امتحان الرياضيات الوزاري 2022، الدورة التكميلية، الورقة الثانية، مع الإجابات

إذا كان $\text{ق}(\text{س}) = (\text{هـ}^{\textup{٣}\text{س}})^{\textup{٢}} + \int \dfrac{\textup{١}}{\text{س} + \textup{١}}\,\text{دس}$ ، فإن $\text{قَ}(\textup{٠})$ تساوي:

إذا كان $\text{م}(\text{س})$ ، $\text{هـ}(\text{س})$ معكوسين لمشتقة الاقتران المتصل $\text{ق}$ ، وكان $\int_{\textup{٢}}^{\textup{٨}} (\text{م}(\text{س}) - \text{هـ}(\text{س}))\,\text{دس} = \textup{١٨}$ ، فما قيمة $\int_{\textup{٣}}^{\textup{٥}} (\text{هـ}(\text{س}) - \text{م}(\text{س}))^{\textup{٣}}\,\text{دس}$ ؟

معتمدًا الشكل المجاور الذي يمثل منحنى الاقتران $\text{ق}$ في الفترة $[\textup{٠} \text{،} \textup{٥}]$ ، ما قيمة $\left| \int_{\textup{٥}}^{\textup{٠}} \text{ق}(\text{س})\,\text{دس} \right| + \int_{\textup{٠}}^{\textup{٥}} |\text{ق}(\text{س})|\,\text{دس}$ ؟

$\int_{\textup{٣}}^{\textup{٥}} (\textup{٣} - \text{س})^{\textup{٣}}\,\text{دس}$ يساوي:

$\int \textup{١٦}\,\text{جا}\textup{٥}\text{س}\,\text{جتا}\textup{٣}\text{س}\,\text{دس}$ يساوي:

إذا كان $\int_{\textup{١}}^{\textup{٢}} \dfrac{\textup{١}}{\textup{٤}}(\textup{٢}\text{س} + \text{ك})\,\text{دس} = \int_{\textup{١}}^{\textup{٢}} \textup{٢}\text{س}\,\text{دس}$ ، فإنّ قيمة الثابت $\text{ك}$ تساوي:

$\int \dfrac{(\text{س} + \textup{٢})^{\textup{٢}} - \text{س}^{\textup{٢}}}{\textup{٢}\text{س} + \textup{٢}}\,\text{دس}$ يساوي:

إذا كان $\text{ق}$ اقترانًا قابلاً للتكامل على الفترة $[-\textup{١} \text{،} \textup{٤}]$ ، وكان $\textup{٣} \le \text{ق}(\text{س}) \le \textup{٥}$ ، فإنّ أكبر قيمة ممكنة للمقدار $\int_{-\textup{١}}^{\textup{٤}} \dfrac{\textup{٩}}{\text{ق}^{\textup{٢}}(\text{س})}\,\text{دس}$ تساوي:

$\int \text{قا}(\textup{٣}\text{س} + \textup{١})\,\text{ظا}(\textup{٣}\text{س} + \textup{١})\,\text{دس}$ يساوي:

إذا كان $\int_{\textup{٩}}^{\textup{٢}} \textup{٢}\text{ق}(\text{س})\,\text{دس} = -\textup{١٢}$ ، $\int_{\textup{٢}}^{\textup{٥}} \dfrac{\text{ق}(\text{س})}{\textup{٣}}\,\text{دس} = -\textup{٢}$ ، فما قيمة $\int_{\textup{٥}}^{\textup{٩}} \text{ق}(\text{س})\,\text{دس} - \int_{\textup{٢}}^{\textup{٢}} \text{ق}(\text{س})\,\text{دس}$ ؟

معتمدًا الشكل المجاور الذي يمثل منحنى كثير الحدود $\text{ق}(\text{س})$ ، إذا كان $\int_{\textup{٠}}^{\textup{٣}} \text{ق}(\text{س})\,\text{دس} = \textup{٩}$ ، فما قيمة $\int_{-\textup{١}}^{\textup{٢}} \text{ق}(\text{س})\,\text{دس}$ ؟

إذا كان $\text{ق}(\text{س}) = \text{لو}_{\text{هـ}} \left( \dfrac{\text{س}}{\text{س} + \textup{١}} \right)^{\textup{٢}}$ ، $\text{س} \in \text{ح} - \{\textup{٠} \text{،} -\textup{١}\}$ ، فإنّ $\text{قَ}(\textup{٢})$ تساوي:

قيمة $\int_{-\textup{١}}^{\textup{٠}} \dfrac{|\textup{٤}\text{س}|}{\textup{٢}\text{س}^{\textup{٢}} + \textup{١}}\,\text{دس}$ تساوي:

قيمة $\int_{\textup{١}}^{\text{هـ}} \dfrac{\textup{٢}}{\text{هـ}^{\textup{٣}} - \textup{١}}\,\text{دس}$ تساوي:

إذا كان ميل المماس لمنحنى العلاقة $\text{ص}$ عند النقطة $(\text{س} \text{،} \text{ص})$ يساوي $\textup{٢}\text{س} \text{هـ}^{\textup{٢}\text{س}}$ ، وكانت النقطة $(\textup{٠} \text{،} \textup{٢})$ تقع على منحناها ، فإنّ قاعدة العلاقة $\text{ص}$ هي:

معتمدًا الشكل المجاور الذي يمثل دائرة تمس محور السينات عند النقطة $(\textup{١} \text{،} \textup{٠})$ وتمر بالنقطة $(\textup{١} \text{،} \textup{٤})$ ، ما معادلة هذه الدائرة؟

