التوزيع الطبيعي المعياري

• اجد العلامة المعيارية
• اجد المساحة تحت المنحنى الطبيعي
• احل مسائل منتمية لايجاد كل من الوسط والانحراف المعياري
• اوظف المنحنى الطبيعي في حل مشكلات حياتية

التوزيع الطبيعي: منحنى الجرس الذي يصف الظواهر

تكمن وظيفة الهيموجلوبين في الدم، بأنّه يقوم بحمل الأكسجين والغذاء إلى الخلايا الحيويّة كافّة في جميع مناطق الجسم، ويجب أن تكون نسبة الهيموجلوبين في مستويات محدّدة تختلف حسب عمر الإنسان وجنسه، حتى تتمكّن أعضاء الجسم من القيام بوظائفها بكفاءة عالية.

• إذا كانت نسبة الهيموجلوبين عند سيدة عمرها ٤٥ سنة هي ٨٫٨، فإن هذه النسبة تكون أقل من المعدل الطبيعي.
• مثّل المعلم حمدان علامات طلاب مدرسته في مادة الرياضيات بيانياً
• ألاحظ أن هناك تجمعاً لعلامات الطلاب في المنتصف، كما أن شكل التمثيل البياني لتوزيع العلامات يشبه الجرس تقريباً.
• إن مثل هذا التوزيع يسمى توزيعاً طبيعياً.

إذا كانت نسبة الهيموجلوبين عند رجل مدخن هي ١٢٫٥، فإن هذه النسبة تكون؟

• أهمية التوزيع الطبيعي: من أهم التوزيعات الاحتمالية في علم الإحصاء، لأنه يمثل كثيراً من الظواهر التي تقابلنا في الحياة العملية.
• مثل: الأطوال، والكتل، والأعمار، ودرجات الحرارة، والدخول الشهرية، وغيرها من الظواهر المتصلة.

• خصائص التوزيع الطبيعي:
• التمثيل البياني له منحنى يشبه الجرس، ومتماثل حول المستقيم الرأسي المار بالوسط.
• يتساوى فيه الوسط والوسيط والمنوال.
• المنحنى متصل.
• يقترب المنحنى من المحور س، ولكنه لا يمسه.

التوزيع الطبيعي المعياري: وسطه صفر وانحرافه واحد

• وسنركز في دراستنا هذه على التوزيع الطبيعي المعياري.

جدول ع: كيف نقرأ المساحة تحت المنحنى؟

• المساحة الكلية تحت المنحنى الطبيعي المعياري تساوي وحدة مساحة واحدة
• وقد وضع العلماء جداول خاصة تبين نسبة المساحة تحت المنحنى والمحدودة بقيمة معينة من العلامات المعيارية.
• سنعتمد الجداول الملحقة في نهاية الكتاب والتي تعطي المساحة المحصورة تحت ع حيث ع عدد حقيقي.

1. نحدد المطلوب: هل المساحة تحت ع، أم فوقها، أم بين علامتين معياريتين؟
2. نقرأ من الجدول: نتقاطع صف ع مع عمود منزلته الثانية، فنقرأ المساحة تحت ع.
3. نحوّل: فوق ع: نطرح من الواحد. بين علامتين: نطرح مساحة الصغرى من مساحة الكبرى.

مثال: المساحة تحت ع وفوقها وبين علامتين

من المساحة إلى قيمة ع

والعكس: ماذا لو عرفنا المساحة وأردنا قيمة ع؟

من القيمة الخام إلى ع ثم إلى المساحة

من النسبة المئوية إلى عدد الأشخاص

وكيف نعرف عدد الأشخاص لا نسبتهم فقط؟

لماذا نسبة الأشخاص هي المساحة بين $(ع = $ صفر ، و $ع = ٣)$؟

لماذا المساحة بين صفر و $ع = ٣$ = المساحة تحت $(ع = ٣) - ٠٫٥$؟

أطبّق: أجد المساحة وقيمة ع والأعداد

أجد المساحة تحت المنحنى الطبيعي المعياري في كل من الحالات الآتية:

• أ. تحت $(ع = ١٫٣٨)$

• ب. فوق $(ع = ٠٫٩٠)$

• ج. $-١٫٥٠ < ع < ١٫٥$

أجد العلامة المعيارية (ع) في كل من الحالات الآتية:

• أ. المساحة تحت ع هي ٠٫٨٥٥٤

• ب. المساحة فوق ع هي ٠٫٧٧٣٤

مدرسة ثانوية فيها ٥٠٠ طالب، أطوالهم تتبع التوزيع الطبيعي بوسط حسابي يساوي ١٦٥سم، وبانحراف معياري ١٠سم، ما نسبة الطلبة الذين تنحصر أطوالهم بين ١٥٠سم، ١٨٠سم ؟ وما عددهم ؟

إذا كان الزمن الذي يستغرقه بائع جرائد للوصول إلى أحد البيوت يتخذ توزيعاً طبيعياً، بوسط حسابي ١٢ دقيقة وبإنحراف معياري دقيقتان، وكان هذا الموزّع ينقل الجرائد يوميّاً على مدار ٣٦٥ يوماً، ما عدد الأيام التي يستغرق فيها الموزّع زمناً:

• أ. يزيد على ١٧ دقيقة؟

• ب. ينحصر بين ٩ - ١٣ دقيقة؟

إذا كانت علامات ٦٠٠ طالب تتخذ توزيعاً طبيعياً بوسط حسابي ٧٢ وبانحراف معياري ٨ وكانت علامة النجاح هي ٦٠ ، أجد:

• أ. النسبة المئوية للطلبة الذين تقع علاماتهم بين ٦٢ ، ٧٨

• ب. عدد الطلبه الراسبين.

