امتحان الرياضيات الوزاري 2022، الدورة التكميلية، الورقة الأولى، مع الإجابات

معتمدًا الشكلين المجاورين اللذين يمثلان منحنيي الاقترانين ق ، هـ المعرّفين على ح ، أجب عن الفقرتين ١ ، ٢ الآتيتين: مجموعة قيم الثابت أ التي تكون عندها $\mathop{\text{نهـا}}\limits_{\text{س} \to \text{أ}} \text{هـ}(\text{س}) = \text{صفر}$ هي:

معتمدًا الشكلين المجاورين اللذين يمثلان منحنيي الاقترانين ق ، هـ المعرّفين على ح ، أجب عن الفقرتين ١ ، ٢ الآتيتين:

$\mathop{\text{نهـا}}\limits_{\text{س} \to \textup{١}} (\text{ق}(\text{س}) + \text{هـ}(\text{س}))$ تساوي:

إذا كانت $\mathop{\text{نهـا}}\limits_{\text{س} \to \textup{١}^{+}} ([\textup{٤} - \textup{٢}\text{س}] - \text{هـ}(\text{س})) = \textup{٣}$ ، وكانت $\mathop{\text{نهـا}}\limits_{\text{س} \to \textup{١}^{+}} \sqrt{\text{ق}(\text{س})} = \textup{٤}$ ، فإنّ $\mathop{\text{نهـا}}\limits_{\text{س} \to \textup{١}^{+}} (\text{ق}(\text{س}) - \textup{٢}\text{س}\,\text{هـ}(\text{س}))$ تساوي:

إذا كانت $\mathop{\text{نهـا}}\limits_{\text{س} \to -\textup{٢}} \dfrac{\text{أس}^{\textup{٢}} + \text{بس} - \textup{٦}}{\text{س} + \textup{٢}}$ موجودة ، فإنّ قيمة $\mathop{\text{نهـا}}\limits_{\text{س} \to \textup{٢}} (\text{بس}^{\textup{٢}} - \textup{٤}\text{أس})$ تساوي:

قيمة $\mathop{\text{نهـا}}\limits_{\text{س} \to \textup{٠}} \dfrac{\sqrt{\textup{٤} + \text{س}^{\textup{٢}}} - \sqrt{\textup{٤} - \text{س}^{\textup{٢}}}}{\text{س}^{\textup{٢}}}$ تساوي:

إذا كان $\text{ق}(\text{س}) = \begin{cases} \dfrac{\text{س} + \text{ظا}\textup{٢}\text{س}}{\textup{٢}\text{س} + \text{جاس}} \text{،} & \text{س} > \textup{٠} \\ \text{س} - \text{أ} \text{،} & \text{س} \le \textup{٠} \end{cases}$ ، متصلاً عند $\text{س} = \textup{٠}$ ، فإنّ قيمة الثابت أ تساوي:

إذا كان $\text{ق}(\text{س}) = \begin{cases} \textup{٣} \text{،} & \text{س} < \textup{٢} \\ [\dfrac{\textup{١}}{\textup{٢}}\text{س} + \textup{٢}] \text{،} & \textup{٢} \le \text{س} < \textup{٤} \\ \dfrac{-\textup{١٢}}{\text{س}} \text{،} & \text{س} \ge \textup{٤} \end{cases}$ ، فإنّ قيم س التي يكون عندها الاقتران ق غير متصل هي:

إذا كان ق ، هـ اقترانين قابلين للاشتقاق ، وكان $\text{هـ}(\text{س}) = \text{س}^{\textup{٣}}\text{ق}(\text{س})$ ، $\text{ق}(\textup{٢}) = -\textup{٣}$ ، $\text{قَ}(\textup{٢}) = \textup{٥}$ ، فإنّ $\text{هـَ}(\textup{٢})$ تساوي:

إذا كان معدل التغيّر في الاقتران ق في الفترة $[-\textup{١} \text{،} \textup{٤}]$ يساوي ٦ ، وكان $\text{ق}(\textup{٤})$ يساوي ثلاثة أمثال $\text{ق}(-\textup{١})$ ، فما قيمة $\text{ق}(\textup{٤})$ ؟

إذا كان $\text{قَ}(\textup{١}) = \textup{٧}$ ، فإنّ $\mathop{\text{نهـا}}\limits_{\text{هـ} \to \textup{٠}} \dfrac{\text{ق}(\textup{١} + \textup{٢}\text{هـ}) - \text{ق}(\textup{١} - \textup{٢}\text{هـ})}{\textup{٢}\text{هـ}}$ تساوي:

إذا كان $\text{ق}(\text{س}) = \begin{cases} \text{س} - \textup{١} \text{،} & \text{س} < \textup{٢} \\ (\text{س} - \textup{١})^{\textup{٢}} \text{،} & \text{س} \ge \textup{٢} \end{cases}$ ، فإنّ $\text{قَ}(\textup{٢})$ تساوي:

معتمدًا الشكل المجاور الذي يمثل منحنيي الاقترانين ق ، هـ المعرّفين على ح ، أجب عن الفقرتين ١٢ ، ١٣ الآتيتين: إذا كان $\text{ل}(\text{س}) = \text{ق}(\text{س}^{\textup{٢}}) + \text{هـ}^{\textup{٢}}(\text{س})$ ، فإنّ $\text{لَ}(\textup{١})$ تساوي:

معتمدًا الشكل المجاور الذي يمثل منحنيي الاقترانين ق ، هـ المعرّفين على ح ، أجب عن الفقرتين ١٢ ، ١٣ الآتيتين:

إذا كان $\text{ك}(\text{س}) = \dfrac{\text{ق}(\text{س})}{\text{س} + \text{هـ}(\text{س})}$ ، $\text{س} \neq \textup{٢}$ ، فإنّ $\text{كَ}(\textup{٣})$ تساوي:

إذا كان $\text{ص} = \text{قتاس}$ ، فإنّ $\dfrac{\text{د}^{\textup{٢}}\text{ص}}{\text{دس}^{\textup{٢}}}$ عند $\text{س} = \dfrac{\pi}{\textup{٦}}$ تساوي:

إذا كان $\text{ص} = (\textup{٢} + \dfrac{\textup{٢}}{\text{س}})^{\textup{٤}}$ ، فإنّ $\dfrac{\text{دص}}{\text{دس}}$ عند $\text{س} = \textup{٢}$ تساوي:

إذا كان $\text{ص} = \sqrt{\textup{٣}\text{ع}}$ ، $\text{ع} = \text{جتا}^{\textup{٢}}(\dfrac{\pi}{\textup{٣}}\text{س})$ ، فإنّ $\left.\dfrac{\text{دص}}{\text{دس}}\right|_{\text{س} = \textup{١}}$ تساوي:

النقطة الواقعة على منحنى العلاقة $\sqrt{\text{س}} + \sqrt{\text{ص}} = \textup{٤}$ ، $\text{س} \text{،} \text{ص} > \textup{٠}$ ، التي يصنع عندها المماس زاوية مقدارها $(\textup{١٣٥}^{\circ})$ مع الاتجاه الموجب لمحور السينات هي:

إذا كان $\text{ق}(\text{س}) = \text{س}^{\textup{٢}} + \textup{٢}\text{س}$ ، $\text{هـ}(\text{س}) = \textup{٣}\text{س}^{\textup{٢}}$ ، فإنّ قيمة $(\text{قَ} \circ \text{هـَ})^{\prime}(-\textup{١})$ تساوي:

معادلة العمودي على المماس لمنحنى الاقتران $\text{ق}(\text{س}) = \text{س}^{\textup{٢}} - \textup{٢}\text{س} + \dfrac{\textup{٥}}{\textup{٢}}$ عند $\text{س} = \textup{٠}$ هي:

معتمدًا الشكل المجاور ، ما مساحة الشكل الرباعي أ ب م جـ المكوّن من المماس المرسوم من النقطة $\text{جـ}(\textup{٠} \text{،} \textup{١})$ لمنحنى الاقتران $\text{ق}(\text{س}) = \text{س}^{\textup{٢}} + \textup{٥}$ الذي يمس منحنى ق عند النقطة أ ، ومحوري السينات والصادات الموجبين والمستقيم $\overleftrightarrow{\text{أب}}$ ؟

يتحرك جُسيم على خط مستقيم وفق العلاقة $\text{ف}(\text{ن}) = \text{ن}^{\textup{٣}} - \textup{٦}\text{ن}^{\textup{٢}} + \textup{٩}\text{ن} + \textup{١٥}$ ، حيث ف: المسافة بالأمتار ، ن: الزمن بالثواني ، فإنّ الفترة الزمنية التي تكون فيها السرعة سالبة هي:

قُذف جسم رأسيًا إلى الأعلى من نقطة على سطح الأرض وفق العلاقة $\text{ف}(\text{ن}) = \textup{٣٠}\text{ن} - \textup{٥}\text{ن}^{\textup{٢}}$ ، حيث ف: المسافة بالأمتار ، ن: الزمن بالثواني ، فإنّ سرعة الجسم لحظة قطعه مسافة ٤٥ مترًا تساوي:

