امتحان الرياضيات الوزاري 2024، الدورة التكميلية، الورقة الأولى، مع الإجابات

معتمدًا الشكل الآتي الذي يُمثّل مُنحنى الاقتران $f(x)$ ، فإنّ الاقتران $f(x)$ غير قابل للاشتقاق عند النقطة $(1,0)$ لأنّه يوجد لمنحناه عندها:

إذا كان: $y = \frac{(ex)^2 - x e^{2x}}{x}$ ، فإنّ $\frac{dy}{dx}$ عندما $x = 1$ هي:

إذا كان: $f(x) = \sin\frac{x}{2} + \cos\frac{\pi}{2}$ ، فإنّ $f'(0)$ هي:

إذا كان الاقتران: $s(t) = t^3 - 6t^2 + 1, t \ge 0$ يُمثّل موقع جسم يتحرك في مسار مستقيم، حيث $s$ الموقع بالأمتار، و $t$ الزمن بالثواني، فإنّ سرعة الجسم عندما يكون تسارعه صفرًا هي:

يبيّن الشكل الآتي منحنيي الاقترانين $g(x), f(x)$. إذا كان: $h(x) = f(x) g(x)$ ، فإنّ $h'(3)$ هي:

إذا كان: $f(x) = 3 \cot 2x$ ، فإنّ $f'(\frac{\pi}{6})$ هي:

إذا كان: $x \ne 0$ ، $f(x) = 2x - \frac{1}{x}$ ، فإنّ $f'''(x)$ هي:

إذا كان: $f(x) = \ln(\sec^2 x)$ ، فإنّ $f'(\frac{\pi}{4})$ هي:

إذا كان: $f(x) = \sqrt[3]{x^2}$ ، فإن $f'(x)$ هي:

إذا كان: $f(x) = 2^{-3x}$ ، وكان: $f'(a) = -3 \ln 2$ ، فإن قيمة الثابت $a$ هي:

إذا كان: $f(x) = \log_4(x^2 + 3x)$ ، فإن $f'(2)$ هي:

سقطت قطرة ماء على سطح مائي، فتكونت موجات دائرية متحدة المركز، فإذا ازدادت مساحة إحدى الدوائر بمعدل $12 \text{ cm}^2/\text{s}$ ، فإن معدل تغير محيط هذه الدائرة عندما يكون طول نصف قطرها $3 \text{ cm}$ هو:

إذا كان: $f(x) = x^3 - 6x^2 + 5$ ، فإن القيمة العظمى المطلقة للاقتران $f(x)$ في الفترة $[-1, 5]$ هي:

إذا كان الشكل الآتي يُمثّل منحنى المشتقة الثانية للاقتران $f(x)$ ، فإنّ الفترة التي يكون فيها منحنى الاقتران $f(x)$ مقعرًا للأعلى هي:

• يُمثّل الاقتران $s(t)$ المبيّن منحناه في الشكل الآتي موقع جسم يتحرك في مسار مستقيم في الفترة $[0,9]$، حيث $s$ الموقع بالأمتار، و $t$ الزمن بالثواني، اعتمد الشكل للإجابة عن الفقرتين (15) و (16) الآتيتين:

قيمة (قيم) $t$ التي يكون عندها الجسم في حالة سكون لحظي هي:

• يُمثّل الاقتران $s(t)$ المبيّن منحناه في الشكل الآتي موقع جسم يتحرك في مسار مستقيم في الفترة $[0,9]$، حيث $s$ الموقع بالأمتار، و $t$ الزمن بالثواني، اعتمد الشكل للإجابة عن الفقرتين (15) و (16) الآتيتين:

الفترة (الفترات) الزمنية التي يتحرك فيها الجسم في الاتجاه الموجب هي:

إذا مثّل الاقتران: $s(x) = 120 - 7x$ سعر القطعة لمنتج ما (بالدينار) حيث $x$ عدد القطع المبيعة من المنتج، ومثّل الاقتران: $C(x) = 200 + \frac{1}{2}x^2$ تكلفة إنتاج $x$ قطعة (بالدينار) من هذا المنتج، فإنّ عدد القطع اللازم بيعها لتحقيق أكبر ربح ممكن هو:

• ملحوظة: في جميع الفقرات من 18 إلى 25 ، فإنّ $i = \sqrt{-1}$ حيثما وردت.

