امتحان الرياضيات الوزاري 2024، الدورة العامة، الورقة الأولى، مع الإجابات

معتمدًا الشكل الآتي الذي يُمثّل منحنى الاقتران $f$ ، فإنّ عدد قيم $x$ للنقاط التي يكون عندها الاقتران $f$ غير قابل للاشتقاق، هو:

إذا كان: $f(x) = 2\sin(x + \pi) - \frac{x^2}{\pi}$ ، فإنّ $f'\left(\frac{\pi}{2}\right)$ ، هي:

يُمثّل الاقتران: $s(t) = 2t^2 - \frac{1}{2}t^3 + 4$ , $t \geq 0$ موقع جسم يتحرك في مسار مستقيم، حيث $s$ الموقع بالأمتار، $t$ الزمن بالثواني، فإنّ سرعة الجسم بالمتر لكل ثانية في اللحظة التي يعود فيها إلى موقعه الابتدائي، هي:

يُمثّل الشكل الآتي منحنى الاقتران $f$ ، إذا كان: $g(x) = \frac{-1}{f(x)}$ ، فإنّ $g'(2)$ ، هي:

إذا كان: $f(x) = \csc x + e^2$ ، فإنّ $f''\left(\frac{\pi}{4}\right)$ ، هي:

إذا كان: $f(x) = e^x - 3x$ ، فإنّ الإحداثي $x$ للنقطة التي يكون عندها المماس موازيًا للمستقيم الذي معادلته: $4x + 2y + 2 = 0$ ، هو:

إذا كان: $f(x) = a^{(x^2 - 4x)}$ ، فإنّ قيمة الثابت $a$ التي تجعل $f'(4) = 4$ ، هي:

إذا كان: $y = \log(\tan x)$ , $0 < x < \frac{\pi}{2}$ ، فإنّ $\frac{dy}{dx}$ ، هي:

إذا كانت: $y^2 = \ln(xy)$ ، فإن $\frac{dy}{dx}$ عند النقطة $(e, 1)$ ، هي:

إذا كانت: $x > 0$ ، $y = x^{\frac{1}{x}}$ ، فإن ميل المماس لمنحنى العلاقة $y$ عند أي نقطة تقع عليها، هو:

معتمدًا الشكل الآتي الذي يُمثّل كاميرا مثبتة عند النقطة $A$ ترصد منطادًا يرتفع رأسيًا إلى أعلى من النقطة $B$ ، إذا أُعطي ارتفاع المنطاد بالاقتران: $s(t) = 10t^2$ ، حيث $s$ موقع المنطاد بالأمتار، $t$ الزمن بالدقائق، فإنّ معدّل تغيّر زاوية ارتفاع المنطاد $\theta$ بعد دقيقتين من بدء ارتفاعه، هو:

مكعب طول ضلعه $5 \text{ cm}$ . إذا بدأ المكعب بالتمدد فزاد طول ضلعه بمعدل $2 \text{ cm/min}$ ، وظلّ محافظًا على شكله، فإنّ معدّل تغيّر حجم المكعب بعد $1 \text{ min}$ من بدء تمدده، هو:

إذا كان: $f(x) = (x - 2)e^x$ ، فإنّ القيمة الصغرى المطلقة للاقتران $f$ في الفترة $[-2, 2]$ ، هي:

إذا كان: $x \neq 2$ ، $g(x) = 2x + \frac{2}{x-2}$ ، فإنّ منحنى الاقتران $g$ يكون مقعرًا للأسفل على الفترة:

يُمثّل المنحنى المُبيّن في الشكل الآتي اقتران الموقع $s(t)$ لجسم يتحرك في مسار مستقيم في الفترة $[0, 7]$، حيث $s$ الموقع بالأمتار، و $t$ الزمن بالثواني. إذا علمت أنّ: $v(4.8) = 0 \text{ m/s}$ ، $v(2.2) = 0 \text{ m/s}$ ، $a(3.5) = 0 \text{ m}^2/s$ ، حيث $v$ سرعة الجسم، و $a$ تسارعه، فإنّ الفترة الزمنية التي تتزايد فيها سرعة الجسم، هي:

إذا كانت: $A(1, 2), B(0, -1)$ نقطتين في المستوى الإحداثي، فإنّ النقطة $C$ الواقعة على المستقيم الذي معادلته: $y = x + 2$ بحيث يكون: $(BC)^2 + (AC)^2$ أقلّ ما يمكن، هي:

