امتحان الرياضيات الوزاري 2025، الدورة التكميلية، الورقة الثانية، أدبي وشرعي وفندقي، مع الإجابات

إذا كان: $f(x) = \frac{-9}{x^{-2}}$ ، فإنّ أي اقتران أصلي للاقتران $f(x)$ يُكتب على الصورة:

$\int x^2 \left(3 + \frac{2}{x}\right) dx$ هو:

$\int \frac{x^2 + 6x + 9}{x + 3} dx$ هو:

إذا كان: $f'(x) = 3x^2 - 5$ ، فإنّ قاعدة الاقتران $f(x)$ الذي يمرّ منحناه بالنقطة $(1, 0)$ هي:

• إذا كان: $\int_{2}^{5} f(x)dx = 2$ ، $\int_{1}^{5} f(x)dx = -1$ ، $\int_{5}^{2} h(x)dx = -3$ ، فأجب عن الفقرتين 5 و 6 الآتيتين:

قيمة $\int_{5}^{2} (f(x) + h(x))dx$ ، تساوي:

• إذا كان: $\int_{2}^{5} f(x)dx = 2$ ، $\int_{1}^{5} f(x)dx = -1$ ، $\int_{5}^{2} h(x)dx = -3$ ، فأجب عن الفقرتين 5 و 6 الآتيتين:

قيمة $\int_{1}^{2} (3f(x))dx$ ، تساوي:

إذا كان: $\int_{k}^{4} 2 \, dx = 20$ ، فإنّ قيمة الثابت $k$ تساوي:

التكامل المحدود الذي قيمته تساوي مساحة المنطقة المظلّلة في التمثيل البياني الآتي هو:

مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران: $f(x) = x + 1$ ، والمحور $x$ ، والمستقيم $x = 0$ بالوحدات المربعة، هي:

قيمة $\int_{0}^{1} (2x - 3)^3 dx$ ، تساوي:

$\int \frac{2x^2}{x^3 - 4} dx$ هو:

$\int (2x - \cos x) dx$ هو:

$\int \frac{e^{x} + 7}{e^{x}} dx$ هو:

قيمة $\int_{0}^{\ln 5} e^{2x} dx$ تساوي:

$\int \frac{\ln x^4}{x} dx$ هو:

إذا كان: $X \sim Geo(p)$ ، وكان $P(X < 2) = 0.6$ ، فإنّ احتمال النجاح في كلّ مرّة يساوي:

إذا كان: $X \sim Geo\left(\frac{3}{8}\right)$ ، فإنّ $E(X)$ هو:

وفقًا لنموذج الخدمة الإلكتروني في إحدى الشركات، تبيّن رضا 85% من الزبائن عن خدمات الشركة. إذا قدّمت الشركة خدماتها لـ 10 زبائن في أحد الأيام، ودلّ المُتغيّر العشوائي $X$ على عدد الزبائن الراضين عن خدمات الشركة، فأيّ ممّا يأتي يُعبّر عن ذلك بالرموز؟

إذا كان: $X \sim B(3, p)$ ، وكان $P(X \le 2) = \frac{37}{64}$ ، فإنّ $P(X = 3)$ هو:

إذا كان: $X \sim B(n, 0.6)$ ، وكان $Var(X) = 2.4$ ، فإنّ $E(X)$ تساوي:

إذا كان: $X \sim N(50, 2^2)$ ، وكان $P(X < 52) = 0.84$ ، فإنّ $P(48 < X < 52)$ يساوي:

يُمثّل كل من المُنحنيين الآتيين توزيعًا طبيعيًّا. إذا علمت أنّ الوسط الحسابي والانحراف المعياري للمُنحنى $A$ على التوالي هما $\mu_A$ و $\sigma_A$ ، والوسط الحسابي والانحراف المعياري للمُنحنى $B$ على التوالي هما $\mu_B$ و $\sigma_B$ ، فأي العلاقات الآتية تُمثّل المقارنة الصحيحة بين هذين التوزيعين من حيث الوسط الحسابي والانحراف المعياري معًا؟

إذا كان: $Z \sim N(0, 1)$ ، وكان $P(Z < 1.6) = 0.9452$ ، فإنّ $P(0 < Z < 1.6)$ يساوي:

إذا كان: $X \sim N(64, \sigma^2)$ ، وكانت القيمة المعيارية التي تُقابل $x = 70$ ، هي $z = 1.2$ ، فإنّ قيمة الانحراف المعياري تساوي:

إذا كان: $X \sim N(30, 9)$ ، وكان $P(Z < 1.1) = 0.8643$ ، فإنّ $P(X > 26.7)$ يساوي:

