + ٢}{س + ٣}$ ، $س ≠ -٣$ ، عندما $س = -٢$.

أجد معادلة العمودي على المماس لمنحنى الاقتران $ق(س) = س^{٣} + ٢س^{٢} - س + ١$ عند النقطة $(٠ ، ١)$ الواقعة عليه.

أجد الإحداثي السيني للنقطة/النقاط الواقعة على منحنى الاقتران $ق(س) = (س^{٢} - ٤)(٢س + ١)$ التي يكون المماس عندها أفقياً.

أجد معادلة المماس المرسوم لمنحنى الاقتران $ق(س)$ عند النقطة $(٠ ، ٧)$ الواقعة عليه، ويعامد المستقيم الذي ميله $= -\frac{١}{٣}$.

إذا كان $ق(س) = أس^{٢} + ٥س - ٢$ ، وكان ميل المماس لمنحنى $ق(س)$ عندما $(س = ١)$ يساوي ١١، أجد قيمة الثابت أ.