العبارات الرياضية المسورة

نشاط ١: جاء في بعض مواد الإعلان العالمي لحقوق الإنسان، الذي تبنته الجمعية العامة للأمم المتحدة عام ١٩٤٨ بباريس «يولد جميع الناس أحراراً، متساوين في الكرامة والحقوق. وقد وهبوا عقلاً وضميراً وعليهم أن يعامل بعضهم بعضاً بروح الإخاء، وكذلك لكل فرد الحق في الحياة والحرية والسلامة الشخصية، ولا يجوز القبض على أي إنسان، أو حجزه، أو نفيه تعسفاً».

1. هل أنت مع هذا الإعلان العالمي لحقوق الإنسان؟ ولماذا؟
2. ما الكلمات الواردة في النص وتعني كلمة جميع.
3. ماذا يمكن أن تسمى العبارات التي تحوي مثل هذه الكلمات؟

لعلك تلاحظ وجود الكلمات كل، وجميع، وأي، في هذه المواد، وكلها كلمات تعبر عما يسمى بالسور الكلي، ويرمز للسور الكلي بالرمز $\forall$.

تعريف: إذا كانت ق(س) جملةً مفتوحةً فإن العبارة الرياضية لكل س، ق(س) تسمى عبارة رياضيةً مسورةً كلياً وتكتب $\forall$ س، ق(س).

لتكن العبارة الرياضية ق(س) : الأم حنون، يمكن كتابة العبارة الرياضية «جميع الأمهات حنونات» رمزياً بالصورة $\forall$ س، ق(س). وتكون العبارة الرياضية $\forall$ س، ق(س) صائبةً إذا كانت مجموعة حلها مساويةً لمجموعة تعويضها، أي أنها تكون صائبةً، إذا كان كل تعويض للمتغير من مجموعة التعويض يجعلها صائبةً.

أجد قيمة صواب العبارة الرياضية المسورة الآتية: $\forall$ س، $(\text{س} + ١)^٢ = \text{س}^٢ + ٢\text{س} + ١$ ، س $\in$ ح.

الحل : العبارة الرياضية صحيحة عند أي تعويض س من مجموعة التعويض، إذن العبارة المسورة صائبة. وتكون العبارة المسورة $\forall$ س، ق(س) خاطئةً، إذا كانت مجموعة حلها لا تساوي مجموعة التعويض، أي أنه إذا وجد تعويض واحد على الأقل من مجموعة التعويض يجعلها خاطئةً.

ما قيمة صواب العبارة المسورة $\forall$ س، $\text{س}^٢ >$ صفر ، س $\in$ ص؟

الحل : التعويض س = ٠ يجعل العبارة الرياضية خاطئةً، إذن العبارة المسورة خاطئة.

نشاط ٢: أبين قيم الصواب للعبارات الآتية:

1. جميع المثلثات قائمة الزاوية.

   ألاحظ أن هذه العبارة المسورة خاطئة، لعلمنا بوجود كثير من المثلثات غير القائمة، كالمثلث منفرج الزاوية على سبيل المثال لا الحصر ...

2. كل عدد يقبل القسمة على ١٠ يقبل القسمة على ٥ .

   هذه عبارة صحيحة، أفكر في إثباتها بشكل عام .

3. جميع أعمار طلبة الصف الحادي عشر تزيد عن ١٤ عاماً.
4. $\forall$ س $\in$ ح، $\text{س}^٢ > \text{س}$
5. $\forall$ س $\in$ ح، $\text{س}^٢ = (\text{س}-١)(\text{س}+١) + ١$

في تجربة رذرفورد، تم تسليط أشعة من جسيمات ألفا على رقاقة ذهب، فوجد أن بعض الأشعة ينعكس وبعضها الآخر ينكسر، ومعظمها ينفذ، ويدل ذلك على أنه يوجد بعض مساحات فارغة في الذرة، وأيضًا يوجد جسيمات لها نفس شحنة الأشعة، وهناك جسيمات لها شحنة مختلفة عن شحنة الأشعة. لعلك لاحظت وجود الكلمات بعض، ومعظم، ويوجد، في النص السابق، وهي كلمات تعبر عما يسمى بالسور الجزئي، ويرمز للسور الجزئي بالرمز ⁦E ⁩. ويمكن كتابة العبارة الرياضية «بعض الأعداد الحقيقية سالبة» بالصورة هـ(س) : س عدد حقيقي سالب.

