التكامل المحدود

من سرعة النمو إلى مقدار التغير

عَمِلت وزارة الصحة الفلسطينية على نشر مراكز الرعاية الصحية الأولية في مختلف القرى، والتجمعات السكانية. من أهداف هذه المراكز متابعة نمو الأطفال. وذلك من خلال متابعة التغير في طول الطفل.

فماذا نسمّي هذا الفرق بين قيمتين للاقتران؟

التكامل المحدود: الفرق بين قيمتي ق عند الحدين

• حيث أ: الحد الأدنى ، ب: الحد الأعلى ، أ ، ب عددان حقيقيان.

وماذا لو عرفنا قيمتي ق عند الحدين ولم نعرف قاعدته؟

نعرف ق عند الحدين فنحسب التكامل بلا قاعدة ق

إذا كان $ص = \int_{٢}^{٣} س^{٢}\,ءس$ ، أجد $\frac{ءص}{ءس}$ .

حدّ مجهول في التكامل: نكوّن معادلة ونحلّها

$\int_{ب}^{٦} (٤س + ٣)\,.ءس = (٢س^{٢} + ٣س)\Big|_{ب}^{٦}$ (لماذا)؟

إذن: $ب = ٠$ أو $ب = \frac{-٣}{٢}$ (لماذا؟)

حدّان متساويان: التكامل صفر

$\⁦int_{⁩ب}^{ب} ق(س)\,ءس = $ صفر، حيث: ب عدد حقيقي

نبدّل الحدّين فتنعكس الإشارة

$= (-٢)(٩) + (٧ - ٢٨)$ (لماذا)؟

خاصية الإضافة: نقسم الفترة عند نقطة داخلها

تمارين: نحسب ونطبّق خصائص التكامل المحدود

أحسبُ كل من التكاملات التالية:

أ. $\int_{-٢}^{١} (٣س + ١)\,ءس$ ب. $\int_{٢}^{٥} (٧ - ٢س)\,ءس$ جـ. $\int_{١}^{٤} (\sqrt{س} + ٣)\,ءس$

إذا كان $\int ع(س)\,ءس = ٣س^{٢} - ٢س + جـ$، فما قيمة $\int_{-٢}^{٢} ٢ع(س)\,ءس$؟

إذا كان $\int_{١}^{٥} ٣هـ(س)\,ءس = ١٢$، ما قيمة $\int_{٥}^{١} (هـ(س) + ٢س - ١)\,ءس$؟

إذا كان $\int_{٣}^{٥} (٢س + ب)\,ءس = ١٢$، فما قيمة الثابت ب؟

إذا كان $\int_{-١}^{جـ} ٦س\,ءس = صفر$، فما قيمة/قيم الثابت جـ؟

إذا كان $\int_{٢}^{٧} ق(س)\,ءس = ٣$، وكان $\int_{٣}^{٧} ٣ق(س)\,ءس = -٩$، فما قيمة $\int_{٢}^{٣} ٤ق(س)\,ءس$؟

تمارين عامة على الوحدة: اختيار من متعدد ثم مسائل

إذا كان $ق(س) = \frac{٢}{س}$ ، $س \neq ٠$، فما قيمة $قَ(١)$؟

• أ. $-٨$

• ب. $٨$

• جـ. $٢$

• د. $-٢$

ما ميل القاطع لمنحنى الاقتران $ق(س) = ٣س^{٢} - ٢$ عند $س_{١} = -١$، $س_{٢} = ٢$؟

• أ. $٣$

• ب. $-٦$

• جـ. $١٢$

• د. $٩$

إذا كان متوسط التغير في الاقتران $ق(س)$ يساوي $\frac{٣}{٢}$ ، وكان $\Delta س = ٦$، فما قيمة $\Delta ص$ ؟

• أ. $٩$

• ب. $٣$

• جـ. $١٨$

• د. $٦$

إذا كان $ق(س) = (٥س - ١)(٢س)$ ؛ فما قيمة $قَ(١)$ ؟

• أ. $٨$

• ب. $١٠$

• د. $-٧$

إذا كان $ق(س) = \frac{٣س^{٢} + ١}{٢ - س}$، $س \neq ٢$، فما قيمة $قَ(٣)$؟

• أ. $٣٧$

• ب. $-٣٧$

• جـ. $١٠$

• د. $١$

إذا كان $ق(٧) = -٥$، $هـ(٧) = ٢$، $قَ(٧) = ٣$، $هـَ(٧) = -١$ فما قيمة $(٢ق \times ٣هـ)َ(٧)$؟

• أ. $٦٦$

• جـ. $٦$

• د. $-١٨$

إذا كان للاقتران $ق(س)$ قيمة عظمى محلية عند النقطة $(-١٠، ٥)$، فما قيمة $قَ(-١٠)$؟

• أ. $٥$

• ب. $-١٠$

• جـ. صفر

• د. $٣$

إذا كان $\int قَ(س)\,ءس = ٣س^{٢} - ٤س + جـ$، فما قيمة $قَ(٢)$؟

• أ. $١٢$

• ب. $٤$

• جـ. $-٢$

• د. $٨$

إذا كان $ق(س) = \int_{١}^{٩} (٥س^{٣} + ٣س - ٢)^{٥}\,ءس$، فما قيمة $قَ(٨)$؟

• أ. $٢٤$

• ب. $٤٤$

• د. $٢$

$ق(س) = س^{٣} - جـ\,س - ٦$ وكانت $قَ(٢) = $ صفر ، أجد قيمة الثابت جـ؟

ما متوسط التغير في الاقتران $ق(س) = \sqrt{س - ٢}$ ، عندما تتغير س من $س_{١} = ١١$ إلى $س_{٢} = ١٨$؟

إذا كان $ق(س) = س^{٣} - ١٢س - ٣$؛ أجد قيمة / قيم س بحيث $قَ(س) = $ صفر؟

إذا كان $ق(س) = \int_{ب}^{٥} (٢س + ١)\,ءس = ٢٤$، أجد قيمة / قيم الثابت ب ؟

إذا كان $هـ(س) = ٤س^{٢} - ٨س + ١$:

• أ. فما فترات التزايد والتناقص للاقتران $هـ(س)$؟

• ب. ما القيم القصوى المحلية للاقتران $هـ(س)$، وما نوعها؟