حل متباينات خطية في متغيرين تتضمن القيمة المطلقة

Solving Linear Inequalities with Tow Variables In Absolute Value

بائع خضار متجول لا يزيد ربحه عن ٢٠ ديناراً في اليوم، ولا تزيد خسارته عن ٢٠ ديناراً في اليوم، فإذا اشترى في أحد الأيام بضاعة قيمتها ١٠٠ دينار. الحد الأعلى للمبلغ الذي سيقبضه بعد بيع البضاعة هو ...................... الحد الأدنى للمبلغ الذي سيقبضه بعد بيع البضاعة هو ...................... إذا فرضنا أن المبلغ الذي سيقبضه هو س أتحقق أن $٨٠ \le \text{س} \le ١٢٠$ بطرح ١٠٠ من طرفي المتباينة ينتج أن ...................... ما العلاقة بين $|\text{س} - ١٠٠| \le ٢٠$ و $-٢٠ \le \text{س} - ١٠٠ \le ٢٠$

قاعدة: إذا كانت $|\text{س}| < \text{أ}$ (أ عدد موجب) فإن $-\text{أ} < \text{س} < \text{أ}$ إذا كانت $|\text{س}| > \text{أ}$ (أ عدد موجب) فإن $\text{س} > \text{أ}$ أو $\text{س} < -\text{أ}$

رصدت درجات الحرارة لمدينة فلسطينية خلال فصل الشتاء، فوجد أن أصغر درجة حرارة كانت ٣ درجات مئوية تحت الصفر، وأكبر درجة حرارة كانت ١٧ مئوية. أكتب البيانات السابقة باستخدام رمز القيمة المطلقة.

الحل :

$-٣$ | س | $٧$ | س | $١٧$

أفرض أن س هي درجة الحرارة فيكون $-٣ \le \text{س} \le ١٧$ أتذكر أنه إذا كان $|\text{س} - \text{أ}| \le \text{ب}$ (ب عدد موجب) فإن $\text{أ} - \text{ب} \le \text{س} \le \text{أ} + \text{ب}$ بفرض أن $\text{أ} - \text{ب} = -٣$ و $\text{أ} + \text{ب} = ١٧$ أتحقق أن $\text{أ} = ٧$ و $\text{ب} = ١٠$ إذن تصبح المتباينة باستخدام القيمة المطلقة $|\text{س} - ٧| \le ١٠$

الحل : بعد إعادة تعريف $|س|$ و $|س + ٢|$ وتمثيلها على خط الأعداد ينتج:

• خط الأعداد الرأسي عند: $-٢$ ، $٠$
• $|س|$ : $-س$ | $-س$ | $س$
• $|س + ٢|$ : $-س - ٢$ | $س + ٢$ | $س + ٢$
• $|س| + |س + ٢|$ : $-٢س - ٢$ | $٢$ | $٢س + ٢$

• عندما $س \le -٢$ تكون $-٢س - ٢ \le ٤$

  ومنها ينتج أن $س \ge -٣$ أي أن مجموعة الحل هي $س \in [-٣ ، -٢]$

• عندما $-٢ \le س \le ٠$ تكون $٢ \le ٤$

  وهذه العبارة صحيحة أي مجموعة الحل $س \in [-٢ ، ٠]$

• عندما $س \ge ٠$ تكون $٢س + ٢ \le ٤$

  ومنها ينتج أن $س \le ١$ أي أن مجموعة الحل هي: $س \in [٠ ، ١]$

مجموعة الحل النهائية هي اتحاد المجموعات السابقة وهي $[-٣ ، ١]$ (أتحقق من ذلك).

تم قياس كتلتي شخصين في مركز للرياضة خلال شهر واحد، فإذا كان التغير في كتلة الأول لا يتعدى ٣ كغم، والتغير في كتلة الثاني لا يتعدى ٢ كغم. أكون متباينات خطيّة بمتغيرين، ثم أحلها، وأعطي أمثلةً توضح الحل.

الحل

أفرض أن التغير في كتلة الأول س فيكون $|س| \le ٣$ ومنها ينتج أن $-٣ \le س \le ٣$ أفرض أن التغير في كتلة الثاني ص فيكون $|ص| \le ٢$ ومنها ينتج أن $-٢ \le ص \le ٢$ ويمكن توضيح الحل بيانياً كما يأتي:

• ص
• س
• منطقة الحل
• قيم محور ص: $٨, ٦, ٤, ٢, -٢, -٤, -٦, -٨$
• قيم محور س: $-٨, -٦, -٤, -٢, ٢, ٤, ٦, ٨$

نشاط ٢: أحلّ المتباينة الآتية: $|س - ص| < ٣$

أستخدم خصائص القيمة المطلقة في إعادة التعريف.

