قواعد الاشتقاق

آخر تحديث: ٣ تشرين الثاني 2026

محتويات الموضوع (١٢)

شرح الموضوع

إذا كان $ق(س) = س^{ن}$ ، فإن $ق'(س) = ن س^{ن-١}$ ، ن عدد حقيقي ، س ≠ ٠.

قواعد الاشتقاق

لماذا نحتاج قواعد للاشتقاق؟

إن تعلّم قواعد اللعبة، أو المهارة يسهّل تطبيقها وفهمها وإتقانها.

مثال

نشاط ٢: حاول همّام إيجاد $ق'(٢)$ باستخدام تعريف المشتقة عند نقطة، حيث: $ق(س) = ٢س^{٥} + س^{٣} - ٢س^{٢}$ $ق'(٢) = \lim_{هـ \to ٠} \frac{ق(٢ + هـ) - ق(٢)}{هـ}$ $ق'(٢) = \lim_{هـ \to ٠} \frac{٢(٢ + هـ)^{٥} + (٢ + هـ)^{٣} - ٢(٢ + هـ)^{٢} - ٦٤}{هـ}$ فوجد صعوبة في إيجاد هذه النهاية، كيف سيجد همّام $ق'(٢)$ ؟ إجابة مقترحة (ليست من الكتاب): نشتق كل حد بالقواعد الآتية في هذا الدرس بدل التعريف: $ق'(س) = ١٠س^{٤} + ٣س^{٢} - ٤س$ $ق'(٢) = ١٦٠ + ١٢ - ٨ = ١٦٤$

مشتقة الاقتران الثابت

قاعدة (٢)

قاعدة القوة: ننزل الأس ونطرح منه واحدًا

ق'(س) = ن س^{ن-١}

ن عدد حقيقي ، س ≠ ٠.

مثال

المثال ٢: أجد المشتقة الأولى $\frac{دص}{دس}$ في كل من الحالات الآتية:

أ. $ص = س^{٤}$
ب. $ص = س^{-٥}$ ، س ≠ ٠
ج. $ص = \frac{١}{س^{٣}}$ ، س ≠ ٠
د. $ص = \sqrt{س}$ ، س ≥ ٠
أ) $\frac{دص}{دس} = ٤ س^{٤-١} = ٤س^{٣}$ ، $\forall$ س $\in$ ح ب)

$\frac{دص}{دس} = -٥ س^{-٥-١} = -٥س^{-٦}$ ج) $ص = \frac{١}{س^{٣}} = س^{-٣}$ $\frac{دص}{دس} = -٣ × س^{-٣-١} = -٣ س^{-٤}$ $-٣ س^{-٤} = \frac{-٣}{س^{٤}}$ د) $ص = \sqrt{س} = س^{\frac{١}{٢}}$ ، س ≥ ٠ $\frac{دص}{دس} = \frac{١}{٢} س^{\frac{١}{٢} - ١} = \frac{١}{٢} س^{-\frac{١}{٢}}$ $\frac{١}{٢} س^{-\frac{١}{٢}} = \frac{١}{٢ س^{\frac{١}{٢}}} = \frac{١}{٢\sqrt{س}}$ ، س > ٠

أعد الكتابة.: اكتب الجذر أو الكسر على صورة قوة للمتغير.
اشتق.: أنزل الأس ليصبح معاملًا، ثم اطرح من الأس واحدًا.
بسّط.: أعد النتيجة إلى جذر أو كسر إن لزم، وانتبه لقيم المتغير المسموحة.

قاعدة (٣)

مشتقة اقتران مضروب في عدد ثابت

$هـ'(س) = $ أ $ق'(س)$ .

قاعدة (٤)

مشتقة مجموع اقترانين

ق'(س) = ك'(س) + ع'(س)

قاعدة (٥)

مشتقة الفرق بين اقترانين

ق'(س) = ك'(س) - ع'(س)

مثال (٦)

أكثر من اقترانين، وعدد من المشتقات المعلومة

وماذا لو أُعطينا قيم المشتقات فقط دون قاعدة الاقتران؟

مثال (٧)

قاعدة (٦)

مشتقة حاصل ضرب اقترانين

ل'(س) = ق(س) × هـ'(س) + هـ(س) × ق'(س)

وبالكلمات $ل'(س) = $ الاقتران الأول × مشتقة الاقتران الثاني + الاقتران الثاني × مشتقة الاقتران الأول.

