نظرية الأعمدة الثلاثة

افكّر وأناقش: سلم متكئ على شجرة عمودية فإذا بدأ السلم بالانزلاق و توقف عند التقائه بحافة سور، ما قياس الزاوية بين السلم و الخط الأفقي الناتج من تقاطع السور القائم مع الأرض الأفقية ؟

إذا رسم من نقطة في مستوى مستقيمان أحدهما عمودي على المستوى ، والآخر عمودي على مستقيم معلوم في المستوى ، فالمستقيم الواصل بين أية نقطة من نقط المستقيم العمودي على المستوى ونقطة تلاقي المستقيمين يكون عمودياً على المستقيم المعلوم.

م ل أ د ب هـ س

الفرضيات المعطاة في النظرية $\overleftrightarrow{\text{أ ب}} \perp \overleftrightarrow{\text{هـ د}}$ ، $\overleftrightarrow{\text{أ م}} \perp$ المستوى س

المطلوب : إثبات أن $\overleftrightarrow{\text{م ب}} \perp \overleftrightarrow{\text{هـ د}}$ حيث م أي نقطة $\in$ إلى المستقيم $\overleftrightarrow{\text{أ م}}$

البرهان : بما أن $\overleftrightarrow{\text{أ م}} \perp$ المستوى س (من المعطيات) فإنّ $\overleftrightarrow{\text{أ م}}$ يعامد أي مستقيم $\subset$ س

إذن $\overleftrightarrow{\text{أ م}} \perp \overleftrightarrow{\text{هـ د}}$

وبما أن $\overleftrightarrow{\text{أ ب}} \perp \overleftrightarrow{\text{هـ د}}$ من المعطيات

و $\overleftrightarrow{\text{هـ د}}$ يعامد كل من $\overleftrightarrow{\text{أ ب}}$ ، $\overleftrightarrow{\text{أ م}}$ إذن $\overleftrightarrow{\text{هـ د}}$ عمودي على المستوى الوحيد المار بهما و هو ل

إذن $\overleftrightarrow{\text{هـ د}}$ عمودي على كل مستقيم موجود في المستوى ل اذن $\overleftrightarrow{\text{هـ د}} \perp \overleftrightarrow{\text{ب م}}$

ملاحظة: عكس النظرية صحيح دائماً أي أنه إذا كان $\overleftrightarrow{\text{هـ د}} \perp \overleftrightarrow{\text{ب م}}$ وكان $\overleftrightarrow{\text{أ م}} \perp$ المستوى س فإنّ $\overleftrightarrow{\text{أ ب}} \perp \overleftrightarrow{\text{هـ د}}$

نشاط ١: صالة رياضية على شكل متوازي مستطيلات، ثُبت مصدر ضوئي عند نقطة تقاطع قطري سقفها، أثبت أن الشعاع الواصل من مصدر الضوء إلى نقطة منتصف خط تقاطع حائط الصالة مع أرضيتها يكون عمودياً على هذا الخطّ.

الحل : نفرض أن مصدر الضوء أ ،

وأن تقاطع حائط الصالة مع أرضيتها هو $\overleftrightarrow{\text{هـ د}}$ ،

$\overleftrightarrow{\text{ب جـ}}$ عمودي على $\overleftrightarrow{\text{هـ د}}$

البرهان: $\overleftrightarrow{\text{أ ب}}$ عمودي على ——————

وبما أن $\overleftrightarrow{\text{ب جـ}} \perp$ ——————

وبحسب نظرية الأعمدة الثلاث فإنّ $\overleftrightarrow{\text{أ جـ}} \perp$ ——————

أ ب جـ د هـ

أ ص س د هـ جـ ب م

مثال ٢ : س ، ص مستويان متقاطعان في $\overleftrightarrow{أ \text{ ب}}$ ، م نقطة خارجة عنهما ، أنزل العمودان م جـ ، م د ، عليهما ليلاقياهما على الترتيب في جـ ، د ثم أنزل من جـ العمود جـ هـ على $\overleftrightarrow{أ \text{ ب}}$ ، أثبت أن $\overleftrightarrow{د \text{ هـ}} \perp \overleftrightarrow{أ \text{ ب}}$