تتبع رواتب ١٠٠٠ موظف في إحدى الشركات توزيعاً طبيعياً بوسط حسابي ٧٠٠ دينار، وبانحراف معياري ٢٠ ديناراً. أحسب عدد الموظفين الذين تنحصر رواتبهم بين ٦٨٠ ديناراً و ٧٤٠ ديناراً.

إذا كان تقييم أداء موظفي بنك أ يتبع التوزيع الطبيعي بوسط حسابي ٣٫٨ وبانحراف معياري ٠٫٤ وتقييم موظفي بنك ب يتبع التوزيع الطبيعي بوسط حسابي ٣٫٦ وبانحراف معياري ٠٫٢ ، إذا كان وسيم موظفاً في بنك أ وتقييمه ٤٫٣ وفراس موظفاً في بنك ب تقييمه ٣٫٧ ما العبارة الصحيحة في كل مما يلي:

• أ. أداء فراس أفضل من أداء وسيم.

• ب. أداء وسيم أفضل من أداء فراس.

• ج. كلا الموظفين لهما نفس الأداء.

• د. لا يمكن الحكم على أدائهما.

ما المساحة تحت $(ع = ٢٫٨٥)$؟

• أ. ٠٫٩٩٧٨

• ب. ٠٫٠٠٢٢

• ج. ٠٫٠٣٢٢

• د. ٠٫٩٧٨٨

ما مساحة المنطقة بين $(٠٫٩٦ < ع < ١٫٦٥)$:

• أ. ٠٫٠٩٩١

• ب. ٠٫١١٩٠

• ج. ١٫٨١٢

• د. ١٫٧٨٢

إذا كانت العلامات المعيارية لخمسة طلاب كما يلي ١ ، $\frac{١}{٢}$ ، $\frac{-٣}{٢}$ ، أ ، $\frac{-١}{٢}$ فما قيمة الثابت أ ؟

• أ. ١

• ب. -١

• ج. $\frac{-١}{٢}$

• د. $\frac{١}{٢}$

ما المساحة الواقعة (فوق $ع = ٠٫٧٥$)؟

• أ. ٠٫٢٢٦٦

• ب. ٠٫٢٧٣٤

• ج. ٠٫٧٥١٢

• د. ٠٫٥٧٢١

إذا كانت العلامتان المعياريتان المناظرتان للعلامتين ٧١ ، ٥٣ هما ٠٫٥ ، -١ على الترتيب، أجد الوسط الحسابي والانحراف المعياري للعلامات الخام لطلبة الصف.

خط إنتاج في مصنع ينتج أكياساً من الأرز بوسط حسابي يساوي ١٫٠١ كغم، وبانحراف معياري يساوي ٠٫٠٢ كغم. أجد:

• أ. نسبة الأكياس التي كتلتها أقل من ١٫٠٣ كغم.

• ب. نسبة الأكياس التي تتراوح كتلها بين ١ كغم و ١٫٠٥ كغم.

إذا ارتبط عمر بطارية السيارة بالمسافة التي تقطعها السيارة باستعمال هذه البطارية، وعلم أن عمر أحد أنواع بطاريات السيارات يتوزع طبيعياً بوسط حسابي ١٠٠٠٠٠كم، وبانحراف معياري ١٠٠٠٠كم. وأنتجت إحدى الشركات ٢٠٠٠٠ بطارية من هذا النوع في الشهر. أجد:

• أ. عدد البطاريات التي يتراوح عمرها بين ٩٠٠٠٠ كم، ١١٠٠٠٠ كم.

• ب. عدد البطاريات التي يزيد عمرها على ١٢٠٠٠٠ كم.

• ج. النسبة المئوية للبطاريات التي تتراوح أعمارها بين ٨٠٠٠٠ كم، ١١٠٠٠٠ كم.

نادي رياضي مكون من ٤٠٠ عضو تتبع أعمارهم التوزيع الطبيعي بوسط حسابي ٤٠ سنة وبانحراف معياري ٥ أجد:

• أ. عدد الأعضاء الذين تزيد أعمارهم على ٥٠ سنة.

• ب. عدد الأعضاء الذين تتراوح أعمارهم بين ٣٥ سنة إلى ٤٥ سنة.

تمارين عامة: أراجع الوحدة كلها