الإحداثيات الديكارتية في الفراغ ثلاثي الأبعاد

نشاط ١ : الألعاب الرياضية متعددة ، ففي بعضها تكون حركة أداة اللعب في المستوى وبعضها تكون الحركة في الفراغ .

ففي لعبة الهوكي تتحرك قطعة اللعب في بعدين في المستوى وتمثل إحداثيات موقعها بالزوج المرتب (س، ص).

هل تتحرك الكرة في لعبة كرة القدم كما تتحرك قطعة اللّعب في لعبة الهوكي؟

كيف يمكن تحديد موقع الكرة في لعبة كرة القدم؟

أتذكر أنّ : المسافة بين النقطتين أ (س₁ ، ص₁) ، ب(س₂ ، ص₂)

$أب = \sqrt{(س_٢ - س_١)^٢ + (ص_٢ - ص_١)^٢}$

وإحداثيات نقطة منتصف القطعة المستقيمة أب = $(\frac{س_١ + س_٢}{٢} ، \frac{ص_١ + ص_٢}{٢})$

نشاط ٢ : بالاعتماد على الخريطة الآتية إذا مثلنا موقع مدينة رام الله بالنقطة أ (٢,٥ ، ٤,٥) وموقع مدينة غزة بالنقطة ب (-٢ ، ١,٥). أجد المسافة بين المدينتين. (ملاحظة : كل وحدة تعادل ١٠كم والإحداثيات تقريبية).

أب= \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

لاحظ أنّ إحداثيات موقع مدينة نابلس (٣ ، ٦,٦)

بالاعتماد على قانون إحداثيات منتصف قطعة مستقيمة، أجد إحداثيات موقع مدينة جنين والتي تقع تقريبا في منتصف المسافة بين نابلس والناصرة.

إحداثيات موقع مدينة جنين = ( ___ ، ___ )

أقارن الإجابة بالرجوع إلى الخريطة. ( ___ ، ___ )

• عكا
• حيفا
• طبرية
• الناصرة
• بيسان
• جنين
• طولكرم
• نابلس
• يافا
• رام الله
• الرملة
• القدس
• الخليل
• غزة
• بئر السبع

1. إذا أردنا تحديد موقع نجم في السماء أو قمر صناعي أو طائرة أو قمة جبل، فإنّ نظام الإحداثيات ذا البعدين لا يفي بالغرض؛ لأن هذه المواقع تمثل بنقاط في الفراغ.
2. ولتحديد ذلك يلزمنا نظام إحداثيات ذو ثلاثة أبعاد، وهو موضح بالشكل الآتي:

وهذا النظام يتكون من ثلاثة مستقيمات متعامدة مثنى مثنى، ومتقاطعة في نقطة واحدة تُسمّى نقطة الأصل $(٠ ، ٠ ، ٠)$ وتُسمّى هذه المستقيمات المحاور الإحداثية، وهي بالترتيب: محور س، محور ص، محور ع، وهي تقسم الفراغ إلى ثمانية أثمان تم تحديد الثمن الأول بحيث تكون س، ص، ع موجبة وأية نقطة في الفراغ تمثل بثلاثي مرتب أ(س، ص، ع) كما أنه يقسم الفراغ إلى ثلاثة مستويات رئيسة، وهي المستوى س ص، المستوى س ع، المستوى ص ع.

أحدّد موقع النقاط الآتية في الفراغ أ $(٢ ، ٠ ، ٠)$ ، ب $(٠ ، -٣ ، ٠)$ ، جـ $(٢ ، -٢ ، ٠)$ ، د $(٠ ، ٣ ، ٢)$

الحل : النقطة أ تقع على الجزء الموجب من محور السينات. والنقطة ب تقع على الجزء السالب من محور الصادات والنقطة جـ تقع في المستوى س ص والنقطة د تقع في المستوى ص ع.

لتحديد النقطة أ(٣ ، ٢ ، ٤) في الفراغ نقوم بتحديد النقاط الآتية:

1. و $(٠ ، ٠ ، ٠)$ نقطة الأصل
2. ب $(٣ ، ٠ ، ٠)$ تقع على محور السينات
3. جـ $(٠ ، ٢ ، ٠)$ تقع على محور الصادات
4. د $(٠ ، ٠ ، ٤)$ تقع على محور العينات
5. هـ $(٣ ، ٢ ، ٠)$ تقع في المستوى س ص
6. ز $(٣ ، ٠ ، ٤)$ تقع في المستوى س ع
7. ح $(٠ ، ٢ ، ٤)$ تقع في المستوى ص ع
8. أ $(٣ ، ٢ ، ٤)$ تقع في الثمن الأول

ألاحظ أنّ بعد النقطة أ(٣ ، ٢ ، ٤) عن المستوى س ص يساوي ٤ وحدات وهو إحداثي ع

نشاط بيتي: استخدم برامج حاسوبية مثل جيوجبرا لتمثيل النقاط السابقة في الفراغ .

