شرح حل أنظمة المعادلات الخطية باستخدام المصفوفات

حل أنظمة المعادلات الخطية باستخدام المصفوفات

رحلة الحافلة: معادلتان في مجهولين

نظمت مدرسة ثانوية رحلة إلى جامعة النجاح الوطنية في مدينة نابلس التي تبعد ١٨٠ كم عن المدرسة، فإذا كان معدل سرعة الحافلة على الطريق السريع ٩٠ كم/ ساعة، ومعدل سرعتها داخل المدن ٣٠ كم/ ساعة، وكان زمن سير الحافلة ٤ ساعات. لو فرضنا عدد ساعات السير على الطريق السريع هو س، وداخل المدن هو ص، فإن:

٩٠س + ٣٠ص = ...
س + ص = ...

أكتب المعادلتين ثم أحلهما، ومنها س = ١ ؛ ما قيمة ص ولماذا ؟

من النظام إلى المعادلة المصفوفية

أتأكد أن المعادلتين مرتبتان على الصورة أ س + ب ص = جـ.
مصفوفة المعاملات أ: العمود الأول معاملات س والعمود الثاني معاملات ص.

أ = \begin{bmatrix} ٣ & ١ \\ ١ & -١ \end{bmatrix}

مصفوفة المتغيرات ، مصفوفة الثوابت:

\begin{bmatrix} س \\ ص \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} ٧ \\ ١ \end{bmatrix}

المعادلة المصفوفية الناتجة هي:

\begin{bmatrix} ٣ & ١ \\ ١ & -١ \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} \ldots \\ \ldots \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ٧ \\ ١ \end{bmatrix}

أكتب المعادلة المصفوفية الناتجة كاملة.

النظير الضربي يحلّ النظام

سنتعرف على كيفية حل نظام من معادلتين خطيتين باستخدام المصفوفات.

المعادلة المصفوفية: اكتب النظام على صورة معادلة مصفوفية، مصفوفة المعاملات في طرف والثوابت في الطرف الآخر.
النظير الضربي: جد النظير الضربي لمصفوفة المعاملات.
الضرب: اضرب طرفي المعادلة المصفوفية بالنظير الضربي، فتصير مصفوفة المعاملات مصفوفة الوحدة.
القراءة: اقرأ قيمة س وقيمة ص من المصفوفة الناتجة.

١- طريقة النظير الضربي:

مثال

المثال ١ (النظير الضربي): أحل النظام الآتي باستخدام النظير الضربي: ٢س + ص = ٤ ٥س - ٢ص = ١ المعادلة المصفوفية: $\begin{bmatrix} ٢ & ١ \\ ٥ & -٢ \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} س \\ ص \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ٤ \\ ١ \end{bmatrix}$ أضرب طرفي المعادلة المصفوفية بالنظير الضربي للمصفوفة من اليمين. النظير الضربي للمصفوفة: $\begin{bmatrix} \frac{٢}{٩} & \frac{١}{٩} \\ \frac{٥}{٩} & -\frac{٢}{٩} \end{bmatrix}$ الضرب بالنظير: $(\begin{bmatrix} \frac{٢}{٩} & \frac{١}{٩} \\ \frac{٥}{٩} & -\frac{٢}{٩} \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} ٢ & ١ \\ ٥ & -٢ \end{bmatrix}) . \begin{bmatrix} س \\ ص \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{٢}{٩} & \frac{١}{٩} \\ \frac{٥}{٩} & -\frac{٢}{٩} \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} ٤ \\ ١ \end{bmatrix}$ مصفوفة الوحدة: $\begin{bmatrix} ١ & ٠ \\ ٠ & ١ \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} س \\ ص \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ١ \\ ٢ \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} س \\ ص \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ١ \\ ٢ \end{bmatrix}$ الناتج: س = ١ ، ص = ٢

لماذا هذه المصفوفة هي النظير الضربي ؟

أتحقق من ذلك: أعوّض س = ١ ، ص = ٢ في المعادلتين.

٢- طريقة المحددات (طريقة كريمر).

