التكامل غير المحدود

التكامل عكس التفاضل

تُولد الشعوب حرّةً بطبيعتها، ولأسبابٍ مختلفة تطمع جماعات خارجية بمقدّراتها، فتتحول من حالة الاستقلال إلى حالة الاحتلال. لكنها حالة لا تدوم، فالشعوب تقاوم وتحارب لتستقل من جديد. ويضرب الشعب الفلسطيني أقوى الأمثلة على ذلك. الاحتلال عكس الاستقلال

• وتعتبر عملية التكامل، في إحدى صورها، عملية عكسية للتفاضل، وهذا يعني أنه يمكن معرفة عائلة الاقترانات $ق(س)$، إذا عُرِفَت $قَ(س)$ .

إذا كان $ق(س)$ اقتراناً، حيث أن مشتقته $قَ(س) = ٢س$، فإن قاعدة $ق(س)$ يمكن أن تكون: $ق_{١}(س) = س^{٢}$.

$ق_{٢}(س) = س^{٢} + $ __ .

$ق_{٣}(س) = س^{٢} + \frac{١}{٣}$ إذن الصورة العامة للاقتران هي $ق(س) = $ __ .

إذا كان $قَ(س) = ٧$، فإن قاعدة الاقتران $ق(س)$، من خلال خبرتك في التفاضل، قد تكون:

$ق(س) = ٧س - ٢$ أو $ق(س) = $ __ . من هنا جاءت أهمية تعريف عملية التكامل كعملية عكسية للتفاضل.

ما التكامل غير المحدود؟

إذا كان $قَ(س) = ٦س$.

يكون $ق(س) = \int قَ(س)\,ءس$ إذن الصورة العامة لقاعدة الاقتران $ق(س) = $ __ $+ جـ$، حيث جـ عدد حقيقي.

قاعدة الثابت وقاعدة القوة

قاعدة (١): $\int أ\,ءس = أ\,س + جـ$، حيث أ، جـ عددان حقيقيان.

قاعدة (٢): $\int س^{ن}\,ءس = \frac{س^{ن+١}}{ن + ١} + جـ$، حيث ن، جـ عددان حقيقيان، $ن \neq -١$

أجد قاعدة الاقتران $ق(س)$ الذي مشتقته $قَ(س) = \sqrt[٤]{س^{٣}}$ ، علماً بأن $ق(١) = ١$ $ق(س) = \int قَ(س)\,ءس$ $= \int \sqrt[٤]{س^{٣}}\,ءس$ لكن $ق(١) = ١$ ومنها $جـ = $ __ .

إذن قاعدة الاقتران $ق(س) = $ __ .

تكامل مجموع اقترانين وفرقهما

قاعدة (٣): إذا كان $ق(س)$ ، $هـ(س)$ إقترانين قابلين للتكامل فإن:

• أ. $\int (س^{-٣} + س^{-٥})\,ءس = \frac{س^{-٢}}{-٢} + \frac{س^{-٤}}{-٤} + جـ = \frac{-١}{٢س^{٢}} + \frac{-١}{٤س^{٤}} + جـ$

• ب. $\⁦int⁩ \⁦left(⁩\⁦frac{⁩١}{س^{٢}} + ٥\⁦right⁩)\,ءس = $ __ .

الثابت يخرج من التكامل

1. $\int (س^{٢} + س^{٢} + س^{٢})\,ءس = \frac{س^{٣}}{٣} + \frac{س^{٣}}{٣} + \frac{س^{٣}}{٣} + جـ$ $= س^{٣} + جـ$ (لماذا؟)

2. $\⁦int⁩ ٣س^{٢}\,ءس = $ __ .

ألاحظ أن: __ .

قاعدة (٤): إذا كان $ق(س)$ اقتراناً قابلاً للتكامل، وكان $ع(س) = ك \cdot ق(س)$، حيث ك عدد حقيقي، ك $\neq ٠$،، فإن:

جرّب بنفسك

1. أحسبُ كلاً من التكاملات الآتية:

أ. $\int (٣س^{٢} + ٤س - ٥)\,ءس$ ب. $\int س^{\frac{٢}{٥}}\,ءس$ جـ. $\int \sqrt[٧]{س}\,ءس$ د. $\int (٦س^{-٤} + \frac{٢}{٥س^{٢}})\,ءس$ هـ. $\int (٥٦س^{٣} + ٧س^{٢} + ٣س)\,ءس$ و. $\int (٥)^{٤٠٠٢}\,ءس$

2. إذا كان $ق(س) = \int (س^{٥} - ٤س^{٣} + ٨)\,ءس$، أجد $قَ(١)$.

3. إذا كان $\int قَ(س)\,ءس = ٣س^{٢} + ٢س + جـ$، أَجدُ $قَ(س)$.

4. إذا كان $ص = \int (س^{٢} + ٣)\,ءس$، أَجدُ $\frac{ءص}{ءس}$ .