نظريتا رول والقيمة المتوسطة

نظرية رول: مماس أفقي بين نقطتين متساويتين

إذا كان في الاقتران ثابت مجهول، فشرط تحقق النظرية يحدد قيمته.

لا توجد قيمة للثابت أ داخل الفترة تحقق الشرط، وقيمة الكتاب لا تحقق المعادلة.

هل يتعارض هذا مع نظرية رول؟

• إذا كان $ق(س)$ اقتراناً متصلاً على $[أ، جـ]$ بحيث $ق''(س)$ موجودة في $]أ، جـ[$، وكان $ق(أ) = ق(ب) = ق(جـ)$، حيث $أ < ب < جـ$.

القيمة المتوسطة: مماس يوازي القاطع

إذا كان في الاقتران ثابتان مجهولان، فشرطا الاتصال والاشتقاق يعطيان معادلتين.

• نكتب $ق(س)$ دون استخدام رمز أكبر عدد صحيح.

تمارين على النظريتين

بين أياً من الاقترانات الآتية يحقق شروط نظرية رول في الفترة المعطاة، ثم جد قيمة، أو قيم $جـ$ التي تحددها النظرية في كل حالة (إن وجدت).

أ. $ق(س) = \sqrt{٤س - س^{٢}}$، $س \in [٠، ٤]$ ب. $ق(س) = س^{٢} - ٢س - ٣$، $س \in [-١، ٣]$ ج. $ق(س) = لو_{هـ}\left(س + \frac{١}{س}\right)$، $س \in \left[\frac{١}{٢}، ٢\right]$ د. $ق(س) = جا٢س + ٢جاس$، $س \in \left[٠، \frac{\pi}{٢}\right]$

إذا كان $ق(س) = \begin{cases} أس^{٢} + ٢س & ٠ \leq س \leq ٢ \\ س^{٣} - بس + ١٢ & ٢ < س \leq ٣ \end{cases}$، يحقق شروط نظرية القيمة المتوسطة في الفترة $[٠، ٣]$، جد قيم الثابتين $أ$، $ب$، ثم جد قيمة/قيم $جـ$ التي تحددها النظرية.

إذا كان $ق(س) = \frac{١}{س}$، $س \in [أ، ب]$، $س > صفر$، فأثبت باستخدام نظرية القيمة المتوسطة وجود عدد حقيقي واحد على الأقل $جـ \in ]أ، ب[$، بحيث $جـ^{٢} = أ ب$

إذا كان $ع(س) = (ق \circ ه)(س)$، $س \in [أ، ب]$، $ق(س)$، $ه(س)$ اقترانين متصلين في $[أ، ب]$ وقابلين للاشتقاق في $]أ، ب[$، وكان $ه(أ) = ب$، $ه(ب) = أ$.

أثبت وجود عدد واحد على الأقل $جـ \in ]أ، ب[$ بحيث $ع(أ) - ع(ب) = ق'(جـ)(ب - أ)$

إذا كان $ق(س) = س جتاس$، $س \in [٠، \frac{\pi}{٢}]$ استخدم نظرية رول لإثبات أن القيمة التي تعينها النظرية هي عندما $س = ظتاس$.