المتسلسلة الهندسية ومجموعها

ما المتسلسلة الهندسية؟

تمتاز محافظة أَريحا عن غيرها من المحافظات الفلسطينية بالنشاط السياحي، وذلك لكثرة المواقع الأَثرية فيها، أَما المناطق غير الأَثرية فتُستثمر في إنشاء منتجعات سياحية تجذب السياح الذين يزورون المحافظة.

يريد مستثمر إقامة منتجع سياحي متكامل على قطعة أَرض مربعة الشكل في محافظة أَريحا تشمل، منطقة ملاهي وأَلعاب، مسبح ومرافق، مطعم، وموقف للمركبات، بحيث تقع جميعها في مستوى أفقي واحد، وتشغل القطعة كاملةً.

مساحة كل منطقة على الترتيب: ٣٢٠٠م$^{2}$ ، ١٦٠٠م$^{2}$ ، ٨٠٠م$^{2}$، ٤٠٠م$^{2}$

• أ. المتسلسلة الدالة على مجموع المساحات: __ .

• ب. المساحة الكلية لقطعة الأَرض تساوي: __ .

مجموع أول ن حدّ من متسلسلة هندسية

مجموع أَول ن حد من حدود متسلسلة هندسية حدها الأَول أ وأَساسها ر ،

يعطي بالقانون

1. أتحقق من النوع: أقسم كل حد على الحد الذي قبله؛ إذا كان الناتج ثابتًا فالمتسلسلة هندسية.
2. أحدد المعطيات: أكتب الحد الأول وأساس المتسلسلة وعدد الحدود المطلوب جمعها.
3. أعوّض في القانون: أضع القيم في قانون مجموع أول ن حد، ثم أحسب الناتج.

فيها: $\text{أ} = 2$ ، $\text{ر} = 2$ ، $\text{ن} =$ _ إذن: $\⁦text{⁩جـ}{8} =$ ____

أجد حدًّا حين يُعطى المجموع

جرّب بنفسك

1. أَجدُ مجموع المتسلسلات الهندسية الآتية:

أ. $\sum_{\text{ن}=1}^{4} (2 \times 3^{\text{ن}})$.

ب. $1 + 5 + 25 + 125 + 625$.

ج. $4 - 1 + \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{16}$

2. متسلسلة هندسية حدها الأَول ٧ و أَساسها -١ ، أَجدُ مجموع أَول عشر حدود منها.

3. أَجدُ الحد الأَول في المتسلسلة الهندسية التي أَساسها ٢ ومجموع أَول أَربعة حدود يساوي ٦٠.

4. كم حداً يلزم أَخذه من متسلسلة هندسية حدها الأَول ٤ وأَساسها ٣ ليكون مجموعها ١٦٠ ؟

مراجعة الوحدة: اختر الإجابة

1. متسلسلة حسابية حدها الأَول ٣ وحدها العاشر ٢١، ما مجموع أَول عشرة حدود منها؟

أ. ٢٠ ب. ٤٠ ج. ٥٠ د. ١٢٠

2. متسلسلة هندسية حدها الأَول -١ ، أَساسها $\dfrac{1}{3}$ ، ما مجموع أَول ثلاثة حدود منها؟

أ. $\dfrac{-13}{9}$ ب. $\dfrac{9}{13}$ ج. $\dfrac{4}{3}$ د. $\dfrac{52}{81}$

3. ما قيمة $\sum_{\text{ر}=1}^{5} (-1)^{\text{ر}}$ ؟

أ. -٥ ب. -١ ج. ١ د. ٥

4. ما عدد الحدود اللازم أَخذها ليصبح مجموع المتسلسلة ٥+١٠+٢٠ +.. يساوي ٦٣٥؟

أ. ٧ ب. ٦ ج. ٥ د. ٤

5. متسلسلة حسابية مجموع أَول ستة عشر حداً فيها ٣٢، وأَساسها -٢، ما حدها الأَول؟

أ. ٣٤ ب. ١٧ ج. ١٦ د. -١٣

6. ما قيمة: $\text{لو}_{3} (243 \times 81)$؟

أ. ٥ ب. ٢٠ ج. ٩ د. ٤

7. ما قيمة س التي تحقق المعادلة $64 = \left(\dfrac{1}{32}\right)^{\text{س}-1}$ ؟

أ. -٥ ب. $\dfrac{-1}{5}$ ج. ٥ د. $\dfrac{11}{5}$

8. ما مجموعة حلّ المعادلة: $\text{لو}_{27} (3)^{3\text{س}-1} = 5$ أ. ٧ ب. ٣ ج. $\dfrac{16}{3}$ د. -٧

مراجعة الوحدة: أسئلة مفتوحة

السؤال الثاني: أَكتب أَول ٥ حدود لمتسلسلة حسابية مجموع حديها الثاني والتاسع = ٢٥، ومجموع حديها الثالث والسابع =٢٠.

السؤال الثالث: كم حداً يلزم أَخذه من المتسلسلة الهندسية ١ + ٣ + ٩ .... ليكون المجموع مساوياً ٣٦٤.

السؤال الرابع: إذا كان مجموع أول ن حداً من متسلسلة حسابية يعطى بالعلاقة $\text{جـ}_{\text{ن}} = \text{ن}(2\text{ن} + 1)$ أَجدُ الحد الأَول والأَساس لتلك المتسلسلة.

السؤال الخامس: تعاقد مهندس مع إحدى الشركات براتب سنوي قدره ١١٥٠٠ دينار وبزيادة سنوية قدرها ٥٠ ديناراً.

أ. ما الراتب السنوي الذي تقاضاه هذا الموظف في نهاية السنة السادسة؟

ب. ما مجموع ما تقاضاه خلال عشر سنوات؟

السؤال السادس: ما مجموعة حلّ كل من المعادلتين الأُسيتين الآتيتين؟

أ. $2(169)^{2\text{س}+7} = 26$ ب. $(9)^{\text{س}+4} = (27)^{4\text{س}}$

السؤال السابع: ما مجموعة حلّ كل من المعادلتين اللوغاريتميتين الآتيتين؟

أ. $\text{لو}_{5}(25)^{2\text{س}-3} = \text{لو}_{8}(64)^{\text{س}}$ ب. $\dfrac{\text{س}\,\text{لو}_{10}(0{,}0001)}{\text{لو}_{100}(1000000)} = -1$

السؤال الثامن: ما مجموعة حلّ المعادلة: $\dfrac{1}{2}\text{س}^{2}\,\text{لو}_{8}(64) + \text{س}\,\text{لو}_{3}(243) + 2\,\text{لو}_{5}(125) = 0$