نظريتا رول والقيمة المتوسطة

ما مجموعة جميع قيم جـ التي يمكن الحصول عليها من تطبيق نظرية رول على الاقتران $ق(س) = 8$ في الفترة [0 ، 1]؟

الاقتران ق(س) = س² − س − ٦ يحقق شروط نظرية رول في الفترة [٠، ١]. ما قيمة جـ التي تعيّنها النظرية؟

ما قيمة جـ التي تحددها نظرية القيمة المتوسطة على الاقتران $ق(س) = س^2 + س - 6$ في [-1 ، 2]؟

الاقتران ق(س) = س³ + ١ يحقق شروط نظرية القيمة المتوسطة في الفترة [⁦−⁩٢، ١]. ما قيمة جـ التي تحددها النظرية؟

إذا علمت أن الاقتران $ق(س) = جتا2س + 2جاس$ يحقق شروط نظرية رول في الفترة $[أ، \pi]$ حيث $أ > 0$، فما قيمة الثابت أ؟

الاقتران $ق(س) = \begin{cases} \text{س} - 2 & -4 \leq \text{س} < -1 \\ \text{س}^{2} - 7 & -1 \leq \text{س} \leq 1 \end{cases}$ غير متصل عند $س = -1$، فلا تتحقق شروط نظرية رول في الفترة [-4، 1]. ما قيمة $جـ \in ]-1، 1[$ التي تحقق $ق'(جـ) = 0$؟

إذا علمت أن الاقتران $ق(س) = \frac{(س^{2} - 5س + 6)(س + أ)}{س - 3}$، $س \in [-1، ب]$ يحقق شروط نظرية رول في الفترة [-1، ب]، وكانت قيمة جـ التي تعينها النظرية هي ٠، فما قيمة الثابتين أ، ب؟

إذا علمت أن الاقتران $ق(س) = \begin{cases} أ\text{س} + ب & -3 \leq \text{س} \leq -1 \\ -\text{س}^{2} & -1 < \text{س} \leq 5 \end{cases}$ يحقق شروط نظرية القيمة المتوسطة في الفترة [-3، 5]، فما قيمة الثابتين أ، ب؟

الاقتران ق(س) = [2س + 1] (أكبر عدد صحيح) في الفترة [0، 1] لا تتحقق فيه شروط نظرية القيمة المتوسطة. عند البحث عن $جـ \in ]0، 1[$ بحيث $ق'(جـ) = \frac{ق(1) - ق(0)}{1 - 0}$، ما النتيجة؟