أجزّئ المتباينة إلى جزأين، يمثل كل جزء متباينةً في متغيرين

أكتب المعادلة المرافقة لكل متباينة، وأمثلها بيانياً.

أتحقق أن مجموعة الحل يمكن تمثيلها كما يأتي:

• س
• ص
• منطقة الحل

1. أحلّ المتباينة الآتية: $|١٢ + ٣س| \le ٩$ وأمثلها بيانياً.

2. أحلّ المتباينة الآتية: $٢|٣ - ص| > ١٢$ وأمثلها بيانياً.

3. أحل المتباينة $|س - ٢ص| - ١ < ٥$

4. أحل المتباينة $٢ |\frac{٢}{٣} س + ٦| > ص + ٨$ وأمثلها بيانياً.

5. أكتب المتباينة التي تمثل منطقة الحل الممثلة في الشكل الآتي مستخدماً رمز القيمة المطلقة:

س ص عرض الشارع

(وإذا كانت هذه المنطقة تمثل شارعاً، أجد عرضه)

إرشاد: المسافة بين النقطة م(س$_١$، ص$_١$) والمستقيم أس + ب ص + جـ = ٠ هي

1. أضع دائرةً حول رمز الإجابة الصحيحة فيما يأتي:

1. ما قيم س التي تحقق المتباينة الآتية $|\frac{\text{س}}{٢} - ٠,٦| < ٤$ ؟

• أ. $[-٦,٨ ، ٩,٢]$
• ب. $[-٩,٨ ، -٦,٢]$
• جـ. $]-٦,٨ ، ٩,٢[$
• د. $]-٦,٨ ، ٩,٢]$

2. أكتب ما يأتي باستخدام مفهوم القيمة المطلقة «المسافة بين ثلاثة أمثال س والعدد ٢».

• أ. $|٢\text{س} - ٣|$
• ب. $|٣\text{س} - ٢|$
• جـ. $|٣\text{س} + ٢|$
• د. $٣|\text{س}| - ٢$

3. عند حلّ نظام خطّي مكوّن من ٣ معادلات، كانت مجموعة الحل هي \{($-٣$ ، $١$ ، ع)\}، وكانت إحدى المعادلات هي س - ص + ٣ع = ٨ . ما قيمة ع ؟

• أ. $٤$
• ب. $-٤$
• جـ. $\frac{١}{٣}$
• د. $١$

4. ما المعادلة التي يمكن أن يمثل بها النظام: ص = س + ٢ ، ص = س - ٢ ؟

• أ. $|\text{ص}| = |\text{س}| + ٢$
• ب. $|\text{س}| = |\text{ص}| + ٢$
• جـ. ص = $\pm |\text{س} - ٢|$
• د. $|\text{س} - \text{ص}| = ٢$

5. ما الزوج المرتب الذي يمثل حلاً للنظام الآتي: $\text{س}^٢ - \text{ص}^٢ = ٥$ ، س + ص = ٥ ؟

• أ. $(-٣ ، -٢)$
• ب. $(٣ ، ٢)$
• جـ. $(٢ ، ٣)$
• د. $(-٢ ، ٣)$

6. ما العددان الموجبان اللذان مجموع مربعيهما يساوي ٥٢ والفرق بين مربعيهما يساوي ٢٠ ؟

• أ. $٤ ، ٦$
• ب. $٨ ، ١٨$
• جـ. $-٨ ، ٦$
• د. $٨ ، ٤$

7. ما قيمة س التي تحقق المعادلة الآتية: $٨^{(٥ - \text{س})} = ١$ ؟

• أ. $-٥$
• ب. $٥$
• جـ. $\frac{١٤}{٣}$
• د. $-\frac{١٤}{٣}$

8. ما قيمة / قيم س التي تحقق المعادلة الآتية: $٢ \text{لو}_٢ \text{س} + \text{لو}_٢ ٤ = ٦$ ؟

• أ. $\pm ٤$
• ب. $-٤$
• جـ. $٤$
• د. $\sqrt{٨}$

9. إذا كان أ ، ب عددين موجبين، أ > ب وكان بعد أ عن ب يساوي ٣ وبعد أ عن معكوس ب يساوي ٧ فما قيم أ ، ب ؟