كريمر: نحلّ النظام بالمحددات

طريقة كريمر: في النظام

$أ_{١}$ س + $ب_{١}$ ص = ك

$أ_{٢}$ س + $ب_{٢}$ ص = ل

تكون:

س = \frac{|أ_{س}|}{|أ|}

ص = \frac{|أ_{ص}|}{|أ|}

حيث:

أ = \begin{bmatrix} أ_{١} & ب_{١} \\ أ_{٢} & ب_{٢} \end{bmatrix}

|أ| \neq ٠

أ_{س} = \begin{bmatrix} ك & ب_{١} \\ ل & ب_{٢} \end{bmatrix}

أ_{ص} = \begin{bmatrix} أ_{١} & ك \\ أ_{٢} & ل \end{bmatrix}

مصفوفة المعاملات: اكتب مصفوفة المعاملات أ وجد محددها، ولا يكون صفرًا.
استبدال عمود س: استبدل عمود معاملات س بعمود الثوابت، وجد محدد المصفوفة الناتجة.
استبدال عمود ص: استبدل عمود معاملات ص بعمود الثوابت، وجد محدد المصفوفة الناتجة.
القسمة: اقسم كل محدد على محدد المصفوفة أ لتحصل على قيمتي س وص.

مثال

المثال ١ (كريمر): أحل النظام الآتي باستخدام طريقة كريمر: ٢س - ص = ٧ ، س + ٢ ص = ١ المعادلة المصفوفية: $\begin{bmatrix} ٢ & -١ \\ ١ & ٢ \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} س \\ ص \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ٧ \\ ١ \end{bmatrix}$ مصفوفة المعاملات: $أ = \begin{bmatrix} ٢ & -١ \\ ١ & ٢ \end{bmatrix}$ $|أ| = (٢×٢) - (١×-١) = ٥$ استبدال العمود الأول بالثوابت: $أ_{س} = \begin{bmatrix} ٧ & -١ \\ ١ & ٢ \end{bmatrix}$ $|أ_{س}| = ١٥$ استبدال العمود الثاني بالثوابت: $أ_{ص} = \begin{bmatrix} ٢ & ٧ \\ ١ & ١ \end{bmatrix}$ $|أ_{ص}| = -٥$ الناتج: $س = \frac{|أ_{س}|}{|أ|}$ $= \frac{١٥}{٥} = ٣$ $ص = \frac{|أ_{ص}|}{|أ|}$ $= \frac{-٥}{٥} = -١$

أتحقق من الحل بالتعويض في المعادلتين.

مثال

المثال ٢ (كريمر): أحل المعادلة المصفوفية الآتية بطريقة كريمر $\begin{bmatrix} ٥ & ٢ \\ -١ & ١ \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} س \\ ص \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ٩ \\ ١ \end{bmatrix}$ المصفوفات: $أ = \begin{bmatrix} ٥ & ٢ \\ -١ & ١ \end{bmatrix}$ $أ_{س} = \begin{bmatrix} ٩ & ٢ \\ ١ & ١ \end{bmatrix}$ $أ_{ص} = \begin{bmatrix} ٥ & ٩ \\ -١ & ١ \end{bmatrix}$ المحددات: $|أ| = ٧$ $|أ_{س}| = ٧$ $|أ_{ص}| = ١٤$ الناتج: $س = \frac{|أ_{س}|}{|أ|}$ $= \frac{٧}{٧} = ١$ $ص = \frac{|أ_{ص}|}{|أ|}$ $= \frac{١٤}{٧} = ٢$

أتحقق من الحل بالتعويض في المعادلة المصفوفية.

تمارين ومسائل

تدرّب على النظير الضربي وكريمر

س١: أحل الأنظمة الخطيّة الآتية باستخدام طريقة النظير الضربي:

٣س - ٤ص = ٤ ، -٢س + ٤ص = ٤

س - ص = ٣ ، ٢س = ٦ - ص

س٢: أحل الأنظمة الخطيّة الآتية باستخدام طريقة كريمر:

س - ص = ٨ ، ٢س + ص = ١

٢ص - س = ١ ، ٢س + ص - ٨ = ٠

س٣: في نظام من معادلتين خطيّتين كانت $|أ| = ١١$ ، $|أ_{س}| = ٣٣$ ، $|أ_{ص}| = ١١$ ، أجد قيم س ، ص ؟

س٤: في نظام من معادلتين خطيّتين على الصورة أس + ب ص + جـ = ٠ ، كانت

أ = \begin{bmatrix} ١ & ٢ \\ ٣ & ١١ \end{bmatrix}

هي مصفوفة المعاملات ،

ب = \begin{bmatrix} -٢ \\ ٩ \end{bmatrix}

هي مصفوفة الثوابت.

