النظير الضربي للمصفوفة المربعة

آخر تحديث: ٢ تشرين الثاني 2026

محتويات الموضوع (٤)

شرح الموضوع

اتفق شخصان على تكوين شيفرات بينهما باستخدام المصفوفات، بحيث تم إعطاء كل حرف من حروف اللغة العربية مدلولاً رقمياً، كما في الجدول المقابل.

النظير الضربي للمصفوفة المربعة

نشاط الشيفرة: رسالة تُشفَّر بمصفوفة وتُفَكّ بنظيرها

اتفق شخصان على تكوين شيفرات بينهما باستخدام المصفوفات، بحيث تم إعطاء كل حرف من حروف اللغة العربية مدلولاً رقمياً ويتم إرسال الرسالة بمصفوفات من الرتبة ٢×١، بحيث يتفق الاثنان على مصفوفة من الرتبة ٢×٢ يتم ضربها في مصفوفات الشيفرة ويتم إرسال المصفوفة الناتجة، ويقوم الآخر بفك الشيفرة بعملية عكسية لمعرفة مضمون الرسالة.

مثال

نشاط ١: الرسالة: أب ، أم $\begin{aligned}\begin{bmatrix} ١ \\ ٢ \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} ١ \\ ٢٤ \end{bmatrix}\end{aligned}$ تشفيرها بضربهما في $\begin{bmatrix} ٢ & ٣ \\ ١ & ٢ \end{bmatrix}$ فتصبح الرسالة $\begin{aligned}\begin{bmatrix} ٨ \\ ٥ \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} ٧٤ \\ ٤٩ \end{bmatrix}\end{aligned}$ لفك الشيفرة، أضرب الرسالة في $\begin{bmatrix} ٢ & -٣ \\ -١ & ٢ \end{bmatrix}$ ما العلاقة بين المصفوفتين $\begin{aligned}\begin{bmatrix} ٢ & ٣ \\ ١ & ٢ \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} ٢ & -٣ \\ -١ & ٢ \end{bmatrix}\end{aligned}$ إجابة مقترحة (ليست من الكتاب): نضرب المصفوفتين: $\begin{bmatrix} ٢ & ٣ \\ ١ & ٢ \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} ٢ & -٣ \\ -١ & ٢ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ١ & ٠ \\ ٠ & ١ \end{bmatrix}$ نلاحظ أن ناتج الضرب مصفوفة الوحدة (وكذلك إذا عكسنا الترتيب)، فكل منهما نظير ضربي للأخرى.

تعريف

النظير الضربي: حين يعطي الضرب مصفوفة الوحدة

مثال

مثال ١: إذا كانت $\begin{aligned}أ &= \begin{bmatrix} ١ & ٢ \\ ٢ & ٥ \end{bmatrix} \\ ب &= \begin{bmatrix} ٥ & -٢ \\ -٢ & ١ \end{bmatrix}\end{aligned}$ أبين أن ب = $أ^{-١}$ ؟ نحسب أ . ب: $أ . ب = \begin{bmatrix} ١ & ٢ \\ ٢ & ٥ \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} ٥ & -٢ \\ -٢ & ١ \end{bmatrix}$ $= \begin{bmatrix} (١×٥) + (٢×-٢) & (١×-٢) + (٢×١) \\ (٢×٥) + (٥×-٢) & (٢×-٢) + (٥×١) \end{bmatrix}$ $= \begin{bmatrix} ١ & ٠ \\ ٠ & ١ \end{bmatrix}$ ثم نحسب ب . أ: $ب . أ = \begin{bmatrix} ٥ & -٢ \\ -٢ & ١ \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} ١ & ٢ \\ ٢ & ٥ \end{bmatrix}$ $= \begin{bmatrix} (٥×١) + (-٢×٢) & (٥×٢) + (-٢×٥) \\ (-٢×١) + (١×٢) & (-٢×٢) + (١×٥) \end{bmatrix}$ $= \begin{bmatrix} ١ & ٠ \\ ٠ & ١ \end{bmatrix}$ أ . ب = ب . أ = م ومنها ب = $أ^{-١}$ وكذلك أ = $ب^{-١}$ .

قاعدة النظير الضربي للمصفوفة الثنائية

إيجاد النظير الضربي للمصفوفة الثنائية:

تعريف

أتحقق من أن النظير الضربي لـ $أ^{-١}$ هو أ.

متى تكون المصفوفة منفردة؟

مثال

مثال ٢: أي من المصفوفات الآتية منفردة؟

$\begin{bmatrix} ١ & -٣ \\ ٢ & ٤ \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} ١٠ & -٥ \\ -٢ & ١ \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} ٣ & ٦ \\ ٢ & ٤ \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} \frac{٣}{٤} & \sqrt{٤} \\ ١ & \frac{٤}{٣} \end{bmatrix}$

\begin{vmatrix} ١ & -٣ \\ ٢ & ٤ \end{vmatrix} = (١×٤) - (-٣×٢) = ١٠ \neq ٠

ليست منفردة.

\begin{vmatrix} ١٠ & -٥ \\ -٢ & ١ \end{vmatrix} = (١٠×١) - (-٥×-٢) = ٠

منفردة.

$\begin{vmatrix} ٣ & ٦ \\ ٢ & ٤ \end{vmatrix} = (٣×٤) - (٦×٢)$ $= ١٢ - ١٢ = ٠$

منفردة.