• أ. $٥ ، ٢$
• ب. $٦ ، ٤$
• جـ. $٧ ، ٣$
• د. $٤ ، ١$

10. ما حل المعادلة $٢^{٢\text{س}} - ٢^\text{س} = ٢$ ؟

• أ. $٢$
• ب. صفر
• جـ. $-١$
• د. $١$

  ٢ أجد قاعدة كثير الحدود من الدرجة الثانية والذي يمر منحناه بالنقاط $(١ ، ١) ، (-١ ، -٥) ، (٢ ، ١٠)$

٣ أحلّ المتباينة $|٣\text{س}| + |\text{س} + ١| \le ٥$

٤ نافذة على شكل مستطيل طولها يزيد عن عرضها بمقدار متر واحد، فإذا كان طول قطرها يساوي $\sqrt{٥}$ متراً. يراد تركيب ألومنيوم للنافذة بسعر المتر المربع ٦٠ ديناراً. أجد تكلفة الألومنيوم.

٥ عددان موجبان مجموع مربعيهما يساوي ٢٥، والفرق بين ثلاثة أمثال مربع الأول ومثلي مربع الثاني يساوي ٣٠. أجد العددين.

٦ أحلّ المعادلة الآتية: $٢^{٢\text{س}} - ٢^{\text{س}-٣} - ٢^{\text{س}-٢} + ٢^{-٥} = ٠$

٧ أحلّ المعادلات الآتية:

• أ. $\text{لو}_٣ (\text{س} - ٢) + \text{لو}_٣ (\text{س} - ٨) = ٣$

• ب. $\text{لو}_{٢٧} (\text{س} - ٢) + \text{لو}_٣ (\text{س} - ٢) = ٤$

٨ تمت متابعة أسعار سلعتين على مدار عام، فإذا كان الفرق بين سعري السلعتين لا يتعدى ١٠ دنانير. أكوّن نظاماً رياضياً ثم أحله.

أقيّم ذاتي أعبر بلغتي عن المفاهيم الأكثر إثارة في هذه الوحدة.

كثيرة هي الأعشاب التي تزين جبال وأودية وسهول وصحاري فلسطين ، وذلك لموقعها الجغرافي المميز وتنوع تضاريسها وتنوع مناخها وتربتها، فتتنوع الأعشاب التي تنمو فيها تبعا للعوامل السابقة ، وتعد الميرمية والزعتر والبردقوش وإكليل الجبل والريحان وغيرها من النباتات الطبية الهامة التي تنمو في فلسطين، فهي تعد علاجاً للعديد من الأمراض التي تصيب الانسان، فكرت اللجنة العلمية في إحدى المدارس في فلسطين خوض تجربة تقضي بزراعة بعض الأعشاب الطبية في حديقة المدرسة، للإفادة منها في علاج آلام بعض الطلبة وتبيع ما يزيد عن حاجتها وتستفيد من ناتج البيع في قضاء بعض حوائج المدرسة المتعددة . الجدول اللاحق يوضح المخاطر والأضرار والنجاحات المتوقعة

إدارة الزمن ........................................................................ ................................................................................... مصادر التمويل : مساهمة الطلبة ، ميزانية المدرسة ومجلس أولياء، ..................................... ................................................................................... الأدوات والمواد اللازمة للإنتاج: البذور والأشتال ، أدوات الري ، ................... المواد المنتجة: أعشاب خضراء طبية ، أكياس من أعشاب طبية مجففة كيفية تسويقها: من خلال الطلبة ، أولياء الأمور ، ...................

................................................................................... ................................................................................... ...................................................................................

تفير عائد مادي للمدرسة والاعتماد الذاتي في توفير جزء من الميزانية، تحسين بيئة المدرسة ، التركيز على منظومة القيم الإيجابية للطلبة ، ربط محتوى الوحدة التعليمية بالفكرة الريادية

................................................................................... ...................................................................................

• https://www.symbolab.com/
• https://www.mathsisfun.com/algebra/inequality-solving.html

شكل من أشكال منهج النشاط؛ يقوم الطلبة (أفراداً أو مجموعات) بسلسلة من ألوان النشاط التي يتمكنون خلالها من تحقيق أهداف ذات أهمية للقائمين بالمشروع. ويمكن تعريفه على أنه: سلسلة من النشاط الذي يقوم به الفرد أو الجماعة لتحقيق أغراض واضحة ومحددة في محيط اجتماعي برغبة ودافعية.

