نظرية بلزانو

هل يمر المؤشر بكل القيم بينهما؟

عند ملاحظة ميزان الحرارة وتغير درجات الحرارة عليه، هل يصنع تغيرها منحنى متصلاً أم منفصلاً؟ إذا كانت درجة الحرارة في يوم ما -٣°، وبعد عدة أيام ارتفعت لتصل إلى درجتين مئويتين، هل يمكن الوصول إلى هذه الدرجة دون أن يمر المؤشر على درجة الحرارة صفر مئوي؟ إذا كانت درجة الحرارة في يوم ما -٣°، وبعد عدة أيام ارتفعت لتصل إلى درجتين مئويتين، هل يمكن الوصول إلى هذه الدرجة دون أن يمر المؤشر على درجة الحرارة صفر مئوي؟

• منحنى ق(س) يقطع محور السينات في نقطة واحدة على الأقل.
• العدد جـ هو أحد حلول (جذور) المعادلة ق(س) = ٠ ، أو أحد أصفار الاقتران ق(س).

ماذا لو لم تتحقق شروط بلزانو؟

هل عدم توفر شروط نظرية بلزانو يعني عدم وجود أصفار للاقتران ق(س)؟

نطبّق نظرية بلزانو على اقتران

1. نتحقق من الاتصال: نبرهن أن الاقتران متصل على الفترة كلها.
2. نحسب القيمتين: نحسب قيمة الاقتران عند طرفي الفترة.
3. نتأكد من الإشارتين: نتأكد أن حاصل ضرب القيمتين سالب.
4. نستنتج: يوجد صفر واحد على الأقل داخل الفترة.

ويمكن تحديد قيمة جـ نفسها في المثال التالي.

طريقة التنصيف: نقترب من الصفر

وبالطريقة نفسها نقرّب جذراً أصمّ.

نتدرب على بلزانو

إذا كان ق(س) اقتراناً متصلاً على [-٣ ، ٥] ، وكان ق(-٣) = ٢ ، ق(-١) = -١ ، ق(٠) = ٠ ، ق(٢) = -٣ ، ق(٤) = -١ ، ق(٥) = ١٠ ما هو أقل عدد من الأصفار التي يمكن التأكد من وجودها للاقتران ق(س) في [-٣ ، ٥].

إذا كان ق(س) = س^٣^ - ٢س^٢^ + ٢ ، س ∈ [-٢ ، ٤]، أستخدم نظرية بلزانو لإيجاد التقريب الثالث لصفر ق(س).

إذا كان ق(س) = { |س + ٢| ، ١ ≤ س < ٢ ؛ ٨ - س^٢^ ، ٢ ≤ س ≤ ٥ } أبين أن ق(س) يحقق نظرية بلزانو في [١ ، ٥] ثم أجد قيمة جـ التي تحددها النظرية.

إذا كان ق(س) = س^٣^ + س^٢^ - ٢س + ٥ ، س ∈ [-١ ، ٣] ، أستخدم نظرية بلزانو لإثبات أن العدد ١٣ ينتمي لمدى الاقتران ق(س).

إذا كان ق(س) اقتراناً متصلاً على [١ ، ٧] ويقع منحناه في الربع الأول من المستوى الديكارتي، وكان هـ(س) = (س^٢^ - ٥) × ق(س)، س ∈ [١ ، ٧] أثبت أن للاقتران هـ(س) صفراً في ]١ ، ٧[ ، ثم أجد التقريب الثالث لصفر هذا الاقتران.

تمارين عامة على الوحدة

إذا كانت $\lim_{س \to ٢}$ (٣ق(س) - ٢س) = ٢، ما قيمة $\lim_{س \to ٢}$ ق(س)؟ أ) -٢

• ب. -١

• جـ. ١

• د. ٢

إذا كان ق(-٢) = ٣ ، $\lim_{س \to -٢}$ ق(س) = -٥ ، ما قيمة $\lim_{س \to ١}$ ٣ق(س - ٣)؟ أ) -١٥

• ب. -٦

• جـ. ٣

• د. ٩

إذا كان ق(س) = س^٢^ - ١، هـ(س) = $\frac{١}{س - ١}$ ، ما قيمة $\lim_{س \to ١}$ (ق × هـ)(س)؟ أ) كمية غير معرفة

• جـ. ٢

• د. ٥

ما قيمة $\lim_{س \to ٠} \frac{جا\frac{\pi}{٢}}{\pi}$ ؟ أ) -١

• ب. π

• جـ. $\frac{١}{\pi}$

• د. ١

ما قيمة $\lim_{س \to -\infty} \frac{٣س^{٣} - ٥}{س^{٣} + ٣}$ ؟ أ) -∞

• ب. ٣

• جـ. ٥

• د. ∞

إذا كان ق(س) اقتراناً يحقق شروط بلزانو على [٣ ، ٧]، وكان ق(٣) = -١، ق(٥) = -٥ ، فما التقريب الثاني لصفر هذا الاقتران؟ أ) ٧

• ب. ٦

• د. ٤

إذا كان ق(س) = [س - $\frac{١}{٤}$] فأي قيمة من قيم س الآتية يكون ق(س) منفصلاً عندها؟ أ) ٦

• ب. ٤

• جـ. $\frac{٥}{٤}$

• د. $\frac{٥}{٨}$

إذا كان ق(س) = { $\frac{س^{٢} - (٣ - ٢ب)س - ٦ب}{س - ٣}$ ، س ≠ ٣ ؛ ١١ ، س = ٣ } اقتراناً متصلاً على ح أجد قيمة/ قيم ب.

إذا كانت $\lim_{س \to -\infty} \frac{(س^{٢} + ١)^{٢}}{أس^{٢}(س + ١)^{ن}}$ = -٢ ، أجد قيم كل من أ ، ن .

إذا كان ق(س) ، هـ(س) اقترانين كثيري حدود، وكان ق(١) > هـ(١) ، ق(٢) < هـ(٢) أثبت باستخدام بلزانو أنه يوجد جـ ∈ ]١ ، ٢[ بحيث ق(جـ) = هـ(جـ).

أستخدم نظرية بلزانو لإيجاد التقريب الثالث للعدد $\sqrt[٣]{٧}$