أ. أكتب المعادلتين الخطيّتين بدلالة س ، ص.

ب. أستخدم طريقة كريمر لحل النظام.

تمارين عامة:

أسئلة اختيار: الرتبة والمدخلات والمحددات

س١: أضع دائرة حول رمز الإجابة الصحيحة لكل مما يأتي:

إذا كانت المصفوفة

أ = \begin{bmatrix} ١ & -٣ & -٢ \\ ٠ & -٤ & ٤ \\ ٢ & -٥ & ٣ \end{bmatrix}

ما قيمة $أ_{٢٣}$ ؟

أ. ٢

ب. -٥

ج. -٢

د. ٤

إذا كانت المصفوفة

ب = \begin{bmatrix} ٢ & ٥ & ٦ \\ ١ & ٣ & ٤ \end{bmatrix}

ما رتبتها ؟

أ. ٢×٣

ب. ٣×٢

ج. ٦

د. ٢ ، ٣

إذا كان

\begin{bmatrix} ٢س + ٣ & ٥ \\ ٤ & ص - ٢ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ٧ & ٥ \\ ٤ & -١ \end{bmatrix}

، ما قيمة س ، ص على الترتيب ؟

أ. ٧ ، -١

ب. ٥ ، -٣

ج. ٢ ، ١

د. ١ ، ٢

إذا كانت أ ، ب ، جـ مصفوفات بحيث أن أ . ٢ب = جـ ، أ من الرتبة ٢×٣ ، جـ من الرتبة ٢×٤ ، فما رتبة المصفوفة ب ؟

أ. ٣×٤

ب. ٢×٣

ج. ٢×٤

د. ٦×٨

إذا كانت

س = \begin{bmatrix} ٢ & -٥ \\ ١ & -١ \end{bmatrix}

فما قيمة $|٢س|$ ؟

أ. ٣

ب. ٦

ج. ١٢

د. -٢٨

ما قيمة س التي تجعل المصفوفة

\begin{bmatrix} ٢ & -٤ \\ ٣ & ٣س \end{bmatrix}

مصفوفة منفردة ؟

أ. ١٢

ب. -٢

ج. ٢

د. صفر

أسئلة اختيار: النظير والقوى وحاصل الضرب

إذا كان

$أ_{س} = \begin{bmatrix} ١ & ٥ \\ ٢ & ٧ \end{bmatrix}$ ،

أ_{ص} = \begin{bmatrix} ٢ & ١ \\ ٣ & ٢ \end{bmatrix}

أجد المصفوفة أ ؟

أ. $\begin{bmatrix} ٢ & ٥ \\ ٣ & ٧ \end{bmatrix}$

ب. $\begin{bmatrix} ٥ & ٢ \\ ٧ & ٣ \end{bmatrix}$

ج. $\begin{bmatrix} ١ & ١ \\ ٢ & ٢ \end{bmatrix}$

د. $\begin{bmatrix} ١ & ٢ \\ ٢ & ٣ \end{bmatrix}$

إذا كانت المصفوفة

أ = \begin{bmatrix} ٢ & ٠ \\ ٠ & \frac{١}{٢} \end{bmatrix}

أجد $(أ)^{٥}$ ؟

أ. $\begin{bmatrix} ٢ & ٠ \\ ٠ & \frac{١}{٢} \end{bmatrix}$

ب. $\begin{bmatrix} ١٠ & ٠ \\ ٠ & \frac{٥}{٢} \end{bmatrix}$

ج. $\begin{bmatrix} ٣٢ & ٠ \\ ٠ & \frac{١}{٣٢} \end{bmatrix}$

د. $\begin{bmatrix} ١ & ٠ \\ ٠ & ١ \end{bmatrix}$

١٠. إذا كانت أ مصفوفة من الرتبة الثانية ، وكان $أ + م_{٢} = و_{٢}$ ، فما هي المصفوفة أ ؟