مثال

المثال ٨: $ص = (س^{٢} + ٣س + ٢)(٥س + ١)$ أجد $\frac{دص}{دس}\Big|_{س=٢}$ $\⁦frac{⁩دص}{دس} = $ الاقتران الأول × مشتقة الاقتران الثاني + الاقتران الثاني × مشتقة الاقتران الأول $\frac{دص}{دس} = (س^{٢} + ٣س + ٢) × ٥ + (٥س + ١) × (٢س + ٣)$ $\frac{دص}{دس}\Big|_{س=٢} = (٤ + ٦ + ٢) × ٥ + (١٠ + ١) × (٤ + ٣)$ $(٤ + ٦ + ٢) × ٥ + (١٠ + ١) × (٤ + ٣) = ٦٠ + ٧٧ = ١٣٧$

وكيف نشتق حين نعرف قيم الاقترانين ومشتقتيهما عند نقطة فقط؟

مثال (٩)

مشتقة خارج قسمة اقترانين

ل'(س) = \frac{هـ(س) × ق'(س) - ق(س) × هـ'(س)}{(هـ(س))^{٢}}

وبالكلمات $ل'(س) = \frac{المقام × مشتقة البسط - البسط × مشتقة المقام}{(المقام)^{٢}}$

مثال

المثال ١٠: $ق(س) = \frac{٣س + ١}{٢س - ٥}$ ، $س ≠ \frac{٥}{٢}$ أجد $ق'(س)$ . $ق'(س) = \frac{المقام × مشتقة البسط - البسط × مشتقة المقام}{(المقام)^{٢}}$ $= \frac{(٢س - ٥) × ٣ - (٣س + ١) × ٢}{(٢س - ٥)^{٢}}$ $= \frac{٦س - ١٥ - ٦س - ٢}{(٢س - ٥)^{٢}} = \frac{-١٧}{(٢س - ٥)^{٢}}$

وإن عرفنا مشتقة الخارج وطُلبت مشتقة المقام؟

مثال

المثال ١١: $ل(س) = \frac{ق(س)}{هـ(س)}$ ، $هـ(س) ≠ $ صفر المعطيات: $\begin{aligned}ق'(٢) &= -١ \\ ق(٢) &= ١ \\ هـ(٢) &= ٢ \\ ل'(٢) &= -٢\end{aligned}$ المطلوب: $هـ'(٢)$ $ل'(س) = \frac{هـ(س) × ق'(س) - ق(س) × هـ'(س)}{(هـ(س))^{٢}}$ $ل'(٢) = \frac{هـ(٢) × ق'(٢) - ق(٢) × هـ'(٢)}{(هـ(٢))^{٢}}$ $-٢ = \frac{٢ × -١ - ١ × هـ'(٢)}{(٢)^{٢}}$ $-٨ = -٢ - هـ'(٢)$ ومنها $هـ'(٢) = ٦$

لماذا $هـ'(٢) = ٦$ ؟

مثال

المثال ١٢: $ق(س) = \frac{هـ(س)}{س + ١}$ ، $س ≠ -١$ المعطيات: $\begin{aligned}هـ(١) &= ٢ \\ هـ'(١) &= ٣\end{aligned}$ المطلوب: $ق'(١)$ $ق'(س) = \frac{(س + ١) × هـ'(س) - هـ(س) × ١}{(س + ١)^{٢}}$ $ق'(١) = \frac{(١ + ١) × هـ'(١) - هـ(١)}{(٢)^{٢}}$ $= \frac{٢هـ'(١) - هـ(١)}{٤}$ $\frac{٢ × ٣ - ٢}{٤} = \frac{٤}{٤} = ١$

المشتقة الثانية والثالثة وما بعدهما

$ق''(س)$ أو $\frac{د^{٢}ص}{دس^{٢}}$ أو $ص''$ .