معتمدًا الشكل المجاور الذي يمثل منحنى المشتقة الأولى للاقتران ق المتصل على الفترة $[-\textup{٢} \text{،} \textup{٢}]$ ، ما عدد النقاط الحرجة للاقتران ق ؟

إذا كان $\text{ق}(\text{س}) = \text{جتاس} + \text{جا}^{\textup{٢}}\text{س}$ ، $\text{س} \in [\textup{٠} \text{،} \dfrac{\pi}{\textup{٢}}]$ ، فإنّ قيمة س التي يكون للاقتران ق عندها قيمة قصوى محلية تساوي:

إذا كان $\text{ق}(\text{س}) = \text{س}^{\dfrac{\textup{٣}}{\textup{٥}}}$ ، $\text{س} \in \text{ح}$ ، فما الفترة التي يكون فيها منحنى الاقتران ق مقعرًا للأعلى؟

جد: $\mathop{\text{نهـا}}\limits_{\text{س} \to \textup{٠}} \dfrac{\textup{٢} - \text{جا}^{\textup{٢}}\text{س} - \textup{٢}\text{جتاس}}{\text{جتاس} - \text{جتا}\textup{٣}\text{س}}$

إذا كان $\text{ق}(\text{س}) = \begin{cases} \left|\dfrac{\text{س}}{\textup{٢}} - \textup{١}\right| \text{،} & \textup{٠} \le \text{س} \le \textup{٣} \\ \dfrac{(\text{س} - \textup{١})^{\textup{٢}} - \textup{٢}(\text{س} - \textup{١})}{\textup{٣} - \text{س}} \text{،} & \textup{٣} < \text{س} < \textup{٤} \end{cases}$ ، فابحث في اتصال الاقتران ق على الفترة $[\textup{٠} \text{،} \textup{٤})$ .

إذا كان $\text{ق}(\text{س}) = \begin{cases} \textup{٢}\text{أس}^{\textup{٢}} - \text{بس} \text{،} & \text{س} \le \textup{١} \\ \textup{٢} + \text{أس} + \text{بس}^{\textup{٢}} \text{،} & \text{س} > \textup{١} \end{cases}$ ، وكان ق اقترانًا قابلاً للاشتقاق عند $\text{س} = \textup{١}$ ، فجد قيمة كلاً من الثابتين أ ، ب

جد $\text{قَ}(\text{س})$ لكل مما يأتي:

١) $\text{ق}(\text{س}) = \dfrac{\text{ظاس} + \textup{١}}{\text{جاس}}$ ، عند $\text{س} = \dfrac{\pi}{\textup{٣}}$

جد $\text{قَ}(\text{س})$ لكل مما يأتي:

٢) $\text{ق}(\text{س}) = \sqrt{\text{س}^{\textup{٢}} + \sqrt{\textup{٣}\text{س}} + \textup{٤}}$ ، عند $\text{س} = \textup{٣}$

إذا كان $\text{س} = \text{ص} + \text{جتاص}$ ، فأثبت أنّ: $(\text{صً})^{\textup{٢}} - (\text{صَ})^{\textup{٥}}(\text{جاص} + \textup{١}) = \textup{٠}$

إذا كان $\text{ق}(\text{س}) = (\text{س} + \textup{١})^{\textup{٢}}(\text{س} - \textup{٢})$ ، $\text{س} \in \text{ح}$ ، فجد كلاً مما يأتي:

١) فترات التزايد وفترات التناقص لمنحنى الاقتران ق

٢) القيم القصوى للاقتران ق (إن وجدت) مبينًا نوعها

٣) فترات التقعر للأعلى وللأسفل لمنحنى الاقتران ق

يرتكز سلم طوله ١٠ أمتار بطرفه العلوي على حائط عمودي ، وبطرفه السفلي على أرض مستوية يميل عنها بزاوية قياسها $\textup{٦٠}^{\circ}$ ، بدأ رجل صعود السلم بمعدل $\dfrac{\textup{١}}{\textup{٢}}$ م/ث ، جد معدل تغير المسافة بين الرجل ونقطة التقاء الحائط مع الأرض في اللحظة التي يكون فيها قد قطع مسافة ٨ أمتار.

متوازي مستطيلات مجموع أطوال أحرفه ١٥٦ سم . قاعدته مربعة الشكل وبداخله هرم رباعي قائم يشترك معه بالقاعدة ورأسه على الجهة المقابلة لها، جد بُعدي قاعدة الهرم وارتفاعه اللذين يجعلان حجم الهرم أكبر ما يمكن. (انظر الشكل المجاور)