حل نظام من معادلتين خطيتين باستخدام قاعدة كريمر

مشروع مهند: هل نعرف ثمن الصندوق؟

تعد المشاريع الصغيرة من الأفكار الاستثمارية قليلة المخاطرة، التي تساعد كل من المنتج والمستهلك، ومن الأمثلة عليها مشروع توزيع المواد التموينية الذي لا يحتاج المستثمر فيه لرأس مال كبير.

نكتب النظام بالمصفوفات ونحلّه بالمحددات.

ما ثمن الصندوق الواحد من المعلبات ومن العصير؟

قاعدة كريمر: نحلّ النظام بالمحددات

• أ: مصفوفة المعاملات
• ع: مصفوفة المتغيرات
• جـ: مصفوفة الثوابت
• |أ| ≠ صفر

• $\text{س} = \dfrac{|\text{أ}_{\text{س}}|}{|\text{أ}|} \qquad \text{ص} = \dfrac{|\text{أ}_{\text{ص}}|}{|\text{أ}|}$

• أس: المصفوفة أ بعد استبدال مدخلات عمود معاملات س فيها بمدخلات مصفوفة الثوابت.
• أص: المصفوفة أ بعد استبدال مدخلات عمود معاملات ص فيها بمدخلات مصفوفة الثوابت.

1. ترتيب النظام: اكتب كل معادلة على صورة: (معامل س) س + (معامل ص) ص = الثابت.
2. المحدد الأساسي: اكتب المعادلة المصفوفية، وجد محدد أ، وتأكد أنه لا يساوي صفرًا.
3. المحددان الآخران: استبدل عمود معاملات س ثم عمود معاملات ص بعمود الثوابت، وجد محدد كل مصفوفة.
4. القسمة: اقسم كل محدد منهما على محدد أ لتحصل على س وعلى ص.

مثال: نطبّق القاعدة خطوة خطوة

وماذا إذا لم تكن المعادلتان مرتبتين؟

مثال: نرتّب المعادلتين أولًا

نشاط: نكمل الحل بأنفسنا

$\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \text{س} \\ \text{ص} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 3 \end{bmatrix}$ $\text{أ} = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$ $|\text{أ}| = -3 - 2 = -5$ $|\text{أ}_{\text{س}}| = \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = \_\_\_\_$ (لماذا)؟

$\text{س} = \dfrac{|\text{أ}_{\text{س}}|}{|\text{أ}|} = \_\_\_\_\_\_\_\_$ $|\text{أ}_{\text{ص}}| = \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = \_\_\_\_$ (لماذا)؟

$\text{ص} = \dfrac{|\text{أ}_{\text{ص}}|}{|\text{أ}|} = \_\_\_\_\_\_\_\_$ إذن الحل:(س ، ص) = ( _ ، _ )

تمارين: نحلّ بقاعدة كريمر

إذا كانت أ مصفوفة من الرتبة الثانية، وكان $|\text{أ}| = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 4 \end{vmatrix}$ $|\text{أ}_{\text{س}}| = \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 9 & 4 \end{vmatrix}$ $|\text{أ}_{\text{ص}}| = \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 9 \end{vmatrix}$ أجد قيمة كل من س، ص.

استخدم قاعدة كريمر في حل أنظمة المعادلات الآتية:

أ. $3\text{س} - 4\text{ص} = 8$ $\text{س} + \text{ص} = 12$ ب. $3\text{س} - 2\text{ص} - 19 = 0$ $3\text{س} + \text{ص} = 13$

تمارين عامة: اختيار من متعدد ثم مسائل

إذا كانت $\text{أ} = \begin{bmatrix} 3 & -9 \\ 2 & -8 \end{bmatrix} , \text{ب} = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 4 & 0 \end{bmatrix}$ فما قيمة:

• أ. 5

• ب. 2

• ج. 1

• د. -1

إذا كانت $\begin{bmatrix} -1 & 3 & \text{س} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & \text{ص}+\text{س} & 2 \end{bmatrix}$ فما قيمة س، ص على الترتيب؟

• أ. (1 ، 2)

• ب. (2 ، 1)

• ج. (5 ، 2)

• د. (-1، 1)

إذا كانت $\text{ب} = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ فأي من المصفوفات الآتية تمثل:

• أ. $\begin{bmatrix} 1 & -6 \\ -1 & 5 \end{bmatrix}$

• ب. $\begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$

• ج. $\begin{bmatrix} 6 & 3 \\ 1 & 5 \end{bmatrix}$

• د. $\begin{bmatrix} -5 & -6 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$

إذا كانت س مصفوفة مربعة من الرتبة الثانية، وكان $|2\text{س}| = 8$ فما قيمة:

• أ. 18

• ب. 6

• ج. 4

• د. 2

أي من المصفوفات الآتية ليس لها نظير ضربيّ؟

• أ. $\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -4 & 6 \end{bmatrix}$

• ب. $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$

• ج. $\begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$

• د. $\begin{bmatrix} 8 & -2 \\ 4 & -1 \end{bmatrix}$

إذا كانت $\text{ص} = \begin{bmatrix} \text{جـ} & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} , \text{ص}^{-1} = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$ فما قيمة الثابت جـ؟

• أ. 2

• ب. 1

• ج. -1

• د. -2

عند حل نظام من معادلتين خطيتين، وُجِدَ أَن $\text{ص} = 2 , |\text{أ}_{\text{س}}| = -3$ $|\text{أ}_{\text{ص}}| = -6$ ماقيمة س؟

• أ. 3

• د. -3

إذا كان $\begin{bmatrix} \text{أ} & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ \text{ب} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix}$ فما قيمة الثابت أ ؟

• أ. 4

• د. صفر

إذا كانت أ،ب،جـ مصفوفات حيث $\text{أ} \cdot \text{ب} = \text{جـ}$ وكانت $\text{أ}_{3\times1} , \text{جـ}_{3\times4}$ فما رتبة المصفوفة ب ؟

• أ. $1\times4$

• ب. $1\times3$

• ج. $1\times1$

• د. $4\times3$

ما قيمة س السالبة التي تجعل المصفوفة $\begin{bmatrix} \text{س} & 8 \\ 2 & \text{س} \end{bmatrix}$ منفردة ؟

• أ. -2

• ب. -4

• ج. -8

• د. -16

إذا كانت $\text{أ} \cdot \text{ب} = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 5 \end{bmatrix} , \text{أ} \cdot \text{جـ} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 3 & -2 \end{bmatrix}$ أَجدُ ناتج:

أَستخدمُ قاعدة كريمر لحل نظام المعادلات الآتي:

$2\text{س}+1 = \text{ص}$ $\text{س}-2\text{ص} = 4$

أَستخدمُ طريقة النظير الضربيّ لحلّ نظام المعادلات الآتي:

$\text{س} - \text{ص} + 1 = 0$ $3\text{س} + 3\text{ص} = 6$

أجدُ قيمة/ قيم س التي تحقق المعادلة الآتية:

أجد المصفوفة س التي تحقق المعادلة المصفوفية الآتية: