امتحان الرياضيات الوزاري 2025، الدورة العامة، الورقة الأولى، مع الإجابات

إذا كان: $f(x) = \ln(ax^3),\ x > 0$ حيث: $a > 0,\ a \neq 1$ ، فإنّ $f'(x)$ هي:

إذا كان: $f(x) = 4\sin x - 2\cos x$ ، فإنّ $f'\left(-\frac{\pi}{6}\right)$ هي:

يُبيّن الشكل الآتي منحنيي الاقترانين $f(x)$ ، و $g(x)$ . إذا كان: $u(x) = f(x) + \frac{2}{g(x)}$ ، فإنّ $u'(1)$ هي:

إذا تحرّكت كُرة معلّقة بزنبرك إلى الأعلى وإلى الأسفل، وحدّد الاقتران: $s(t) = 0.2\sin 1.5t$ موقع الكُرة عند أيّ زمن لاحق، حيث $t$ الزمن بالثواني، و $s$ الموقع بالسنتيمترات، فإنّ موقع الكُرة عندما تكون سرعتها صفرًا هو:

إذا كان: $f(x) = 2^{-4x}$ ، فإنّ ميل العمودي على المماس لمنحنى الاقتران $f(x)$ عندما $x = \log_2 3$ هو:

إذا كان: $y = \frac{1+\sin 2x}{3+\cos 2x}$ ، فإنّ $\frac{dy}{dx}$ هي:

يتحرّك قمر صناعيّ حول الأرض ويمسح جزءًا منها باستعمال مُستشعرات لقياس الزاوية $\theta$ (بالراديان) المُبيّنة في الشكل الآتي. إذا علمت أنّ $h$ يُمثّل المسافة بين القمر الصناعيّ وسطح الأرض بالكيلومتر، و $r$ يُمثّل نصف قطر الأرض، ويساوي $6371$ km تقريبًا، فإنّ معدّل تغيّر $h$ بالنسبة إلى $\theta$ عندما $\theta = \frac{\pi}{4}$ هو:

إذا كان: $f(x) = 2e^{x^3}\sqrt{x+1}$ ، فإنّ $f'(0)$ هو:

إذا كان: $h(x) = \sqrt[6]{16 + 3(f(x))^4}$ ، وكان: $f(3) = -2,\ f'(3) = 1$ ، فإنّ $h'(3)$ هي:

إذا كان: $f(x) = k^{\cot x}$ ، وكان: $f'\left(\frac{5\pi}{4}\right) = 2\ln\left(\frac{1}{27}\right)$ ، فإنّ قيمة الثابت $k$ هي:

إذا كان: $f(x) = \log\big((1-2x)(1+2x)\big),\ -\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ ، فإنّ $f'(x)$ هي:

إذا كان ارتفاع كاميرا عن سطح الأرض $40$ m ، ورصدت الكاميرا درّاجة نارية تتحرك على طريق مستقيم بسرعة ثابتة تبلغ $100$ km/h كما في الشكل الآتي، فإنّ معدّل تغيّر الزاوية $\theta$ عندما تكون الدرّاجة أسفل الكاميرا تمامًا هو:

اعتمادًا على الشكل الآتي الذي يُبيّن منحنى الاقتران $f(x)$ ، فإنّ العبارة الصحيحة ممّا يأتي هي:

إذا كان: $f(x) = \frac{4-x^2}{x^2+1}$ ، فإنّ للاقتران $f(x)$ قيمة صغرى مطلقة في الفترة $[-1, 2]$ عندما:

اعتمادًا على الشكل الآتي الذي يُبيّن منحنى الاقتران $f(x)$ ، فإنّ النقطة (النقاط) من بين مجموعة النقاط $\{M, N, P, Q, T\}$ التي تكون عندها إشارة $f'(x)$ موجبة، وإشارة $f''(x)$ سالبة هي:

إذا مثّل الاقتران: $s(t) = t^3 - 4t^2 + 4t,\ t \geq 0$ موقع جسم يتحرك في مسار مستقيم، حيث $s$ الموقع بالأمتار، و $t$ الزمن بالثواني، فإنّ الفترة التي تتناقص فيها سرعة الجسم هي:

الإحداثي $x$ للنقطة الواقعة على منحنى الاقتران: $f(x) = 2 - x^2$ في الربع الأول من المستوى الإحداثي التي هي أقرب ما يمكن إلى النقطة $(0, 1)$ هو:

ملحوظة: في جميع الفقرات من 18 إلى 25، فإنّ $i = \sqrt{-1}$ حيثما وردت.

الصورة المثلثيّة للعدد المركّب $w$ المُمثَّل في المستوى المركّب الآتي هي:

ملحوظة: في جميع الفقرات من 18 إلى 25، فإنّ $i = \sqrt{-1}$ حيثما وردت.

إذا كان $z$ عددًا مركّبًا، وكان: $z - 4\bar{z} = -15 - 10i$ ، فإنّ $z$ هو:

ملحوظة: في جميع الفقرات من 18 إلى 25، فإنّ $i = \sqrt{-1}$ حيثما وردت.

