المتجهات في المستوى

نشاط ١ : مهند شاب يهوى الرياضة، فهو يدرك أنّ للرياضة فوائدَ صحيّةً ونفسية كثيرة وممارستها تجعل الإنسان في نشاط دائم ، وفي أحد السباقات للجري ركض مهند مسافة ٨ كم باتجاه الشرق، ثم مسافة ٦ كم باتجاه الشمال ، ثم مسافة ٤ كم باتجاه الشرق، ثم مسافة ٣ كم باتجاه الشمال، وقد استغرق مدة من الزمن قدرها ٣ ساعات. (انظر الشكل)

أ ب جـ د هـ ٨ ٦ ٤ ٣

المسافة التي قطعها مهند من أ إلى ب = ٨ كم باتجاه الشرق

أكمل الفراغات الآتية:

المسافة التي قطعها من ب إلى جـ = __ كم باتجاه __

المسافة التي قطعها من جـ إلى د = __ كم باتجاه __

المسافة التي قطعها من د إلى هـ = __ كم باتجاه __

المسافة الكلية المقطوعة = __ والإزاحة هي __

هل أ ، جـ ، هـ تقع على استقامة واحدة؟ فسّر إجابتك.

قياس الزاوية المحصورة بين القطعة المستقيمة أهـ والقطعة المستقيمة أب = ......

ألاحظ أن الزمن الذي استغرقه في السباق يساوي ٣ ساعات، فهل للزمن اتجاه ؟

أتذكّرُ أنّ: المسافة المقطوعة هي مجموع المسافات التي يسيرها الجسم من نقطة البداية إلى نقطة النهاية أمّا الإزاحة فهي كمية متجهه تحدد بعنصرين هما:

١ طول القطعة المستقيمة الواصلة بين نقطة البداية ونقطة النهاية.

٢ الزاوية التي تصنعها القطعة المستقيمة مع الاتجاه الموجب لمحور السينات (اتجاه الحركة).

في الشكل الآتي المسافة المقطوعة هي طول المسار باللون الأحمر، أما الإزاحة فهي تحدد بطول القطعة أب والتي تصنع مع الاتجاه الموجب لمحور السينات زاوية قياسها هـ واتجاه الحركة هو من أ إلى ب.

• أ
• ب
• الإزاحة
• المسافة
• هـ

أتعلم: تقسم الكميات إلى نوعين كميات متجهة تتحدد بالمقدار والاتجاه، وكميات قياسية (غير متجهة) تحدد بالمقدار فقط.

نشاط ٢: أصنف الكميات الآتية إلى كميات قياسية أو كميات متجهة: الوزن، الكتلة، الزمن، السرعة، درجة الحرارة، القوة، الشغل، الكثافة.

المتجه يحدد بالمقدار والاتجاه ويمكن تمثيله هندسيا في المستوى بقطعة مستقيمة موجهة اتجاهها من نقطة البداية إلى نقطة النهاية وطولها يمثل مقدار المتجه، ويرمز للمتجه بالرمز $\vec{\text{أ ب}}$ ، بحيث تكون نقطة البداية هي $\text{أ}(\text{أ}_١ ، \text{أ}_٢)$ ونقطة النهاية هي $\text{ب}(\text{ب}_١ ، \text{ب}_٢)$ أو بالرمز $\vec{\text{م}}$ ، ويرمز لطول المتجه بالرمز $|\vec{\text{أ ب}}|$.

ولتسهيل تمثيل المتجهات وإجراء العمليات عليها فإنّنا نمثل المتجه في ما يسمى الوضع القياسي، بحيث نجعل نقطة البداية $(٠ ، ٠)$ ونقطة النهاية $\text{جـ}(\text{ب}_١ - \text{أ}_١ ، \text{ب}_٢ - \text{أ}_٢)$ ويكون $|\vec{\text{أ ب}}| = \sqrt{(\text{ب}_١ - \text{أ}_١)^٢ + (\text{ب}_٢ - \text{أ}_٢)^٢}$

نشاط ٣: في الشكل المجاور إحداثيات نقطة البداية هي \\\\\\

إحداثيات نقطة النهاية هي \\\\\\

طول المتجه $\vec{أب}$ = \\\\\\

قياس الزاوية التي يصنعها المتجه $\vec{أب}$ مع الاتجاه الموجب لمحور السينات = ـــــــــــــــــــــ

أمثل المتجه $\vec{أب}$ في الوضع القياسي

تعريف: يتساوى المتجهان $\vec{م_١}$ ، $\vec{م_٢}$ إذا كان لهما نفس المقدار ونفس الاتجاه أي أنهما يمثلان بنفس الزوج المرتب في الوضع القياسي.

