الجملة المفتوحة

1. في معرض حديثنا عن العبارات، رأينا أن بعض الجمل ليست عبارات رياضية، لأننا لا نستطيع الحكم على صحتها، مثل جمل الاستفهام والتعجب وغيرها، ومن الجمل التي لا نستطيع الحكم على صحتها كذلك، جمل تحوي متغيرات مثل : $٢\text{ س} = ٨$ التي تحوي المتغير س وتتحول إلى عبارة رياضية عند إعطاء متغيرها قيمة.
2. ومثل هذه الجمل ليست بالغريبة عليك، فقد تعرفت عليها في بداية عهدك بالدراسة، عندما كان يطلب منك ملء فراغ ما أو مربع ما، لتصبح الجملة صحيحة، ومثال ذلك :

___ أحد فصول السنة أو $\square + ٣ = ٨$ دون تسميتها جملاً مفتوحة.

تعريف:

• الجملة المفتوحة: هي جملة تحوي متغيراً أو أكثر، وتتحول إلى عبارة رياضية عند إعطاء قيم للمتغيرات
• مجموعة التعويض: هي مجموعة قيم المتغير التي يسمح لنا تعويضها مكانه في الجملة المفتوحة.
• مجموعة الحل: هي مجموعة قيم المتغير التي تجعل الجملة المفتوحة عبارةً رياضيةً صحيحةً، وهي مجموعة جزئية من مجموعة التعويض.

ويرمز للجملة المفتوحة : ل(س) ، م(س) ، ق(س) __ إذا كانت بمتغير واحد و بـ ك(س،ص)، هـ(س،ص) __ إذا كانت بمتغيرين. مثال ١ : إذا كانت الجملة المفتوحة ق(س) : $٢$ س > $٥$ ، مجموعة التعويض ح، أجد قيم الصواب لكل من: ق($٢$)، ق($٣$)، ق($\sqrt{٥}$)

الحل : ق($٢$) : $٢ \times ٢ > ٥$ خاطئة. ق($٣$) : $٢ \times ٣ > ٥$ صائبة. ق($\sqrt{٥}$) : $٢ \times \sqrt{٥} > ٥$ خاطئة لماذا؟

نشاط ٢ : أجد مجموعة حل الجملة المفتوحة ل(س): $س^٢ = ٤$ ، مجموعة التعويض = ص

الحل : $س^٢ = ٤$ ومنها $\sqrt{س^٢} = \sqrt{٤}$ $|س| = ٢$ $س =$ _ ، _ .

مثال ٢ : أجد مجموعة الحل للجملة المفتوحة هـ(س، ص): $س^٢ + ص^٢ = ١$ ، $(س، ص) \in ص \times ص$

الحل : مجموعة الحل = $\{(٠، ١)، (١، ٠)، (-١، ٠)، (٠، -١)\}$

نشاط ٣ : ليكن ف : $٩ = ٣^٢$ ، ل(س) : س < $٥$ ، م(س) : س عدد أولي. ولتكن مجموعة التعويض ص أجد قيم الصواب للعبارات الآتية: ١ ف $\wedge$ ل($٢$) ٢ ل($٥$) $\leftarrow$ م($٥$) ٣ $\sim$ ل($٣$) $\leftrightarrow$ م($١٠$)

الحل : ١ ف صائبة ، ل($٢$) كذلك صائبة ، $\therefore$ ف $\wedge$ ل($٢$) صائبة. ٢ ________ . ٣ ________ .

تعريف: تكون الجملتان المفتوحتان متكافئتين إذا كان لهما نفس مجموعة الحل.

مثال ٣ : إذا كانت $ق(س) : ٢س = ٤$ ، $هـ(س) : س^٢ - س - ٦ = صفر$، مجموعة التعويض هي ط . أوضح فيما إذا كانت $ق(س)$ ، $هـ(س)$ متكافئتين أم لا .