وكذلك يرمز للمشتقة الثالثة للاقتران $ق(س)$ بالرمز

$ق'''(س)$ أو $\frac{د^{٣}ص}{دس^{٣}}$ أو $ق^{(٣)}(س)$ أو $ص'''$ ، وهكذا.

وكيف نحسب المشتقات المتتالية عند قيمة محددة للمتغير؟

مثال (١٤)

ملاحظة

المشتقة النونية يرمز لها بالرمز $ق^{(ن)}$ ، ن ≥ ٣.

تمارين ومسائل

أتحقق: طبّق قواعد الاشتقاق

س١ (أ) أجد $\frac{دص}{دس}$ $ص = ١\sqrt(٢)$

س١ (ب) أجد $\frac{دص}{دس}$ $ص = ٥س + ٣$

س١ (ج) أجد $\frac{دص}{دس}$ $ص = ٣س٢ + ٥س$ س ≠ ٠

س١ (د) أجد $\frac{دص}{دس}$ $ص = ٧س٢ + [٣]س٢$

س١ (هـ) أجد $\frac{دص}{دس}$ $ص = (٢س + ٥)(٣ - س٣)$

س١ (و) أجد $\frac{دص}{دس}$ $ص = (س)/(س + ٣)$ س ≠ -٣ ، عندما س = ١

س٢ أجد $ق'(٣)$ ، علماً بأن $ق(س) = س٢ - س + ٥$

س٣ $ق(س) = س٢ + ٣س$ $ل(س) = ق(س) + ٣هـ(س)$ $هـ(٢) = ٥$ $هـ'(٢) = ١$ أجد $ل'(٢)$ .

س٤ $ق(س) = (٣س + ٢)/(٤س + ١)$ $س \neq -(١)/(٤)$ أحسب $ق'(٢)$ ؟

س٥ $ق(س) = س٣ ل(س) + هـ(س)$ $ل(٢) = ٥$ $هـ'(٢) = ٧$ $ل'(٢) = -٣$ فما قيمة $ق'(٢)$ ؟

س٦ (أ) أجد المشتقة الثانية للاقتران $ق(س) = س٤ - ٢س٣ + س + ١$ س = ٢

س٦ (ب) أجد المشتقة الثانية للاقتران $هـ(س) = ١\sqrt(س)$ س > ٠ ، س = ١

س٧ أجد المشتقة الأولى والثانية والثالثة للاقتران $ق(س) = ٢س٤ + س٣ - ٤س + ١$ ثم أبين أن $ق^{(٥)}(١) = $ صفر.

تعريفات أساسية

المشتقة الثانية: المشتقة الأولى للاقتران $ق'(س)$ تسمى المشتقة الثانية للاقتران $ق(س)$

معاينة موضوع «قواعد الاشتقاق» من وحدة «التفاضل» في مادة الرياضيات. أقسام الشرح: ١٢، التعريفات: ١.

المصدر: وزارة التربية والتعليم العالي الفلسطينية، قواعد الاشتقاق (ص ٥٣–٥٩)

قواعد الاشتقاق

شرح الموضوع

قواعد الاشتقاق

لماذا نحتاج قواعد للاشتقاق؟

مشتقة الاقتران الثابت

قاعدة (٢)

قاعدة القوة: ننزل الأس ونطرح منه واحدًا

قاعدة (٣)

مشتقة اقتران مضروب في عدد ثابت

قاعدة (٤)

مشتقة مجموع اقترانين

قاعدة (٥)

مشتقة الفرق بين اقترانين

مثال (٦)

أكثر من اقترانين، وعدد من المشتقات المعلومة

مثال (٧)

قاعدة (٦)

مشتقة حاصل ضرب اقترانين

مثال (٩)

مشتقة خارج قسمة اقترانين

المشتقة الثانية والثالثة وما بعدهما

مثال (١٤)

ملاحظة

تمارين ومسائل

أتحقق: طبّق قواعد الاشتقاق

تعريفات أساسية

موضوعات أخرى في الوحدة

تابع الدراسة

النتائج والمعدل

الامتحانات

الدراسة

روابط رسمية

المنصة

المواد

النتائج والمعدل

الامتحانات

الدراسة

روابط رسمية

المنصة

المواد