امتحان الرياضيات الوزاري 2023، الدورة العامة، الورقة الأولى، مع الإجابات

إذا كان: $f(x) = e^{\sqrt[3]{x}}$ ، فإنّ $f'(x)$ هي:

إذا كان: $f(x) = (x - 1) \cos x$ ، فإنّ $f'(x)$ هي:

يمثّل الاقتران: $s(t) = t^3 - \frac{9}{2}t^2 + 6t$ , $t \ge 0$ موقع جسم يتحرّك في مسار مستقيم، حيث $s$ الموقع بالأمتار، و $t$ الزمن بالثواني. ما قيم $t$ بالثواني التي يكون عندها الجسم في حالة سكون لحظي؟

إذا كان: $y = \frac{\sqrt{2}}{\sin x}$ ، فإن $\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=\frac{\pi}{4}}$ هي:

إذا كان: $x \neq 0$ ، $f'(x) = \frac{2(x^3 - 1)}{x^3}$ ، فإن $f^{(3)}(x)$ هي:

إذا كان: $x > 0$ ، $f(x) = \sqrt{\ln x}$ ، فإن $f'(x)$ هي:

إذا كان: $f(x) = 3^{(x^2 + 1)}$ ، فإن قيمة $x$ التي يكون للاقتران عندها مماس أفقي هي:

إذا كان: $-\frac{\pi}{2} < t < \frac{\pi}{2}$ ، $x = \tan^2 t , y = \sec^2 t$ ، فإن مشتقة المعادلة الوسيطية هي:

إذا كان: $y^2 = 2cos(\frac{\pi}{3} e^{\ln x})$ ، فإن ميل المماس لمنحنى العلاقة $y$ عند النقطة $(1, 1)$ هو:

إذا كان: $x > 0$ ، $y = x^{x^2}$ ، فإن $\frac{d}{dx}(\ln y)$ هي:

$l$ و $m$ طريقان مستقيمان متعامدان في النقطة $C$. تقع محطة وقود على الطريق $m$ وتبعد $12\text{ km}$ عن نقطة التقاطع $C$. إذا تحركت سيارة على الطريق $l$ بسرعة $26\text{ km/h}$ في اتجاه نقطة التقاطع $C$ ، فما معدل تغيّر المسافة بين السيارة ومحطة الوقود عندما تكون السيارة على بعد $5\text{ km}$ من نقطة التقاطع؟

مثلث متطابق الضلعين طول كل من ضلعيه المتطابقين $10\text{ cm}$ ، وقياس الزاوية بينهما $\theta$. إذا تغيّرت $\theta$ بمعدل $\frac{\pi}{60}\text{ rad/min}$ ، فإن معدل تغيّر مساحة المثلث عندما $\theta = \frac{\pi}{3}$ هو:

إذا كان: $f(x) = \frac{x}{3} + \frac{9}{x}$ ، $x \neq 0$ ، فإنّ القيمة العظمى المطلقة للاقتران $f(x)$ في الفترة $[-6, -1]$ هي:

معتمدًا الشكل الآتي الذي يمثّل منحنى المشتقة الأولى للاقتران $f(x)$ ، ما الفترة (الفترات) التي يكون فيها منحنى الاقتران $f(x)$ مقعرًا لأعلى؟

يمثّل الاقتران: $s(t) = t^3 - 6t^2 + 5$ , $t \ge 0$ موقع جسم يتحرّك في مسار مستقيم، حيث $s$ الموقع بالأمتار، و $t$ الزمن بالثواني. ما الفترة الزمنية التي يتحرك فيها الجسم في الاتجاه السالب؟

إذا كان: $R(x) = -50x^2 + 200(3x + 160)$ يمثّل اقتران الإيراد الكلي بالدينار من بيع $x$ صندوقًا، فإنّ أعلى إيراد يُمكن تحقيقه بالدينار هو:

معتمدًا الشكل الآتي الذي يمثل مستطيلاً مرسومًا داخل مثلث قائم الزاوية. ما قيمة الإحداثي $x$ للنقطة $M$ التي تكون عندها مساحة المستطيل أكبر ما يمكن؟

إذا كان: $i = \sqrt{-1}$ ، فإنّ قيمة المقدار $i^{2021} \times \sqrt{-4}$ هي:

إذا كان: $3(x + y) + 4(3x - y)i = 43 + (32 - y)i$ ، فإنّ قيمة x الحقيقية التي تحقق المعادلة هي:

إذا كان: $k > 0$ ، $z = \frac{3}{k} - 2\sqrt{2}\, i$ ، وكان: $|z| = 3$ ، فإنّ قيمة الثابت $k$ هي:

إذا كان: $\frac{a^2 + b^2}{a + bi} = 2 + 3i$ ، حيث $a$ و $b$ عددان حقيقيان لا يساوي أي منهما الصفر، فإنّ قيمة $a \times b$ هي:

إذا كان: $z_1 = 6 \left( \cos \frac{7\pi}{6} + i \sin \frac{7\pi}{6} \right)$ ، $z_2 = 3 \left( \cos \frac{7\pi}{18} + i \sin \frac{7\pi}{18} \right)$ ، فإن $\frac{z_1}{z_2}$ هي:

إذا كان: $a + 4i$ هو أحد الجذور التربيعية للعدد المركب $-7 - 24i$ ، فإن قيمة الثابت $a$ هي:

ما القيمة العظمى لسعة الأعداد المركبة $z$ التي تحقق المعادلة: $1 = |z + 1 - i\sqrt{3}|$ ؟

معتمدًا الشكل الآتي، ما معادلة المستقيم $l$ (بدلالة $z$) الممثل بيانيًا ؟

ابحث قابلية الاقتران: $f(x) = (2x - 6)^{\frac{1}{3}} + 4$ للاشتقاق عندما $x = 3$ (استعمل التعريف العام للمشتقة لبحث قابلية الاشتقاق)

جد مشتقة الاقتران: $f(x) = (\cot(\tan^2 \sqrt{2x^3 + 1}))^5$

إذا كان: $3y^2 = 4x^2 + xy$ ، فأثبت أن: $-1 = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{(-a, a)}$ ، حيث $a$ عدد حقيقي لا يساوي الصفر.

جد $\frac{d^2y}{dx^2}$ للمعادلة الوسيطية الآتية عندما $t = 1$ : $y = t^2 + 2$ , $x = t^3 - 3t^2 + 1$

يتساقط الرمل من شاحنة متوقفة على أرض مستوية بمعدل $2 \text{ cm}^3/\text{s}$ فيتشكل منه مخروط قائم ارتفاعه مساوٍ لطول قطر قاعدته. جد معدل التغيّر في مساحة السطح الجانبية للمخروط المتشكل في اللحظة التي يكون فيها ارتفاع المخروط يساوي $12 \text{ cm}$ .

حدّد فترات التزايد والتناقص والقيم القصوى المحلية (إن وجدت) للاقتران: $f(x) = \frac{x^3}{3} - 8 \ln x$

ترغب شركة في تصميم صندوق مفتوح من الأعلى طول قاعدته يساوي مثلي عرضها، ومساحة سطحه الكلية تساوي $2400 \text{ cm}^2$ ، جد أبعاد الصندوق التي تجعل حجمه أكبر ما يمكن .

اكتب العدد المركب: $z = -2 - i\sqrt{12}$ بالصورة المثلثية. (8 علامات)

جد جميع الجذور الحقيقية والجذور المركبة للمعادلة: $z^3 + 3z^2 = 5z + 39$ . (10 علامات)

اكتب (بدلالة $z$) نظام متباينات يُمثّل المحل الهندسي الذي تُمثّله المنطقة المظللة في الشكل الآتي. (10 علامات)