الحل : مجموعة حل $ق(س) = \{٢\}$ ، مجموعة حل $هـ(س) = \{٣\}$ لماذا؟ ألاحظ أن مجموعتي الحل غير متساويتين. إذن الجملتان $ق(س)$ ، $هـ(س)$ غير متكافئتين.

١ لتكن $ل(س) : ١ \le س < ٣$ ، $هـ(س) : ٢ < س < ٤$ ، $س \in ح$

أضع دائرة حول رمز الإجابة الصحيحة فيما يأتي:

١ ما العبارة الرياضية الخاطئة فيما يأتي؟

• أ. $ل(٢) \lor هـ(٣)$

• ب. $ل(١) \land هـ(٣)$

• جـ. $ل(٢) \leftrightarrow هـ(٣)$

• د. $هـ(٠) \lor ل(٤)$

٢ ما العبارة الرياضية التي تكافئ $ل(س)$ فيما يأتي؟

• أ. $س \in [١ ، ٣]$

• ب. $س \in [١ ، ٣[$

• جـ. $س \in ]١ ، ٣[$

• د. $س \in ]١ ، ٣]$

٣ ما مجموعة حل $(ل(س) \lor هـ(س))$ ؟

• أ. $١ \le س < ٤$

• ب. $١ \le س \le ٤$

• جـ. $٣ \le س < ٤$

• د. $٢ \le س \le ٣$

٤ ما قيم س التي تجعل : $ل(س) \land هـ(س)$ صائبة؟

• أ. $١ < س < ٣$

• ب. $٢ < س < ٣$

• جـ. $٣ < س < ٤$

• د. $٢ \le س \le ٣$

  ٢ أجد مجموعة حل كل من الجمل المفتوحة الآتية بالنسبة لمجموعة التعويض الموضحة بجانب كل منها:

١ ق(س) : $س^٢ = س$ ، $س \in ص$

٢ م(س) : $٣س - ١ = ٠$ ، $س \in \{-١ ، ٠ ، ١\}$

٣ ل(س) : $\sqrt{س^٢} = ٥$ ، $س \in ص$

٤ هـ(س) : $س^٢ - ١١س = -٣٠$ ، $س \in ط$

٥ ع(س) : $س^٢ - ١ = (س - ١)(س + ١)$ ، $س \in ص$

٦ ك(س، ص) : $س ص = ٨$ ، $(س ، ص) \in ص \times ص$

٧ ب(س) : $جا س = جا^٢ س$ ، $س \in ]٠ ، \pi[$

٣ ليكن ق(س) : $س - ٢ \le ٢$ ، هـ(س) : $٢س + ١ = ٧$ ، مجموعة التعويض ط

١ أكتب مجموعة حل كل من ق(س) ، هـ(س).

٢ أكتب مجموعة حل ق(س) $\lor$ هـ(س).

٣ أكتب مجموعة حل ق(س) $\land$ هـ(س).

٤ هل ق(س) ، هـ(س) متكافئتان؟ أوضح ذلك.

٤ إذا كان ق(س) : $٢ جا^٢ س - ٣ جا س + ١ = صفر$ ، هـ(س) : $ظا^٢ س - \sqrt{٣} ظا س = -\frac{٢}{٣}$ ، $س \in [٠ ، ٢\pi]$ أجد مجموعة حل ق(س) $\land$ هـ(س).

٥ إذا كانت ل(س) : $[س] = ٣$ ، ع(س) : $|س| = ٥$ ، وكانت مجموعة التعويض هي مجموعة الأعداد النسبية، أبين قيم الصواب لما يأتي:

١ ع(-٥) $\leftarrow$ ل(٢٫٥)

٢ ل(-٣) $\leftarrow$ ع(٥)

٣ ل(٢٫٥) $\lor$ ع(٣٫٥)

٤ ع(٠) $\leftarrow$ (ل(٣٫٩) $\land$ ع(٥٫٥))