قاعدة السلسلة

الاقتران المركب: كيف نبني اقتراناً من اقترانين؟

تشتهر فلسطين بزراعة شجرة الزيتون، وتعتبر هذه الشجرة رمزاً من رموز صمود الشعب الفلسطيني في أرضه، وتزرع في مناطق واسعة من محافظة نابلس وقد أسهمت وفرة كميات إنتاج "زيت الزيتون" في توفير بيئة مناسبة لصناعة الصابون في نابلس. وتعتبر صناعة الصابون النابلسي المصنوع من زيت الزيتون من أشهر الصناعات الفلسطينية

كل مرحلة تعتمد على التي قبلها. كيف يظهر ذلك في الاقترانات؟

أكمل: شجرة الزيتون ← بعصر الثمار ← ؟ ← بالصناعة ← الصابون

$= ٤س^{٢} - ٤س + ١$ لماذا؟

قاعدة السلسلة: مشتقة المركّب = مشتقة الخارجي × مشتقة الداخلي

1. حدّد الداخلي والخارجي: الداخلي هو ما يُطبَّق أولاً على المتغير، والخارجي هو ما يُطبَّق على ناتجه.
2. اشتق كلاً منهما: احسب مشتقة الاقتران الخارجي ومشتقة الاقتران الداخلي كلاً على حدة.
3. عوّض: ضع الاقتران الداخلي مكان المتغير في مشتقة الاقتران الخارجي.
4. اضرب: اضرب الناتج في مشتقة الاقتران الداخلي، ثم عوّض القيمة المطلوبة إن وُجدت.

وماذا لو طُلبت القيمة عند عدد محدد، وفي ترتيبين مختلفين؟

$= (٣(س^{٢} + ١)^{٢} + ٢) × ٢س$ لماذا؟

$= ٦س^{٥} + ١٢س^{٣} + ١٠س$ لماذا؟

صيغة الوسيط: دص/دس = دص/دع × دع/دس

وإذا طُلبت القيمة عند نقطة معيّنة؟

اقتران مرفوع إلى قوة: القوة أولاً ثم مشتقة الداخل

أطبّق قاعدة السلسلة بنفسي

إذا كان $ق(س) = س^{٢}$ ، $هـ(س) = س + ١$ أجد $(ق ∘ هـ)'(س)$.

إذا كانت $ص = (٢س - ١)^{٢}$ ، أجد $\frac{دص}{دس}$.

إذا كان $ص = ع^{٢} - ٥ع + ١$ ، $ع = ٢س + ٣$ ، أجد $\frac{دص}{دس}$.

إذا كان $م(س) = (س^{٢} - س)^{٤}$ ، أجد $م'(٢)$.

إذا كان $ق(س) = هـ(٣س^{٢} + ١)$ ، أجد $ق'(١)$ ، علماً بأن $هـ'(١) = ٥$ ، $هـ'(٤) = ٢$.

إذا كان $ق(س)$ ، $هـ(س)$ اقترانين قابلين للاشتقاق على ح بحيث أن:

$هـ'(٢) = ٣$ $ق'(٢) = ٥$ $ق'(٤) = -٢$ $هـ(٢) = ٤$ $ق(٢) = ٣$ $هـ'(٣) = ١$ أجد $(ق ∘ هـ)'(٢)$ ، $(هـ ∘ ق)'(٢)$.