1. المتجه الصفري: وهو المتجه الذي طوله صفر وحدة واتجاهه غير معين ويرمز له بالرمز $\vec{٠}$.
2. متجه الوحدة: وهو المتجه الذي طوله وحدة واحدة.
3. متجها الوحدة الأساسيان: $\vec{و_١}$ وهو متجه الوحدة السيني، ويمثل بالزوج المرتب $(١ ، ٠)$.

   $\vec{و_٢}$ وهو متجه الوحدة الصادي، ويمثل بالزوج المرتب $(٠ ، ١)$.

إذا كانت أ $(-٥ ، ٢)$ ، ب $(١ ، ٣)$ ، جـ $(١ ، ٤)$

1. أمثّل $\vec{\text{أ ب}}$ في الوضع القياسي.
2. أكتب $\vec{\text{أ ب}}$ بدلالة متجهي الوحدة.
3. أجد قياس الزاوية التي يصنعها المتجه $\vec{\text{أ ب}}$ مع الاتجاه الموجب لمحور السينات.
4. أجد إحداثيات النقطة د بحيث إنّ $\vec{\text{أ ب}} = \vec{\text{د جـ}}$ .

الحل

1. الزوج المرتب الذي يمثل $\vec{\text{أ ب}} = \text{ب} - \text{أ} = (١ ، ٣) - (-٥ ، ٢) = (٦ ، ١)$
2. $\vec{\text{أ ب}} = ٦ \ \vec{و}_١ + \vec{و}_٢$
3. $\text{ظا} هـ = \frac{\text{ص}}{\text{س}} = \frac{١}{٦}$

4. بما أنّ $\vec{\text{أ ب}} = \vec{\text{د جـ}}$

   إذن: $\text{ب} - \text{أ} = \text{جـ} - \text{د}$ $(٦ ، ١) = (١ ، ٤) - \text{د}$ ومنها د $(-٥ ، ٣)$

1. إذا كانت أ $(-٢ ، ٣)$ ، ب $(٢ ، ٥)$ ، جـ $(٤ ، ٣)$ ثلاث نقاط في المستوى

• أ. أمثل المتجهين $\vec{\text{أ ب}}$ ، $\vec{\text{أ جـ}}$ بدلالة متجهي الوحدة الأساسيين
• ب. أجد طول كل من: $\vec{\text{أ ب}}$ ، $\vec{\text{أ جـ}}$ .

2. إذا كان $\vec{م_١} = \vec{م_٢}$ وكان $\vec{م_١} = (٢س + ٣ ، ص - ٢)$ ، $\vec{م_٢} = (ص ، س + ٣)$

   أجد قيم س و ص.

3. تحركت سيارة من النقطة أ إلى النقطة ب حسب المسار الموضح في الشكل الآتي: أجد:

• أ. المسافة الكلية المقطوعة.
• ب. مقدار واتجاه إزاحة السيارة .

أ | ٢٠ م | ١٤ م | ٢٠ م | ب

4. أجد قياس الزاوية التي يصنعها كل من المتجهين $\vec{أ} = (-٣ ، ٣)$ ، $\vec{ب} = (٢\sqrt{٣} ، ٢)$ مع الاتجاه الموجب لمحور السينات، ثم أجد قياس الزاوية المحصورة بينهما.

5. تحرك جسم من النقطة أ$(-٣ ، ٥)$ إلى النقطة ب$(٠ ، ٨)$ ثم تحرك إلى النقطة جـ$(س ، ٢)$

   حيث $س > ٠$ ، فإذا كانت المسافة الكلية التي قطعها تساوي $٩\sqrt{٢}$ (وحدة مسافة)، أجد إزاحة هذا الجسم مقدارا واتجاها.