السؤال الثاني: (28 علامة) a) يُمثّل الاقتران: $C'(x) = 0.6x^2 + 2x$ التكلفة الحدّية (بالدينار) لكل قطعة تُنتجها إحدى الشركات، حيث $x$ عدد القطع المُنتجة، و $C(x)$ تكلفة إنتاج $x$ قطعة بالدينار. جد اقتران التكلفة $C(x)$ ، علمًا بأنّ تكلفة إنتاج 10 قطع هي ⁦2300 JD⁩ (8 علامات) b) إذا كان: $f(x) = |x - 4| - 5$ ، فجد $\int_{-6}^{2} f(x) dx$ (8 علامات) c) جد مساحة المنطقة المحصورة بين مُنحنى الاقتران: $f(x) = 3x^2 - 27$ ، والمحور $x$ والمُستقيمين: $x = 2, x = 4$ (12 علامات)

السؤال الثالث: (22 علامة) a) جد كلًّا من التكاملات الآتية: (14 علامة) 1) $\int \left( \sqrt{e^x} + \frac{\cos x}{3 - \sin x} \right) dx$ 2) $\int_{0}^{2} \frac{2x}{\sqrt{3x^2 + 4}} dx$ b) يتحرك جُسيم في مسار مُستقيم، ويُعطى تسارعه بالاقتران: $a(t) = e^{t-2}$ ، حيث $t$ الزمن بالثواني، و $a$ تسارعه بالمتر لكلّ ثانية تربيع. إذا كانت سرعته $2 \text{ m/s}$ بعد ثانيتين من بدء الحركة، فجد سرعة الجُسيم بعد 3 ثوانٍ من بدء الحركة. (8 علامات)

السؤال الرابع: (20 علامة)

a) دوّر لاعب مؤشر قُرص بشكل متكرّر. وكان القُرص مُقسّمًا إلى 4 قطاعات ملونة بالأحمر والأخضر والأصفر والأزرق. إذا كان احتمال توقف المؤشر عند اللون الأخضر هو 0.2 ، ودلّ المتغيّر العشوائي $X$ على عدد مرّات تدوير مؤشر القُرص حتى توقفه عند اللون الأخضر لأول مرّة، فجد كلاًّ ممّا يأتي: (14 علامة) 1) احتمال تدوير مؤشر القُرص 3 مرّات على الأكثر حتى يتوقف عند اللون الأخضر لأول مرّة. 2) احتمال تدوير مؤشر القُرص أكثر من 4 مرّات حتى يتوقف عند اللون الأخضر لأول مرّة.

b) تقتضي القوانين في إحدى المُباريات الرياضية أن يخرج الفريق من المُنافسة ويُعدُّ خاسرًا إذا تبيَّن أنّ أحد أعضاء الفريق يأخذ المُنشِّطات الرياضية. وقد وجَدَ المُنظمون للمباراة أنّ نسبة أنْ يكون لاعب قد أخذ المُنشِّطات هو 1% إذا كان عدد أفراد الفريق 6 لاعبين، ودلّ المُتغيّر العشوائي $X$ على عدد اللاعبين في الفريق الذين يأخذون المُنشِّطات الرياضية، فجد كلًّا ممّا يأتي: (6 علامات) 1) احتمال أنْ لا يخرج الفريق من المُنافسة بسبب تعاطي المُنشِّطات. 2) التباين للمُتغيّر العشوائي $X$ .

السؤال الخامس: (30 علامة)

a) إذا كان: $X \sim N(24, 16)$ ، فاستعمل القاعدة التجريبية والشكل المجاور الذي يُمثّل توزيعًا طبيعيًّا في إيجاد كلّ ممّا يأتي: (12 علامة) 1) $P(16 < X < 32)$ 2) قيمة $a$ التي تُحقّق الاحتمال: $P(X > a) = 0.16$ 3) النسبة المئوية للبيانات التي تقلّ قيمة كلّ منها عن الوسط الحسابي بمقدار لا يزيد على انحراف معياري واحد.

b) يتبع ضغط الدم الانقباضي (mmHg) لـ 2000 شخص بالغ توزيعًا طبيعيًّا، وسطه الحسابي 127 ، وانحرافه المعياري 16 . فأجب عن الأسئلة الآتية: (18 علامة) 1) إذا اختير شخص بالغ عشوائيًّا، فما احتمال أن يكون ضغط دمه الانقباضي يزيد على ⁦135 mmHg⁩ ؟ 2) ما عدد الأشخاص البالغين الذين يقلّ ضغط دمهم الانقباضي عن ⁦111 mmHg⁩ ؟ ملاحظة: يمكنك الاستفادة من الجدول الآتي الذي يتضمّن قِيَمًا مأخوذة من جدول التوزيع الطبيعي المعياري.