حل نظام من معادلتين تربيعيتين

Solving of System with Two Quadratic Equations with Two Variables

نشاط ١ : الشكل المجاور يمثل مخططاً لهلال، معادلة القوس الداخلي هي $\text{س}^٢ + \text{ص}^٢ = ٤$ ومعادلة القوس الخارجي هي $(\text{س} - ١)^٢ + \text{ص}^٢ = ٥$ أتحقق أن نقطتي التقاطع هما $(٠ ، ٢) ، (٠ ، -٢)$

ص س ٢ ١ ١- ٢-

مثال ١ : بركة سباحة سطحها بيضاوي يحيط بها ممر صغير معادلته $٢\text{س}^٢ + ٣\text{ص}^٢ = ٦٩$ فإذا قسمت إلى ثلاث مناطق (منطقتي أ و جـ للأطفال، والمنطقة ب للكبار) فإذا حددت المناطق بحبال تقع على منحنى العلاقة $\text{س}^٢ - \text{ص}^٢ = ١٢$ كما في الشكل المجاور. أجد نقط تقاطع الحبال مع أطراف البركة على اعتبار أن مركز البركة هو نقطة الأصل.

الحل : لإيجاد نقط تقاطع الحبال مع أطراف البركة نحل النظام: $٢\text{س}^٢ + ٣\text{ص}^٢ = ٦٩ \quad ... (١)$ $\text{س}^٢ - \text{ص}^٢ = ١٢ \quad ... (٢)$ $٣\text{س}^٢ - ٣\text{ص}^٢ = ٣٦ \quad (لماذا؟)$ $٥\text{س}^٢ = ١٠٥$ ومنها $\text{س} = \pm \sqrt{٢١}$ $\therefore \text{ص}^٢ = ٢١ - ١٢ = ٩$ ومنها $\text{ص} = \pm ٣$ $\therefore$ نقط التقاطع هي $(\pm \sqrt{٢١} ، \pm ٣)$

أ ب جـ

أحلّ النظام الآتي: $س^٢ + ص^٢ = ٢٥$ ، $(س + ٢ص)^٢ + (س - ٢ص)^٢ = ١٤٦$

الحل : $(س + ٢ص)^٢ + (س - ٢ص)^٢ = ١٤٦$ بفك الأقواس والاختصار، ينتج: $س^٢ + ٤ص^٢ = ٧٣$ ومنها $س^٢ + ص^٢ + ٣ص^٢ = ٧٣$ ، لكن $س^٢ + ص^٢ = ٢٥$ ومنها $٢٥ + ٣ص^٢ = ٧٣$ ومنها $ص^٢ = ١٦$ $ص = \pm ٤$ ، ومنها $س = \pm ٣$ أي أن نقط التقاطع $(\pm ٣ ، \pm ٤)$

النقطة و(س ، ص) تتحرك في المستوى، بحيث يتحدد موقعها حسب العلاقتين الآتيتين: $س = ٣ \text{ جتا } ن$ ، $ص = ٤ \text{ جا } ن$. أجد نقط تقاطع مسار هذه النقطة مع منحنى العلاقة $١٦ س^٢ - ٩ ص^٢ = ١٤٤$

الحل : $\frac{س}{٣} = \text{ جتا } ن$ ، كذلك $\frac{ص}{٤} = \text{ جا } ن$ بتربيع المعادلتين وجمعهما ينتج أن: $\frac{س^٢}{٩} + \frac{ص^٢}{١٦} = \text{جتا}^٢ ن + \text{جا}^٢ ن = ١$ (لماذا؟) $١٦ س^٢ + ٩ ص^٢ = ١٤٤$ ................... (١) $١٦ س^٢ - ٩ ص^٢ = ١٤٤$ ................... (٢) $٣٢ س^٢ = ٢٨٨$ ومنها ينتج أن $س = \pm ٣$ ، $ص = ٠$ أي أن نقطتي التقاطع هما $(\pm ٣ ، ٠)$

١ أحل أنظمة المعادلات الآتية:

• أ. $س^٢ + ص^٢ = ١٠٠$

• ب. $س^٢ + ٢ص^٢ - ٤١ = ٠$

٢ غرفة أرضيتها مستطيلة الشكل، طول قطرها يساوي $\sqrt{٣٤}$ م، و ثمانية أمثال مربع عرضها يقل عن سبعة أمثال مربع طولها بمقدار ١٠٣ م، فما بعداها؟

٣ أجد نقطة/ نقط تقاطع المنحنى الذي معادلته $(س - ٣ص)^٢ + (س + ٣ص)^٢ = ٢٢$ مع المنحنى الذي معادلته $س^٢ - ٤ص^٢ = -٢$

٤ استورد تاجر نوعين من البلاط على شكل مستطيل، فإذا كان قطر أي قطعة من النوع الأول يساوي ٥٠ سم، وطول قطر أي قطعة من النوع الثاني $١٠\sqrt{٥}$ سم، وكان طول القطعة من النوع الأول يساوي ضعفي طول القطعة من النوع الثاني، وعرض أي قطعة من النوع الأول يساوي ٣ أضعاف عرض أي قطعة من النوع الثاني.

فما طول وعرض كل قطعة من النوعين؟

٥ قطعة أرض موضحة في الشكل المجاور، يراد عمل سور حولها، أجد طول هذا السور إذا كان أب يساوي ضعفي ب جـ

وكان أد = ٥٠ م ، دجـ = ٤٠ م

أ ب جـ د

٦ تتحرك النقطة م(س، ص) في المستوى بحيث يتحدد موقعها حسب العلاقتين: س = قاهـ ، ص = ظاهـ ، حيث هـ تمثل قياس زاوية حادة، أجد نقط تقاطع منحنى مسار هذه النقطة مع منحنى العلاقة $س^٢ + ص^٢ = ٧$