المطلوب: إثبات أن $\overleftrightarrow{د \text{ هـ}} \perp \overleftrightarrow{أ \text{ ب}}$

البرهان: $\overleftrightarrow{م \text{ جـ}} \perp$ على المستوى س (من المعطيات)

$\overleftrightarrow{جـ \text{ هـ}} \perp \overleftrightarrow{أ \text{ ب}}$ (من المعطيات)

إذن $\overleftrightarrow{م \text{ هـ}} \perp \overleftrightarrow{أ \text{ ب}}$ (بالاعتماد على النظرية)

وبما أن $\overleftrightarrow{م \text{ د}} \perp$ على المستوى ص

إذن $\overleftrightarrow{د \text{ هـ}} \perp \overleftrightarrow{أ \text{ ب}}$ (بالاعتماد على عكس النظرية)

1. المثلث أ ب جـ قائم الزاوية في ب ، رسم $\overline{\text{جـ د}} \perp$ المستوى أ ب جـ

   ثم وصل أ د ، نصف $\overline{\text{ب جـ}}$ في هـ ، وكذلك نصف $\overline{\text{أ د}}$ في و . أثبت أن : و هـ $\perp$ ب جـ .

د جـ هـ و ل ب أ

2. أ ب جـ مثلث رسم $\overline{\text{جـ د}}$ عمودي على المستوى أ ب جـ ، ثم وصل د أ ، ونصف $\overline{\text{أ د}}$ ، $\overline{\text{أ جـ}}$ ، $\overline{\text{ب جـ}}$ في م ، ل ، ن على الترتيب . ثم وصل م ن فكان عمودياً على ب جـ . أثبت أن الزاوية أ ب جـ قائمة .

د جـ م ل ن ب أ

3. ب جـ ، ب د قطعتان مستقيمتان ، الزاوية بينهما $٤٥^\circ$ ، أنزل من جـ العمود جـ و على ب د ، فتكوّن المثلث المتساوي الساقين ب و جـ ، ثم أقيم من جـ العمود $\overline{\text{جـ هـ}}$ على المستوى جـ ب د .

   أقيم من هـ العمود $\overline{\text{هـ و}}$ على ب د . بحيث كان طول $\overline{\text{جـ هـ}} = ٥$ سم ، وطول $\overline{\text{جـ ب}} = ٢٠$ سم . أجد طول هـ و .

هـ جـ د و ب ٥ سم ٢٠ سم $٤٥^\circ$

١ أضعُ دائرةً حول رمز الإجابة الصحيحة فيما يلي:

١ ما عدد المستويات التي تمر بمستقيمين متوازيين؟

• أ. $١$

• ب. $٢$

• جـ. $٠$

• د. عدد لا نهائي من المستويات

٢ ما العلاقة بين المستقيمين المتخالفين؟

• أ. يقعان في مستوى واحد ولا يتقاطعان.

• ب. يقعان في مستوى واحد ويتقاطعان.

• جـ. لا يقعان في مستوى واحد ولا يتقاطعان.

• د. لا يقعان في مستوى واحد ويتقاطعان.

٣ ما المسافة بين النقطة أ$(٤ ، ٣ ، ٢)$ والمستوى س ع ؟

• أ. $٤$

• ب. $٣$

• جـ. $٢$

• د. $١$

٤ ما قياس الزاوية بين المتجهين $\vec{أ} = (٢ ، ١)$، $\vec{ب} = (-١ ، ٢)$؟

• أ. $^{\circ}٩٠$

• ب. $٠$

• جـ. $١٨٠$

• د. $٤٥$

٥ ما قيمة س التي تجعل المتجهين الآتيين في نفس الاتجاه؟ $\vec{أ} = (٢ ، س)$، $\vec{ب} = (٤ ، ٦)$

• أ. $٠$

• جـ. $-٣$

٦ إذا كانت أ$(-٥ ، ٤ ، ٢)$ وكانت جـ$(٦ ، ٣ ، ٤)$ تقع في منتصف $\overline{\text{أ ب}}$ ، فما إحداثيات النقطة ب؟