ما معادلة المحل الهندسي للنقطة $\text{ن}(\text{س} \text{،} \text{ص})$ المتحركة في المستوى ، والتي يكون بُعدها عن محور الصادات مساويًا لبُعدها عن النقطة $\text{د}(\textup{٢} \text{،} -\textup{١})$ ؟

إذا كانت المعادلة: $\textup{٢}\text{س}^{\textup{٢}} + \textup{٣}\text{س} = \text{كص}^{\textup{٢}} - \textup{٥}\text{ص} + \textup{٧}$ تمثل معادلة دائرة ، فإنّ قيمة الثابت $\text{ك}$ تساوي:

تتحرك النقطة $\text{و}(\text{س} \text{،} \text{ص})$ في المستوى الإحداثي حيث يتحدّد موقعها بالمعادلتين: $\text{س} = \text{ظاهـ}$ ، $\text{ص} = \text{قاهـ}$ ، حيث $\text{هـ}$ زاوية متغيرة ، ما معادلة مسار النقطة $\text{و}$ ؟

إذا كانت معادلة الدليل للقطع المكافئ : $\text{س}^{\textup{٢}} = (\text{ك} - \textup{٦})\text{ص}$ هي $\text{ص} = -\textup{٤}$ ، فإنّ قيمة الثابت $\text{ك}$ تساوي:

ما إحداثيا بؤرة القطع المكافئ الذي معادلته: $\text{ص}^{\textup{٢}} = \textup{٤}\text{س} + \textup{٨}$ ؟

ما نوع القطع المخروطي الذي معادلته: $\dfrac{\textup{١}}{\textup{٢}}\text{س}^{\textup{٢}} + \textup{٢}\text{ص}^{\textup{٢}} - \textup{٤}\text{س} + \textup{٨}\text{ص} = \dfrac{\textup{١}}{\textup{٢}}$ ؟

إذا كانت مساحة القطع الناقص الذي معادلته: $\dfrac{\text{س}^{\textup{٢}}}{\text{ك}} + \dfrac{\text{ص}^{\textup{٢}}}{\textup{٩}} = \textup{١}$ ، $\text{ك} > \textup{٠}$ تساوي $\textup{٣٣}\pi$ وحدة مربعة ، فإنّ قيمة الثابت $\text{ك}$ تساوي:

البعد البؤري للقطع الزائد الذي معادلته: $\textup{١٢}\text{س}^{\textup{٢}} - \textup{٤}\text{ص}^{\textup{٢}} = \textup{٣٦}$ يساوي:

معتمدًا الشكل المجاور الذي يمثل قطعًا زائدًا بؤرتاه النقطتان $\text{ب}_{\textup{١}}$ ، $\text{ب}_{\textup{٢}}$ ، إذا كان $\dfrac{\overline{\vphantom{X}\text{أ}_{\textup{١}}\text{ب}_{\textup{١}}}}{\overline{\vphantom{X}\text{أ}_{\textup{١}}\text{ب}_{\textup{٢}}}} = \dfrac{\sqrt{\textup{٣}} - \textup{١}}{\sqrt{\textup{٣}} + \textup{١}}$ ، فإنّ الاختلاف المركزي للقطع يساوي:

جد كلاً من التكاملات الآتية:

١) $\int_{\textup{١}}^{\textup{٣}} \dfrac{\textup{٥}}{\textup{٤}\text{س} - \text{س}^{\textup{٢}}}\,\text{دس}$

٢) $\int \dfrac{\text{جا}^{\textup{٣}}\text{س}(\text{جا}^{\textup{٢}}\text{س} + \textup{١})^{\textup{٤}}}{\text{قاس}}\,\text{دس}$

جد: $\int \textup{٢}\text{س}^{\textup{٢}} \text{لو}_{\text{هـ}} \dfrac{\textup{٢}}{\sqrt{\text{س}}}\,\text{دس}$

جد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران $\text{ق}(\text{س}) = \textup{٢} - \text{س}^{\textup{٢}}$ ومحور الصادات والمستقيم $\text{ص} = \text{س} - \textup{٤}$ ، والمستقيم $\text{س} + \text{ص} = \textup{٦}$

حُلّ المعادلة التفاضلية: $(\text{س}^{\textup{٢}} + \textup{٢}\text{س}) \dfrac{\text{دص}}{\text{دس}} = \text{هـ}^{-\textup{٢}\text{ص}}(\text{س} + \textup{١})(\text{س}^{\textup{٢}} - \textup{٤})$

جد معادلة القطع المكافئ الذي معادلة محوره $\text{س} = \textup{١}$ ، ودليله المستقيم الذي معادلته $\text{ص} = \textup{٢}$ ويمر بالنقطة $(\textup{٤} \text{،} -\textup{١})$

أ) جد كلًّا من إحداثيي المركز، وإحداثيي الرأسين، وإحداثيي البؤرتين، والاختلاف المركزي للقطع المخروطي الذي معادلته: $\textup{٦}\text{س}^{\textup{٢}} - \textup{٤}\text{ص}^{\textup{٢}} + \textup{١٢}\text{س} + \textup{٨}\text{ص} = \textup{٢٢}$

ب) معتمدًا الشكل المجاور الذي يمثل قطعًا ناقصًا الفرق بين طولي محوريه ٤ وحدات وإحدى بؤرتيه النقطة ل ، فإذا علمت أنّ مساحة المثلث وعل تساوي ١٢ وحدة مربعة ، فجد مساحة الشكل الرباعي وكعل