ميزات المشروع:

1. قد يمتد زمن تنفيذ المشروع لمدة طويلة ولا يتم دفعة واحدة.
2. ينفذه فرد أو جماعة.
3. يرمي إلى تحقيق أهداف ذات معنى للقائمين بالتنفيذ.
4. لا يقتصر على البيئة المدرسية وإنما يمتد إلى بيئة الطلبة لمنحهم فرصة التفاعل مع البيئة وفهمها.
5. يستجيب المشروع لميول الطلبة وحاجاتهم ويثير دافعيتهم ورغبتهم بالعمل.

خطوات المشروع:

1. أن يتماشى مع ميول الطلبة ويشبع حاجاتهم.
2. أن يوفر فرصة للطلبة للمرور بخبرات متنوعة.
3. أن يرتبط بواقع الطلبة ويكسر الفجوة بين المدرسة والمجتمع.
4. أن تكون المشروعات متنوعة ومترابطة وتكمل بعضها البعض ومتوازنة، لا تغلب مجالاً على الآخر.
5. أن يتلاءم المشروع مع إمكانات المدرسة وقدرات الطلبة والفئة العمرية.
6. أن يُخطط له مسبقاً.

يتم وضع الخطة تحت إشراف المعلم حيث يمكن له أن يتدخّل لتصويب أي خطأ يقع فيه الطلبة. يقتضي وضع الخطة الآتية:

1. تحديد الأهداف بشكل واضح.
2. تحديد مستلزمات تنفيذ المشروع، وطرق الحصول عليها.
3. تحديد خطوات سير المشروع.
4. تحديد الأنشطة اللازمة لتنفيذ المشروع، (شريطة أن يشترك جميع أفراد المجموعة في المشروع من خلال المناقشة والحوار وإبداء الرأي، بإشراف وتوجيه المعلم).
5. تحديد دور كل فرد في المجموعة، ودور المجموعة بشكل كلّي.

مرحلة تنفيذ المشروع فرصة لاكتساب الخبرات بالممارسة العملية، وتعدّ مرحلة ممتعة ومثيرة لما توفره من الحرية، والتخلص من قيود الصف، وشعور الطالب بذاته وقدرته على الإنجاز حيث يكون إيجابياً متفاعلاً خلّاقاً مبدعاً، ليس المهم الوصول إلى النتائج بقدر ما يكتسبه الطلبة من خبرات ومعلومات ومهارات وعادات ذات فائدة تنعكس على حياتهم العامة.

دور المعلم:

1. متابعة الطلبة وتوجيههم دون تدخّل.
2. إتاحة الفرصة للطلبة للتعلّم بالأخطاء.
3. الابتعاد عن التوتّر مما يقع فيه الطلبة من أخطاء.
4. التدخّل الذكي كلما لزم الأمر.

دور الطلبة:

1. القيام بالعمل بأنفسهم.
2. تسجيل النتائج التي يتم التوصل إليها.
3. تدوين الملاحظات التي تحتاج إلى مناقشة عامة.
4. تدوين المشكلات الطارئة (غير المتوقعة سابقاً).

1. الأهداف التي وضع المشروع من أجلها، ما تم تحقيقه، المستوى الذي تحقّق لكل هدف، العوائق في تحقيق الأهداف إن وجدت وكيفية مواجهة تلك العوائق.
2. الخطة من حيث وقتها، التعديلات التي جرت على الخطة أثناء التنفيذ، التقيّد بالوقت المحدّد للتنفيذ، ومرونة الخطة.
3. الأنشطة التي قام بها الطلبة من حيث، تنوّعها، إقبال الطلبة عليها، توافر الإمكانات اللازمة، التقيد بالوقت المحدد.
4. تجاوب الطلبة مع المشروع من حيث، الإقبال على تنفيذه بدافعيّة، التعاون في عملية التنفيذ، الشعور بالارتياح، إسهام المشروع في تنمية اتجاهات جديدة لدى الطلبة.

يقوم المعلم بكتابة تقرير تقويمي شامل عن المشروع من حيث:

• أهداف المشروع وما تحقّق منها.
• الخطة وما طرأ عليها من تعديل.
• الأنشطة التي قام بها الطلبة.
• المشكلات التي واجهت الطلبة عند التنفيذ.
• المدة التي استغرقها تنفيذ المشروع.
• الاقتراحات اللازمة لتحسين المشروع.