• أ. $(\frac{١}{٢} ، \frac{٧}{٢} ، ٣)$

• ب. $(٧ ، ١٠ ، ١٠)$

• جـ. $(١٣ ، ١ ، ٤)$

• د. $(١٧ ، ٢ ، ٦)$

٧ ما قيمة م الموجبة التي تجعل المتجهين التاليين متعامدين ؟

$\vec{أ} = (\text{م} ، ٣ ، -١)$ ، $\vec{ب} = (\text{م} + ١ ، -٤ ، -٣\text{م})$

• أ. $٦$

• جـ. $٤$

• د. $٣$

٨ إذا كانت أ$(٤ ، ٤ ، ٠)$ ، ب$(٤ ، ٠ ، ٤)$ ، جـ$(٠ ، ٤ ، ٤)$ فما نوع المثلث أ ب جـ؟

• أ. متساوي الأضلاع

• ب. قائم الزاوية

• جـ. منفرج الزاوية

• د. مختلف الأضلاع

  ٩ إذا كان $|\vec{أ} + \vec{ب}| = |\vec{أ}| + |\vec{ب}|$ ، ($\vec{أ}$ ، $\vec{ب}$ متجهين غير صفريين) فما العبارة الصائبة؟

• أ. $\vec{أ}$ و $\vec{ب}$ متعامدين

• ب. $\vec{أ}$ و $\vec{ب}$ في نفس الاتجاه

• جـ. $\vec{أ}$ و $\vec{ب}$ عكس الاتجاه

• د. $\vec{أ}$ و $\vec{ب}$ متجها وحدة

١٠ أ ب جـ مثلث متساوي الأضلاع طول كل ضلع ٦ سم ما قيمة $(٢\ \vec{أجـ}) . (٣\ \vec{أب})$؟

• أ. ١٨

• ب. ٣٦

• جـ. ٣٠

• د. ١٠٨

٢ ما قياس الزوايا الاتجاهية للمتجه $\vec{أ} = (١ ، ٠ ، -١)$ على الترتيب؟

٣ إذا كان $\vec{أ} = (س ، \sqrt{٧٥})$ ، $\vec{ب} = (س ، ٠)$ ، $س > ٠$ ، أجد قيم س بحيث أن الزاوية المحصورة بين $\vec{أ}$ و $\vec{ب}$ تساوي $٦٠^\circ$.

٤ إذا كان $\vec{أ} = (-١ ، -٢)$ وكان $\vec{ب} = (م ، -١)$ ، أجد م في كل من الحالات الآتية؟

أ $\vec{أ}$ يوازي $\vec{ب}$

جـ قياس الزاوية بين $\vec{أ}$ و $\vec{ب}$ تساوي $٤٥^\circ$

٥ إذا كانت الزاوية المحصورة بين المتجهين $\vec{أ}$ ، $\vec{ب}$ تساوي $٦٠^\circ$ وكان $|\vec{أ}| = ٤$ ، $|\vec{ب}| = ١٠$

أ $\vec{أ} . \vec{ب}$

ب $|\vec{أ} + \vec{ب}|$

جـ $|\vec{أ} - \vec{ب}|$

٦ إذا كانت $\vec{أ} = (٢ ، ٢)$ ، $\vec{ب} = (-٢ ، ٥)$ ، $\vec{جـ} = (٧ ، -٥)$ ، $\vec{د} = (-٣ ، ٨)$ متجهات قياسية، وكانت $\vec{م} = ٢\vec{أ} + ٣\vec{ب} - \vec{جـ}$ أثبت أن $\vec{م} \mathbin{/\mkern-5mu/} \vec{د}$

٧ باستخدام المتجهات أثبت أن المثلث الذي رؤوسه أ$(٧ ، ١ ، ٣)$ ، ب$(٥ ، ٣ ، ٤)$ ، جـ$(٣ ، ٥ ، ٣)$ هو مثلث متساوي الساقين.

٨ إذا كان $\vec{أ} = (١ ، ٦ ، ٢)$ ، $\vec{ب} = (ك ، ٣ ، م)$ ، $\vec{جـ} = (ك ، م ، ك + م)$ وكان $\vec{أ} \mathbin{/\mkern-5mu/} \vec{ب}$ أجد:

أ $٢ |\vec{جـ}|^٢ - ٤\ \vec{ب} . \vec{ب}$

ب $(٤\ \vec{ب} . \vec{جـ})\ \vec{أ}$

٩ $\vec{أ}$ متجه في الفراغ طوله $٨\sqrt{٣}$ ويصنع زوايا متساوية في القياس مع الاتجاهات الموجبة للمحاور الإحداثية أكتب $\vec{أ}$ بدلالة متجهات الوحدة الأساسية .