إذا كانت أ$(أ_١ ، أ_٢ ، أ_٣)$ و ب$(ب_١ ، ب_٢ ، ب_٣)$ نقطتين في الفراغ فإنّ

نشاط ٣: إذا كانت أ ، ب ، جـ ثلاث نقاط في الفراغ ، وكانت جـ تقع في منتصف $\overline{\text{أ ب}}$ بحيث أن أ (١٢ ، -٤ ، ٨) ، جـ (-٤ ، ١ ، ٥) أجد:

١ إحداثيات ب ٢ طول $\overline{\text{أ ب}}$

الحل : ١ نفرض إحداثيات ب (س ، ص ، ع)

فيكون $\frac{\text{س} + ١٢}{٢} = -٤$ ومنها س = \\\\\\

وبنفس الطريقة ص = \\\\\\ و ع = \\\\\\

٢ أ ب = $\sqrt{\_\_\_\_ + \_\_\_\_ + \_\_\_\_}$

الحل : $(\text{أ ب})^٢ = (٢\text{س} + ١)^٢ + (٢\text{س} + ٢)^٢ + ٢٥ = ٥٠$ (لماذا ؟)

ومنها ينتج $٤\text{س}^٢ + ٤\text{س} + ١ + ٤\text{س}^٢ + ٨\text{س} + ٤ + ٢٥ = ٥٠$

ومنها ينتج : $٢\text{س}^٢ + ٣\text{س} - ٥ = ٠$

ومنها $(٢\text{س} + ٥)(\text{س} - ١) = ٠$

إذن $\text{س} = -\frac{٥}{٢}$ ، $١$

١ أُعين النقاط الآتية في الفراغ، ثم أجد بعد النقطة جـ عن المستويات س ص ، س ع ، ص ع

١ أ (٢ ، ٣ ، ٠)

٢ ب (٠ ، ٠ ، -٢)

٣ جـ (-٣ ، ٢ ، ٤).

جـ أ ب

٢ في رحلة مدرسية ذهب طلاب مدرسة ابن رشد إلى أريحا، وركبوا ثلاث عربات تلفريك أ ، ب ، جـ . وفي لحظة ما كانت إحداثيات موقع العربتين أ ، جـ كما يلي أ (١٠ ، ٢٢ ، ٤٠) ، جـ (١٣ ، ٢٩ ، ٤٥) وكانت العربة جـ تقع في منتصف المسافة بين العربتين أ ، ب أجد:

١ إحداثيات موقع العربة ب.

٢ المسافة بين العربتين أ و ب (الوحدات بالأمتار).

٣ نقطة في الفراغ بعدها عن المستوى س ص = ٢ وحدة وبعدها عن المستوى س ع = ٧ وحدات وبعدها عن المستوى ص ع = ٣ وحدات ما إحداثيات هذه النقطة. (أكتب جميع الحالات الممكنة).

٤ أ ب جـ مثلث فيه أ (١ ، ٣ ، ٢) ، جـ (-١ ، ٣ ، ٢)

فإذا كانت النقطة د (س ، -٢ ، س - ٢) هي إحداثيات منتصف $\overline{\text{أ ب}}$

وكان (جـ د) = $\sqrt{٤٢}$ وحدة أجد إحداثيات النقطة ب حيث س > ٠

٥ أ نقطة تقع على محور س ، ب نقطة تقع على محور ص ، جـ نقطة تقع على محور ع ، وكانت د ، هـ ، و تمثل إحداثيات المنتصف للقطع المستقيمة الثلاث $\overline{\text{أ ب}}$ ، $\overline{\text{ب جـ}}$ ، $\overline{\text{جـ أ}}$ على الترتيب بحيث إنّ د (٢ ، -٤ ، ٠)، هـ (٠ ، -٤ ، ٤)، ما إحداثيات النقطة و؟

٦ إذا كانت أ (٨ ، -٤ ، ٠) ، ب (٦ ، ٤ ، ٠) ، جـ (٤ ، -٢ ، ٠) تشكل رؤوس المثلث أ ب جـ وتقع النقطة ن في منتصف أ ب ، النقطة م (س، $\frac{-\text{س}}{٢}$، ٠) ، س $\in$ ص نقطة تقع على $\overline{\text{أ جـ}}$، بحيث أنّ ن م = $\frac{٧}{٢}$ وحدة طول، أبين أن م جـ = ٣ م أ.