حل نظام من معادلتين إحداهما خطية والأخرى تربيعية

نشاط ١ : الحرم الإبراهيمي مكان مقدس للمسلمين، وهو مبني من حجارة كبيرة (أنظر الشكل المجاور) فإذا كان طول أحد الحجارة يزيد عن عرضه بمقدار ٦ متر تقريباً، وطول قطره يساوي $\sqrt{٥٧}$ متراً تقريباً.

أفرض أن طول الحجر س وعرضه ص

$س = ص + ٦$ (لماذا؟)

$س^٢ + ص^٢ = ٥٧$ (لماذا؟)

باستخدام القانون العام لحل المعادلة التربيعية، والآلة الحاسبة، أتحقق أن طوله يساوي ٧,٤م تقريباً، وعرضه يساوي ١,٤م تقريباً.

مثال ١ : يعرض أحد محلات بيع الأجهزة الكهربائية عدة مقاسات من شاشات ⁦LCD⁩ فإذا اشترى شخص شاشةً من مقاس ٥٠ بوصة (إنش) «المقاس يمثل طول قطر الشاشة» أجد أبعاد الشاشة إذا كان طولها يزيد عن عرضها بمقدار ١٠ بوصة.

الحل : نفرض أن الطول س والعرض ص

ع س ص

ومنها ينتج أن $ص^٢ + ١٠ ص - ١٢٠٠ = ٠$

ومنها $ص = - ٤٠$ مرفوضة (لماذا؟)

أو $ص = ٣٠$ بوصة = عرض الشاشة و $س = ٣٠ + ١٠ = ٤٠$ بوصة = طول الشاشة.

س ص $(٠ ، ٠)$

نشاط ٢: شارعان أحدهما على شكل منحنى معادلته $٣س^٢ + ٤ص^٢ = ٢٨$ والآخر مستقيم معادلته $٢ص = س + ٢$ يلتقيان في مفترق طرق. أجد إحداثيي نقطة التقاطع. على اعتبار أن مركز الشارع المنحني هو $(٠ ، ٠)$

(انظر الشكل المجاور) (الوحدات بالكيلومتر)

$٣ س^٢ + ٤ ص^٢ = ٢٨$ $٢ ص = س + ٢ \text{ ينتج أن } س = ٢ ص - ٢$ $٣ (٢ ص - ٢)^٢ + ٤ ص^٢ = ٢٨$ $\text{ومنها ينتج أن } ٢ ص^٢ - ٣ ص - ٢ = ٠$ $(٢ ص + ١) (ص - ٢) = ٠$ أجد قيم ص و س ثم أتحقق أن نقطة التقاطع هي $(٢ ، ٢)$

مثلث رؤوسه أ، ب، جـ مرسوم داخله دائرة، بحيث تمس أضلاعه من الداخل، فإذا كانت أ$(\frac{١}{٢} ، ٤)$ ، ب $(٨ ، -١)$ ومعادلة الدائرة هي $س^٢ + ص^٢ = ١٣$ ميل المستقيم أب = .......................... أتحقق أن معادلة المستقيم أب هي $ص = \frac{-٢س + ١٣}{٣}$ أعوض قيمة ص في معادلة الدائرة، ثم أتحقق أن نقطة التماس هي $(٢ ، ٣)$.

1. أحلّ النظام الآتي: $س + ص = ٥$ ، $٣ س^٢ - ٢ ص^٢ = ١٩$

2. سجادة مستطيلة الشكل طولها يزيد عن عرضها بمقدار متر واحد، وقطرها يساوي $\sqrt{١٣}$ متراً، أجد أطوال أبعادها.

3. أجد نقطة/ نقط تقاطع المستقيم الذي ميله يساوي $٣$ ويمر بالنقطة $(٢ ، ٥)$ مع المنحنى الذي معادلته $٢ ص^٢ - ٣ س^٢ = ٥$

4. أجد نقطة تقاطع المستقيم $٢ س + ٣ ص = ٦$ مع المنحنى $(٢ س + ص)^٢ + (٢ س - ص)^٢ = ٨$

5. طاولة اجتماعات بيضاوية الشكل محاطة بإطار معدني معادلته $١٦ س^٢ + ٢٥ ص^٢ = ٦٤$ (الوحدات بالأمتار). مرسوم على سطحها خطان مستقيمان متقاطعان في مركز الطاولة $(٠ ، ٠)$ ومعادلتهما هي:

$ص = \mp ٤\sqrt{٣} س$ ، أجد نقاط تقاطع المستقيمين مع إطار هذه الطاولة.

6. أجد نقاط تقاطع منحنى الدائرة التي مركزها $(٣ ، ٢)$ وطول نصف قطرها $\sqrt{٦١}$ مع المستقيم المار بنقطة الأصل والنقطة $(١ ، ١)$.