أ. $و_{٢}$

ب. $-م_{٢}$

ج. $م_{٢}$

د. $-أ$

عمليات المصفوفات ومعادلاتها وكتابة الأنظمة

س٢: إذا كانت

$أ = \begin{bmatrix} ١ & ٠ \\ ٢ & ١ \\ ٢ & ٣ \end{bmatrix}$ ،

$ب = \begin{bmatrix} ٢ & -٣ & ٥ \\ ٦ & -٥ & ٤ \end{bmatrix}$ ،

$جـ = \begin{bmatrix} ٣ & -٢ \\ ٢ & ٤ \end{bmatrix}$ ،

$د = \begin{bmatrix} ٢ & ٦ & -٢ \\ -٤ & ١ & ٥ \\ ٢ & ١ & ٣ \end{bmatrix}$ ،

ل = \begin{bmatrix} ٥ & -٤ \\ ٢ & ٣ \end{bmatrix}

أجد الآتي (إن أمكن):

أ. جـ + ل

ب. ٣جـ - ٢ل

جـ. (أ.ب) . د

د. $ل^{-١}$

هـ. |جـ|

س٣: أحل المعادلات المصفوفية الآتية:

أ. $\begin{bmatrix} ٣ & -٢ \\ ٢ & ٤ \end{bmatrix} + ٢س = \begin{bmatrix} ٧ & ٤ \\ ٨ & ٦ \end{bmatrix}$

ب. $\begin{bmatrix} ٤ & -٢ \\ ٥ & ١ \end{bmatrix} - ٣م_{٢} = ص \cdot \begin{bmatrix} ١ & ٠ \\ ٢ & ٤ \end{bmatrix}$

جـ. $\begin{bmatrix} ٢ & ٥ & ٤ \\ -٢ & ٣ & ٤ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} ٢ \\ -٤ \\ ٦ \end{bmatrix} = س$

س٤: أكتب أنظمة المعادلات الآتية على شكل معادلات مصفوفية:

أ. ٢س - ٣ص = ٠ ، س + ٢ص = ٧

ب. س - ٣ص + ٣ع = ٢ ، ٤س + ص - ع = ٢ ، ٥س - ع + ص = ٠

كريمر والمحددات وتقييم الذات

س٥: أستخدم طريقة كريمر لحل النظام الآتي:

٢ ص - ٤ س = ٢ ، ٥س + ص = ٨

س٦: إذا كان

\begin{vmatrix} ١ & ٢ & ٣ \\ ٢ & ١ & س \\ ٣ & ١ & ٢ \end{vmatrix} = ٦

، أحسب قيمة س.

س٧: في نظام من معادلتين خطيّتين بمتغيرين س ، ص كانت قيمة ص = ٢ ، $|أ_{س}| = -٢١$ ، $|أ_{ص}| = -١٤$ أحسب قيمة س.

حل أنظمة المعادلات الخطية باستخدام المصفوفات

شرح الموضوع

حل أنظمة المعادلات الخطية باستخدام المصفوفات

رحلة الحافلة: معادلتان في مجهولين

من النظام إلى المعادلة المصفوفية

النظير الضربي يحلّ النظام

١- طريقة النظير الضربي:

٢- طريقة المحددات (طريقة كريمر).

كريمر: نحلّ النظام بالمحددات

تمارين ومسائل

تدرّب على النظير الضربي وكريمر

تمارين عامة:

أسئلة اختيار: الرتبة والمدخلات والمحددات

أسئلة اختيار: النظير والقوى وحاصل الضرب

عمليات المصفوفات ومعادلاتها وكتابة الأنظمة

كريمر والمحددات وتقييم الذات

موضوعات أخرى في الوحدة

تابع الدراسة

النتائج والمعدل

الامتحانات

الدراسة

روابط رسمية

المنصة

المواد

النتائج والمعدل

الامتحانات

الدراسة

روابط رسمية

المنصة

المواد