إذا كان: $z = \alpha - 4i$ ، وكان: $\operatorname{Arg}(-8 + 2i + 4z) = -\frac{\pi}{2}$ ، فإنّ قيمة الثابت $\alpha$ هي:

ملحوظة: في جميع الفقرات من 18 إلى 25، فإنّ $i = \sqrt{-1}$ حيثما وردت.

إذا كان: $z = 2 - 5i$ ، و $w = 8 - 11i$ ، فاعتمد ذلك في الإجابة عن الفقرتين (21) و (22) الآتيتين:

قيمة $\operatorname{Arg}(z - w)$ هي:

ملحوظة: في جميع الفقرات من 18 إلى 25، فإنّ $i = \sqrt{-1}$ حيثما وردت.

إذا كان: $z = 2 - 5i$ ، و $w = 8 - 11i$ ، فاعتمد ذلك في الإجابة عن الفقرتين (21) و (22) الآتيتين:

ناتج $\frac{1}{z} + \frac{w}{29}$ هو:

ملحوظة: في جميع الفقرات من 18 إلى 25، فإنّ $i = \sqrt{-1}$ حيثما وردت.

يظهر في المستوى المركّب الآتي مربّع رؤوسه الأعداد المركّبة $z_1, z_2, z_3, z_4$ . إذا علمت أنّ: $z_2 = -1 + 5i$ ، و $z_3 = 2$ ، فإنّ ناتج $z_1 z_4$ هو:

ملحوظة: في جميع الفقرات من 18 إلى 25، فإنّ $i = \sqrt{-1}$ حيثما وردت.

إذا كان: $z_1 = 6 + pi$ ، و $z_2 = 4 - 3i$ ، وكان: $2 = \left|\frac{z_1}{z_2}\right|$ ، فإنّ القيمتين المُمكنتين للثابت $p$ هما:

ملحوظة: في جميع الفقرات من 18 إلى 25، فإنّ $i = \sqrt{-1}$ حيثما وردت.

متباينة المحلّ الهندسيّ (بدلالة $z$) التي تُمثّل المنطقة المظلّلة في الشكل الآتي هي:

السؤال الثاني: a) إذا كان: $f(x) = \frac{\ln x}{x}$ ، حيث $x > 0$ ، فبيّن أنّ:

السؤال الثاني: b) يُعطى منحنى بالمعادلتين الوسيطيتين: $x = t^2,\ y = 2t$ . جد مساحة المثلث المُكوَّن من مماس المنحنى عند النقطة $(4, -4)$ والعمودي على المماس عند تلك النقطة والمحور $x$ .

السؤال الثالث: a) إذا كان: $\tan 5y = 5\tan x$ ، فأثبت أنّ: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + 24\sin^2 x}$

السؤال الثالث: b) إذا كان: $y = (x - 1)^{x+1},\ x > 1$ ، فاستعمل الاشتقاق اللوغاريتمي لإيجاد $\frac{dy}{dx}$ عندما $x = 2$

السؤال الثالث: c) يُبيّن الشكل المجاور ذراعًا معدنيّةً مُتحرّكةً طولها $1$ m ، ويُمثّل الاقتران: $x(t) = \frac{1}{2}\sin\frac{\pi t}{3}$ موقع طرف الذراع على المحور $x$ ، حيث $t$ الزمن بالثواني. جد سرعة طرف الذراع الواقع على المحور $y$ عندما $x = \frac{1}{4}$ (اكتب الناتج في أبسط صورة مُمكنة)

السؤال الرابع: a) إذا كان: $f(x) = \sqrt{3 - 2x - x^2}$ ، فجد فترات التقعّر للأعلى وللأسفل ونقاط الانعطاف (إن وُجدت) لمنحنى الاقتران $f(x)$ .

السؤال الرابع: b) يُبيّن الشكل المجاور مخططًا للحديقة المنزلية $ABC$ مُثلّثة الشكل. يرغب مالك الحديقة في تقسيمها إلى جُزأين لزراعتها بنوعين مختلفين من النباتات مستعملًا السياج $\overline{MN}$ بحيث تُشكّل مساحة المثلث $AMN$ رُبع مساحة الحديقة $ABC$ . إذا علمت أنّ: $AM = x$ m, $AN = y$ m ، فجد قيمة كلٍّ من $x, y$ التي تجعل طول السياج $\overline{MN}$ أقلّ ما يمكن. (قرّب الناتج لأقرب جزء من مئة)

السؤال الخامس: a) جد الجذرين التربيعيّين للعدد المركّب: $z = -6 + 8i$

السؤال الخامس: b) جد العدد المركّب الذي يحقّق كلًّا من المحلّ الهندسيّ: $|z - 3| = \sqrt{2}\,|z - i|$ ، والمحلّ الهندسيّ: $\operatorname{Arg}(z + 4 - 3i) = \frac{\pi}{4}$