حل معادلات أسية ولوغاريتمية

نشاط ١ : من خلال معلوماتك في الكيمياء، ماذا نعني بالمول؟ وما عدد أفوجادرو؟ وما كتلة الإلكترون؟ نلاحظ أن الكميات الكبيرة جداً، والكميات الصغيرة جداً تكتب بالصورة العلمية واستخدام الأسس (لماذا؟)

مثال ١ : أحل المعادلة الأُسّيّة الآتية : $٤^{٣\text{س}} = ٨^{(\text{س}+١)}$

الحل : $٢^{٦\text{س}} = ٢^{٣\text{س}+٣}$ (لماذا؟)

ومنها $٦\text{س} = ٣\text{س} + ٣$

وينتج أن $\text{س} = ١$ (أتحقق من صحة النتيجة)

مثال ٢ : يتناقص سعر سيارة جديدة في أول ٥ سنوات بمعدل ٢٠٪ سنوياً، فإذا اشترى شخص سيارة قبل عدة سنوات بسعر ٢٠٠٠٠ دينار، وباعها في العام ٢٠١٦ بسعر ١٠٢٤٠ ديناراً.

١ ما هي سنة إنتاج السيارة؟

٢ متى يصبح سعرها يساوي ٤٠,٩٦٪ من سعرها الأصلي؟

الحل : ١ سعر السيارة بعد ن من السنوات س = $٢٠٠٠٠ (٠,٨)^\text{ن}$ (لماذا؟)

إذن قيمة ن = ٣ سنوات، أي أن السيارة تم إنتاجها عام ٢٠١٣

٢ سعر السيارة = $٠,٤٠٩٦ \times ٢٠٠٠٠ = ٨١٩٢$ ديناراً.

إذن $٨١٩٢ = ٢٠٠٠٠ \times (٠,٨)^\text{ن}$ ، $(٠,٨)^\text{ن} = (٠,٨)^٤$

ن = ٤ أي في العام ٢٠١٧

نشاط ٢ : أحل المعادلة $٩^{٢\text{س}-٦} - ١ = ٠$

إذن $٢\text{س} - ٦ = ٠$ (لماذا؟)

نشاط ٣ : أحل المعادلة $\frac{٨ \times ١٠^{٣\text{س}}}{٢ \times ١٠^{٥\text{س}}} = ٤ \times ١٠^٤$

أختصر وأتحقق من أن: $١٠^{-٢\text{س}} = ١٠^٤$ وأن $\text{س} = -٢$

الحل : $ق(ب) = ٤٨$ $٤^ب - ٢^{(ب + ١)} = ٤٨$ ومنها $٤^ب - ٢^{(ب + ١)} - ٤٨ = ٠$ ومنها $(٢^ب)^٢ - ٢ \times ٢^ب - ٤٨ = ٠$ $(٢^ب - ٨)(٢^ب + ٦) = ٠$ ومنها ينتج أن $ب = ٣$ (لماذا؟)

أناقش : أقارن بين حل المعادلة $٥^س = ٢٥$ والمعادلة $٥^س = ١٠$

حل المعادلات الأُسّيّة بالطرق العادية ليس سهلاً دائماً؛ لذلك نلجأ إلى استخدام اللوغاريتمات لحل المعادلات الأُسّيّة، ففي النشاط السابق لحل المعادلة $٥^س = ١٠$ نأخذ اللوغاريتم العادي (الأساس ١٠) للطرفين فينتج أن: $\text{لو}(٥^س) = \text{لو}(١٠) = ١$ (لماذا؟) ومنها ينتج أن $س\ \text{لو} ٥ = ١$ (لماذا؟) ومنها $س = \frac{١}{\text{لو} ٥} \approx ١,٤٣$

أحل المعادلة الآتية: $\text{لو}_٣ \text{س} + \text{لو}_٣ (\text{س} + ٦) = ٣$

الحل

ومنها ينتج أن $\text{س}^٢ + ٦\text{س} - ٢٧ = ٠$ (لماذا؟)

ومنها ينتج أن $\text{س} = -٩$ (مرفوض. لماذا؟) أو $\text{س} = ٣$ (مقبول)

نشاط ٤ : أحلّ المعادلة الآتية: $٢(\text{لو}_٢ \text{س})^٢ - ٥ \text{ لو}_٢ \text{س} - ٣ = ٠$

إرشاد: أفرض ص = $\text{لو}_٢ \text{س}$ ثم أحل المعادلة الناتجة

وأتحقق من أن $\text{س} = \frac{١}{\sqrt{٢}}$ أو $\text{س} = ٨$

نشاط ٥ : أحلّ المعادلة الآتية: $٦^{٣\text{س}} = ٢٠$ وأتحقق من أن $\text{س} = \frac{\text{لو } ٢٠}{٣ \text{ لو } ٦} \approx ٠,٥٦$

أحلّ المعادلة الآتية: $\text{لو } ٥\text{س} - \text{لو}(\text{س} - ١) = \text{لو } \text{س}$

ومنها ينتج أن $\frac{٥\text{س}}{\text{س} - ١} = \text{س}$

ومنها ينتج أن $\text{س}^٢ - \text{س} = ٥\text{س}$

ومنها ينتج أن $\text{س} = ٠$ (مرفوض. لماذا؟) أو $\text{س} = ٦$ (مقبول)

١ أحلّ كلاً من المعادلتين الآتيتين:

• أ. $٤^{\text{س}^٢} - ٨^\text{س} = ٠$

• ب. $\text{هـ}^{٢\text{س}} - ٥ \times \text{هـ}^\text{س} + ٦ = ٠$ ، حيث هـ العدد النيبيري

• جـ. $(\text{س}^\text{هـ} + \text{س}^{-\text{هـ}})^٢ - (\text{س}^\text{هـ} - \text{س}^{-\text{هـ}})^٢ = ٢^\text{س}$

٢ أحلّ المعادلة الآتية: $٣^{(٢\text{س}+١)} - ٣^{(\text{س}+١)} - ٣^{(\text{س}+٤)} + ٨١ = ٠$

٤ أحلّ المعادلتين الآتيتين:

1. $٢ \text{ لو}_٢ \text{س} + \text{لو}_٢ ١٦ = ٢$
2. $(\text{لو س})^٢ = \text{لو س}^٢$

٥ إذا كان ق(س) = $\text{لو}_٢ \text{س}^٣$ ، وكان هـ(س) = $٥ - \text{لو}_٢ \text{س}^٢$ أجد نقطة تقاطع المنحنيين.

٦ إذا كانت أسعار الأراضي في منطقة معينة تعطى بالعلاقة ص = $أ \times ٢^{(٠,٢\text{ ن})}$ حيث ص هو سعر الدونم بعد ن سنة، أ هو سعر الأرض الآن.

فإذا اشترى شخص هذا العام أرضاً مساحتها ١ دونم بسعر ١٥٠٠٠ دينار فبعد كم سنة يصبح سعرها ٦٠٠٠٠ دينار؟

٧ أحل النظام $٢^\text{س} + ٢^\text{ص} = ٦$ $٤^{\text{س}+١} - ٤^{\text{ص}+١} = -٤٨$

٨ أثبت صحة ما يأتي :

• أ. $\text{لو}_ب أ = \text{لو}_ج أ \times \text{لو}_ب ج$ ، حيث $أ ، ج > ٠ ، ج \neq ١$

• ب. $\text{لو}_ب أ = \frac{١}{\text{لو}_أ ب}$

• جـ. $\text{لو}_{ب^٢} أ^٢ = \text{لو}_ب أ$