قيمة: $\sqrt{\frac{-9}{32}} \times 16\, i^{13}$ في أبسط صورة هي:

مُعتمدًا المستوى المركب الآتي الذي يُبيّن العدد المركب $z$ ، فإنّ مرافق $z$ هو:

قيمة $y$ الحقيقية التي تُحقق المعادلة: $x + y + (x^2 - 1)i = 1 + 3i$ ، حيث $x > 0$ هي:

إذا كان: $z = 3 + ik$ ، حيث $6 = |z|$ ، و $-\frac{\pi}{2} < \text{Arg}(z) < 0$ ، فإنّ قيمة الثابت $k$ هي:

الصورة القياسية للعدد المركب: $z = 3\left(\cos\left(\frac{-\pi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{-\pi}{2}\right)\right)$ هي:

إذا كان: $z = -2 - 5i$ ، وكان: $\text{Arg}(6 + ia + z) = \frac{\pi}{4}$ ، فإنّ قيمة الثابت $a$ هي:

ناتج: $(2 - i)^3$ هو:

المتباينة (بدلالة $z$) التي تُمثّل المحلّ الهندسي المُمثّل بيانيًّا في الشكل الآتي هي:

a) طُرحت إحدى الشركات مُنتَجًا جديدًا في الأسواق، ثم رصدت عدد القطع المبيعة من المُنتَج، فإذا مثّل الاقتران: $N(t) = \frac{250 t^2}{1+2t} , t > 0$ عدد القطع المبيعة منذ طرح المُنتَج في الأسواق، حيث $t$ الزمن بالأشهر، فجد كلًّا ممّا يأتي: (8 علامات) 1) معدل تغيّر عدد القطع المبيعة بالنسبة إلى الزمن. 2) قيمة $N'(3)$ ، مفسّرًا معنى الناتج.

b) جد $\frac{d^2y}{dx^2}$ للمعادلة الوسيطية الآتية عندما $t = \frac{\pi}{8}$ : $x = 2\sin 2t$ ، $y = \cos^2 2t$ ، $0 \le t \le 2\pi$ (12 علامة)

a) جد معادلة المماس لمنحنى العلاقة: $x^3 + y^3 = 8xy$ ، عند نقطة تقاطع منحناها مع المستقيم $y = x$ في الربع الأول من المستوى الإحداثي. (12 علامة)

b) إذا كان: $y = \frac{(x-1)^2}{\sqrt{x^2+1}}$ ، فأثبت باستعمال الاشتقاق اللوغاريتمي أنّ: $\frac{dy}{dx} = \frac{(x-1)(x^2+x+2)}{\sqrt{(x^2+1)^3}}$ (10 علامات)

c) يرتفع بالون رأسيًّا فوق مستوى طريق مستقيم أفقي بمعدل $3 \text{ m/s}$ ، وفي اللحظة التي كان فيها البالون على ارتفاع $9 \text{ m}$ فوق الطريق ، مرّت أسفله دراجة تتحرك بسرعة $5 \text{ m/s}$ ، كما في الشكل التوضيحي المجاور. جد معدّل تغيّر المسافة بين البالون والدراجة بعد ثانية واحدة من تلك اللحظة. (12 علامة)

a) جد فترات التقعر للأعلى وللأسفل، ونقاط الانعطاف (إن وُجدت) لمنحنى الاقتران: $f(x) = e^{-\frac{x^{2}}{4}}$ (10 علامات)

b) يَنظُر طالب إلى لوحة علمية ارتفاعها $5 \text{ ft}$ مُعلَّقة على حائط في غرفة الصف، وارتفاع حافتها السفلية $1 \text{ ft}$ فوق مستوى خط نظره الأفقي كما في الشكل التوضيحي المجاور. كم قدمًا يجب أن يبتعد الطالب عن الحائط لتكون زاوية نظره $\theta$ أكبر ما يمكن؟ (10 علامات)

a) جد ناتج: $18 \left( \cos \frac{2\pi}{5} + i \sin \frac{2\pi}{5} \right) \div 3 \left( \cos \frac{7\pi}{10} - i \sin \frac{7\pi}{10} \right)$ بالصورة المثلثية. (8 علامات)

b) جد جميع الجذور الحقيقية والجذور المركّبة للمعادلة: $z^3 - 6z^2 + 21z - 26 = 0$ (8 علامات)

c) جد العددين المركبين اللذين يُحقّقان كلًّا من المحلّ الهندسي: $|z + 2i| = |z|$ ، والمحلّ الهندسي: $|z - 2| = \sqrt{17}$ . (10 علامات)