مفهوم المشتقة الأولى

نشاط: من الهدّاف إلى الجدول، ماذا نحسب؟

في ملاعب كرة القدم الفلسطينية هناك هدّافون، ولكل هدّاف مهارات تختلف عن الآخر في تسديد الكرات الثابتة والمتحركة وكلما اقتربت المسافة بين مكان التسديد والمرمى، زادت فرصة تسجيل الهدف. علامَ يعتمد الهدّاف في تسديد الكرة باتجاه المرمى؟

• إذا كان $ق(س) = ٢س$ ، $س_{١} = ٢$

أكمل الجدول الآتي:

ما علاقة $\lim_{Δس \to ٠} \frac{ق(س_{١} + Δس) - ق(س_{١})}{Δس}$ ، ومعامل س في ق(س) ؟

ما المشتقة الأولى عند نقطة؟

• ويرمز لها بالرمز $ق'(س_{١})$ أو $\frac{دص}{دس}|_{س = س_{١}}$ أو $ص'|_{س = س_{١}}$
• وللتبسيط يمكن كتابة $Δس = هـ$ ، فتكون

1. اكتب التعريف: اكتب نهاية متوسط التغير عندما تؤول هـ إلى الصفر.
2. عوّض: عوّض قيمة الاقتران عند النقطة وعند النقطة مضافًا إليها هـ.
3. بسّط: فُكّ الأقواس واحذف الحدود المتشابهة في البسط.
4. أخرج هـ: أخرج هـ عاملًا مشتركًا من البسط.
5. اختصر وعوّض: اختصر هـ من البسط والمقام ثم عوّض هـ بالصفر فيما بقي.

نطبّق التعريف: اقتران ثابت ثم اقتران خطي

وماذا لو احتوى الاقتران على حدّ في س؟

اقتران خطي بحدّ ثابت، ثم اقتران تربيعي

وماذا لو كان الاقتران تربيعيًّا؟

نهاية تشبه التعريف: نستفيد من المشتقة المعطاة

وماذا لو أُعطينا قيمة المشتقة بدل قاعدة الاقتران؟

لماذا؟

من متوسط التغير إلى المشتقة

• ألاحظ أن $ق'(س_{١})$ تساوي نهاية متوسط التغير للاقتران ق(س) في الفترة $[س_{١} ، س_{١} + هـ]$ عندما تؤول هـ إلى الصفر.

المشتقة عند أي نقطة: نجد القاعدة ثم نعوّض

تمارين: طبّق تعريف المشتقة

س١: باستخدام تعريف المشتقة عند نقطة ، أجد $ق'(س)$ عند النقطة المعطاة في كل حالة:

• أ. $ق(س) = ٢س - ٧$ ، $س = -٣$

• ب. $ق(س) = ٣ - س$ ، $س = ٢$

• ج. $ق(س) = س^{٢} + س$ ، $س = -\frac{١}{٢}$

س٢: إذا كان $ق'(٣) = ٨$ ، أجد:

• أ. $\⁦lim_{⁩هـ \⁦to⁩ ٠} \⁦frac{⁩ق(٣ +

هـ) - ق(٣)}{هـ}$

• ب. $\⁦lim_{⁩هـ \⁦to⁩ ٠} \⁦frac{⁩ق(٣ +

هـ) - ق(٣)}{٢هـ}$

• ج. $\lim_{هـ \to ٠} \frac{ق(٣) - ق(٣ + هـ)}{هـ}$

س٣: إذا كان متوسط تغير الاقتران $ص = ق(س)$ عندما تتغير س من $س_{١} = ٣$ إلى $س_{٢} = ٣ + هـ$ يساوي $\frac{٢}{هـ - ١}$ ، أجد قيمة $ق'(٣)$.

س٥: إذا كان $ص = ق(س) = س^{٢} + ١$ ، أجد $ق'(س)$ باستخدام تعريف المشتقة.