$\begin{vmatrix} \frac{٣}{٤} & \sqrt{٤} \\ ١ & \frac{٤}{٣} \end{vmatrix} = (\frac{٣}{٤} × \frac{٤}{٣}) - (\sqrt{٤} × ١)$ $= ١ - ٢ = -١$

ليست منفردة.

حل معادلة مصفوفية بالنظير الضربي

النظير الضربي يفيد أيضًا في حل معادلة مجهولها مصفوفة.

مثال

مثال ٤: أحل المعادلة المصفوفية الآتية: $س . \begin{bmatrix} ٣ & ٥ \\ ٢ & ٣ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ٠ & ٣ \\ ١ & ٢ \end{bmatrix}$ أضرب طرفي المعادلة من اليسار بالنظير الضربي للمصفوفة $\begin{bmatrix} ٣ & ٥ \\ ٢ & ٣ \end{bmatrix}$ النظير الضربي لها هو $\begin{bmatrix} -٣ & ٥ \\ ٢ & -٣ \end{bmatrix}$ $س . (\begin{bmatrix} ٣ & ٥ \\ ٢ & ٣ \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} -٣ & ٥ \\ ٢ & -٣ \end{bmatrix})$ $= (\begin{bmatrix} ٠ & ٣ \\ ١ & ٢ \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} -٣ & ٥ \\ ٢ & -٣ \end{bmatrix})$ $س . م = \begin{bmatrix} ٦ & -٩ \\ ١ & -١ \end{bmatrix}$ $س = \begin{bmatrix} ٦ & -٩ \\ ١ & -١ \end{bmatrix}$

س . م = $\begin{bmatrix} ٦ & -٩ \\ ١ & -١ \end{bmatrix}$ لماذا؟

تمارين ومسائل

أطبّق: تمارين على النظير الضربي

أجد النظير الضربي للمصفوفات الآتية (إن أمكن):

$\begin{bmatrix} -١ & ١ \\ ١ & ٢ \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} \frac{١}{٢} & ١ \\ ٢ & ٤ \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} ١ & ٠ \\ ٠ & ١ \end{bmatrix}$

أجد قيمة س التي تجعل المصفوفات الآتية منفردة:

$\begin{bmatrix} س & ٢ \\ ٣ & ٣ \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} س & ٩ \\ ٤ & س \end{bmatrix}$

إذا كانت $أ = \begin{bmatrix} ٣ & ٤ \\ ١ & ٢ \end{bmatrix}$ ، وكانت ب = ٤أ ، أجد $ب^{-١}$ ؟

إذا كانت $أ = \begin{bmatrix} -١ & ٤ \\ ١ & -٢ \end{bmatrix}$ ، $ب = \begin{bmatrix} -١ & ٢ \\ -١ & ١ \end{bmatrix}$ ، أجد: $(أ . ب)^{-١}$ ، $ب^{-١} . أ^{-١}$ ؟ ماذا تلاحظ؟

أحل المعادلة المصفوفية $٢س . \begin{bmatrix} ٣ & ٤ \\ ٢ & ٣ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ١ & ٠ \\ -٢ & -١ \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} ٣ & -٥ \\ ٢ & ٦ \end{bmatrix}$

تعريفات أساسية

النظير الضربي للمصفوفة: إذا كانت أ ، ب مصفوفتين ثنائيتين ، وكان أ . ب = ب . أ = $م_{٢}$ ( $م_{٢}$ المصفوفة المحايدة أو مصفوفة الوحدة) ، فإن ب تسمى النظير الضربي لـ أ ، وبالرموز ب = $أ^{-١}$
النظير الضربي للمصفوفة الثنائية: إذا كانت $أ = \begin{bmatrix} أ_{١١} & أ_{١٢} \\ أ_{٢١} & أ_{٢٢} \end{bmatrix}$ ، فإن $أ^{-١} = \frac{١}{|أ|} \begin{bmatrix} أ_{٢٢} & -أ_{١٢} \\ -أ_{٢١} & أ_{١١} \end{bmatrix}$ حيث $|أ| \neq ٠$
مصفوفة منفردة: إذا كان $|أ| = ٠$ فإن أ ليس لها نظير ضربي (تسمى أ مصفوفة منفردة

معاينة موضوع «النظير الضربي للمصفوفة المربعة» من وحدة «المصفوفات» في مادة الرياضيات. أقسام الشرح: ٤، التعريفات: ٣.

المصدر: وزارة التربية والتعليم العالي الفلسطينية، النظير الضربي للمصفوفة المربعة (ص ٣١–٣٤)

النظير الضربي للمصفوفة المربعة

شرح الموضوع

النظير الضربي للمصفوفة المربعة

نشاط الشيفرة: رسالة تُشفَّر بمصفوفة وتُفَكّ بنظيرها

تعريف

النظير الضربي: حين يعطي الضرب مصفوفة الوحدة

قاعدة النظير الضربي للمصفوفة الثنائية

تعريف

متى تكون المصفوفة منفردة؟

حل معادلة مصفوفية بالنظير الضربي

تمارين ومسائل

أطبّق: تمارين على النظير الضربي

تعريفات أساسية

موضوعات أخرى في الوحدة

تابع الدراسة

النتائج والمعدل

الامتحانات

الدراسة

روابط رسمية

المنصة

المواد

النتائج والمعدل

الامتحانات

الدراسة

روابط رسمية

المنصة

المواد