يبيع متجر 100 طابعة شهريًا بسعر JD 260 للطابعة الواحدة، وبعد إجراء دراسة في التسويق، وجد المتجر أنّ عدد الطابعات المبيعة شهريًا يزيد بمقدار 10 طابعات عند كل خصم مقداره JD 20 من سعر الطابعة الواحدة. ما سعر بيع الطابعة الواحدة الذي يُحقّق للمتجر أعلى إيراد ممكن وفق هذه الدراسة؟

ملحوظة: في جميع الفقرات من 18 إلى 25 ، فإنّ $i = \sqrt{-1}$ حيثما وردت. قيمة $\left(i^{21} \times \sqrt{-12}\right)$ في أبسط صورة ، هي:

إذا كان: $z = -1 + ai$ ، حيث $|z| = 2$ ، فإنّ القيمة الموجبة للثابت $a$ ، هي:

إذا كان: $\operatorname{Arg}(3 + 2i) = \alpha \text{ rad}$ ، فإنّ $\operatorname{Arg}(2 + 3i)$ ، هي:

إذا كان: $z = 2 + 3i$ , $w = 3 - i$ ، فإنّ قيمة المقدار $z^2 - w^2$ ، هي:

إذا كان: $\frac{a-4i}{1-2i} = b + 2i$ ، حيث $a, b$ ثوابت حقيقية، فإنّ قيمة الثابت $a$ ، هي:

إذا كان: $z = 3 \cos(-\frac{\pi}{3}) - 3i \sin(-\frac{\pi}{3})$ ، فإنّ صورة $z^2$ المثلثية ، هي:

إذا كان: $a > 0$ ، $a - i\sqrt{6}$ هو أحد الجذرين التربيعيين للعدد المركّب $-4 - 4i\sqrt{3}$ ، فإنّ قيمة الثابت الحقيقي $a$ ، هي:

معتمدًا الشكل الآتي، ما معادلة المستقيم $l$ المُمثّل بيانيًا ( بدلالة $z$ )؟

جد معادلة العمودي على المماس لمنحنى الاقتران: $f(x) = \frac{\ln(2x+1)}{e^{(x+1)}} + 1$ ، عند نقطة تقاطع المنحنى مع المحور $y$

إذا كان: $y = \cot^2\left(\cos\sqrt{e^{\pi - 2x}}\right)$ ، فجد $\frac{dy}{dx}$

إذا رُسم مماسان لمنحنى العلاقة: $x^2 + y^2 = 12$ من النقطة $C(6, 0)$ ، فمسّا المنحنى عند النقطتين $A, B$ ، فجد مساحة المثلث $ABC$

إذا كانت: $x = 5 - 2t$ , $y = t^4 + 2t^2$ ، فجد $\frac{d^2y}{dx^2}$ عندما $x = 1$

حبل طوله $25 \text{ m}$ يمر حول بكرة ترتفع عن منصة مسافة $12 \text{ m}$ ، مربوط بطرف الحبل ثِقل وطرفه الآخر مربوط بسيارة على أرضٍ أفقية. إذا سَحبت السيارة الحبل بسرعة $0.5 \text{ m/s}$ ، فجد معدّل ارتفاع الثِّقل في اللحظة التي تَبعُد فيها السيارة مسافة $16 \text{ m}$ عن مسقط البكرة على المنصة. (انظر الشكل التوضيحي المجاور)

جد القيم القصوى المحلية (إن وجدت) للاقتران: $f(x) = 2\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{x^4}$

يُراد تسييج محمية على شكل قطاع دائري زاويته $\theta$ بالراديان، في دائرة نصف قطرها $r$ ، لإكثار نوع من الغزلان المُهدّد بالانقراض. إذا علمت أنّ طول السياج اللازم لعمل ذلك $100 \text{ km}$ ، فجد طول نصف القطر $r$ الذي تكون عنده مساحة المحمية أكبر ما يمكن. (انظر الشكل التوضيحي المجاور)

اكتب العدد المركب: $z = 1 - i$ بالصورة المثلثية.

إذا علمت أنّ $3 + 2i$ هو أحد جذور المعادلة: $z^4 - 2z^3 - 3z^2 + 4z + 104 = 0$ ، فجد الجذور الثلاثة الأخرى لهذه المعادلة.

إذا كانت النقطة $C$ تمثل مركز الدائرة في الشكل المجاور، فاكتب ( بدلالة $z$ ) نظام متباينات للمحل الهندسي الذي تُمثّله المنطقة المظللة.