١٠ أثبت أن $|\vec{أ} \times \vec{ب}|^٢ + (\vec{أ} . \vec{ب})^٢ = |\vec{أ}|^٢ |\vec{ب}|^٢$.

أقيم ذاتي

أعبر بلغتي عن كيفية توظيف المفاهيم التي تعلمتها في هذه الوحدة في حياتي العملية بما لا يزيد عن ٤ أسطر.

المحتوى الرياضي: متجهات، توازي متجهات تعامد متجهات ضرب متجهات جمع متجهات مستويات ونقاط ومستقيمات والعلاقة بينها في الفراغ

الفكرة الريادية: توظيف ما تم تعلمه في وحدة المتجهات والهندسة الفراغية في فتح مشغل نجارة لانتاج طاولات معدة لاستخدام الحاسوب .

نشأة واختيار الفكرة: حاجة السوق المحلي لمثل هذه الطاولات حيث تستخدم لأغراض مكتبية والحاسوب.

أولاً: يقوم الطلبة بتحديد الازمات والمخاطر المتوقعة من تنفيذ هذه الفكرة وتحديد مصادر التمويل والوسائل والأدوات اللازمة وكيفية تسويقها بالمناقشة والحوار.

مصادر التمويل: المجتمع المحلي، ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

محل فارغ مجهز بالكهرباء، ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

عرض الفكرة من قبل الطلبة على صفحات التواصل الاجتماعي لكسب الرأي العام للفكرة، ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

ثانياً: توزيع طلبة الصف الى مجموعات، وتعيين منسق لكل مجموعة، يقوم المنسق بإطلاع منسقي المجموعات الأخرى على مراحل العمل داخل المجموعة وتفصيلاته، والذين بدورهم يقومون بنقلها لأفراد مجموعاتهم. المجموعة الأولى: تعمل على البحث على مكان للمشغل عن طريق التواصل مع المجتمع المحلي. يقوم منسق المجموعة بعرض أهم النتائج التي توصلت اليها المجموعة أمام الطلبة، ويتم مناقشة النتائج بإشراف المعلم.

المجموعة الثانية: تعمل على البحث عن ممول للماكنات والمعدات عن طريق التواصل مع المجتمع المحلي. يقوم منسق المجموعة بعرض أهم النتائج التي توصلت اليها المجموعة أمام الطلبة، ويتم مناقشة النتائج بإشراف المعلم.

المجموعة الثالثة: تقوم هذه المجموعة بالبحث عبر الانترنت عن طريقة صنع الطاولات والنماذج المستخدمة ومناقشتها والعمل على تطويرها وصنع نماذج جديدة وكذلك البحث عن برامج حاسوبية تساعد في التصميم والرجوع الى الكتاب المقرر والبحث عن القوانين والنظريات التي يمكن تطبيقها والاستفادة منها. يقوم منسق المجموعة بعرض أهم النتائج التي توصلت اليها المجموعة أمام الطلبة، ويتم مناقشة النتائج بإشراف المعلم.

المجموعة الرابعة: هي مجموعة استشارية بحيث تقوم بالاجتماع مع كل مجموعة ونقل الافكار بين المجموعات وتقديم النصائح والاقتراحات كما تقوم بزيارة فنيين مختصين واخذ الخبرة منهم ونقلها الى بقية المجموعات. يقوم منسق المجموعة بعرض أهم النتائج التي توصلت اليها المجموعة أمام الطلبة، ويتم مناقشة النتائج بإشراف المعلم.

النتائج: يقوم منسقو المجموعات بعرض أهم النتائج التي توصلوا لها بمشاركة بقية أفراد المجموعات، ومنها:

• الاستفادة من الرياضيات في معرفة مدى اسهامها في الحياة كعلم وفن وثقافة وتطوير الصناعات.

• https://www.mathsisfun.com/algebra/vectors.html
• https://mathinsight.org/vector_introduction