ضرب المصفوفات

ضرب المصفوفات: كيف نحسب مبيعات معرض السيارات؟

تعتبر تجارة السيارات من المشاريع الرائجة في فلسطين في السنوات الأخيرة. يعرض أحد المعارض ثلاثة أنواع من السيارات.

• المصفوفة ب: أعداد السيارات التي باعها المعرض في العامين 2015م و2016م.
• المصفوفة أ: أسعار تلك السيارات (لأقرب ألف دينار) في ذلك المعرض من كل نوع.

ب = $ \⁦begin{bmatrix}⁩ ٥ & ٦ & ٧ \\ ٤ & ٦ & ٦ \⁦end{bmatrix}⁩ $

أ = $ \⁦begin{bmatrix}⁩ ٥ \\ ٦ \\ ٨ \⁦end{bmatrix}⁩ $

مجمل مبيعات عام 2015م بآلاف الدنانير (لماذا؟):

ما مجمل مبيعات العام 2016م بآلاف الدنانير؟

ما المصفوفة جـ التي تمثل مجمل المبيعات في العامين 2015م و2016م؟

متى نضرب مصفوفتين؟ وما رتبة الناتج؟

• رتبة الناتج: المصفوفة جـ من الرتبة م×ه.

مثال: متى يمكن الضرب ومتى لا يمكن؟

• شرط الضرب: عدد أعمدة المصفوفة أ يساوي عدد صفوف المصفوفة ب.

نشاط: هل أ . ب = ب . أ؟

مثال: حاصل الضرب قد يكون المصفوفة الصفرية

مثال: الضرب في المصفوفة المحايدة

ونجرّب مثالًا آخر، ونقارن أ . ب مع ب . أ.

ماذا تلاحظ؟

نشاط: الضرب يتوزّع على الجمع

تمارين: نطبّق ضرب المصفوفات

1. أجد ناتج ضرب المصفوفات فيما يأتي (إن أمكن)

• أ. $\begin{bmatrix} ٣ & ٤ & ٧ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} ١ & ٥- & ١ \\ ٥ & ٤ & ٥ \\ ٣ & ٢- & ٠ \end{bmatrix}$

• ب. $\begin{bmatrix} ٥ & ٣ & ٤- \\ ٢ & ٥ & ١ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} ٧ & ١- & ٣ \\ ٤ & ٠ & ٢- \end{bmatrix}$

2. كانت مبيعات محل تجاري من أربعة أنواع من أجهزة الحاسوب أ، ب، جـ، د في أول شهرين من عام 2018م ممثلة في المصفوفة س = $\begin{bmatrix} ١٠ & ١٧ & ١٥ & ١٢ \\ ٢٠ & ١٠ & ٢٠ & ١٦ \end{bmatrix}$، وكان ثمن الأجهزة 450 دينار، 300 دينار، 500 دينار، 400 دينار، على الترتيب. استخدم المصفوفات لإيجاد المصفوفة التي تمثل مبيعات المحل من الأجهزة في الشهرين.

3. إذا كانت أ = $\begin{bmatrix} ٣ & ٥ \\ ٢- & ٦ \end{bmatrix} \text{، ب} = \begin{bmatrix} ٧- & ٢ \\ ٣ & ٤ \end{bmatrix}$، أجد ما يلي:

• أ. 5(أ .

ب)

• جـ. أ . (5ب)

4. إذا كانت $\begin{bmatrix} ١ & ٢ \\ ٣ & ٤ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} أ \\ ب \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ٤ \\ ٦ \end{bmatrix}$ ما قيمة كل من الثابتين أ، ب؟