تعريف: إذا كانت هـ(س) جملةً مفتوحةً فإن العبارة الرياضية يوجد س : هـ(س) تسمى عبارةً رياضيةً مسورةً جزئياً وتكتب ⁦E⁩ س: هـ(س)

وتكون هذه العبارة الرياضية صائبةً، إذا وجد تعويض واحد على الأقل من مجموعة التعويض، يجعلها صائبةً، وتكون خاطئةً، إذا كان كل تعويض من مجموعة التعويض يجعلها خاطئةً، أي أن مجموعة حلها = $\emptyset$

ما قيمة صواب كل من العبارات الرياضية المسورة الآتية:

1. بعض الأعداد الطبيعية تقسم على ٥.
2. $\text{E}$ ع : $\text{ع}^٣ = -٨$ ، $\text{ع} \in \text{ط}$
3. $\text{E}$ ص: $\text{ص}^٤ = ٥$ ، $\text{ص} \in \text{ح}$
4. $\forall$ س ، $(٢\text{ س} = \text{س}^٢) \lor (٢\text{ س عدد زوجي})$ ، $\text{س} \in \text{ح}$

الحل :

1. صائبة.
2. خاطئة.
3. صائبة.
4. خاطئة.

1. أضع دائرةً حول رمز الإجابة الصحيحة فيما يأتي:

1. ما العبارة المسورة الصائبة فيما يأتي؟

• أ. $\exists$ س : س$^٢$ = س ، س $\in$ ص$^-$
• ب. $\forall$ س، س$^٣$ = س ، س $\in$ ط
• جـ. $\exists$ س : س$^٢$ = س$^٣$ ، س $\in$ ن
• د. $\exists$ ك : ك$^٢$ = -ك ، ك $\in$ ط

2. ما العبارة المسورة الخاطئة فيما يأتي، إذا كانت مجموعة التعويض = ح ؟

• أ. $\exists$ س : [س] = ٣٫٥
• ب. $\exists$ س : |س| = ٨
• جـ. $\exists$ س : $\frac{\text{س}}{\text{س}^٢ + ١} > ٠$
• د. $\exists$ س : $\sqrt{\text{س} + ١} = ٩$

3. أحدد العبارة المسورة الصائبة فيما يأتي؟

• أ. $\forall$ س، س $\in$ ح $\leftarrow$ س$^٢$ $\in$ ح$^+$
• ب. $\forall$ س، س $\in$ ص $\leftarrow$ س + ١ $\in$ ط
• جـ. $\forall$ س، س $\in$ ح $\leftarrow$ $\sqrt{\text{س}}$ $\in$ ن
• د. $\forall$ س، س $\in$ ط $\leftarrow$ $\sqrt{\text{س}}$ $\in$ ح

2. ما قيم صواب العبارات المسورة الآتية؟

1. بعض الطلبة موهوبون.
2. كل الأشجار مثمرة.
3. يوجد عدد حقيقي لا ينتمي جذره التربيعي إلى ص.
4. كل زوايا المثلث حادة.
5. بعض النقاط الواقعة على منحنى الاقتران ق(س) = |س$^٢$ + ٢س + ١| تقع تحت محور السينات.

3. أُبين صواب أو خطأ كل من العبارات المسورة الآتية، مع ذكر السبب.

1. $\exists$ س : س$^٢$ = ٢ ، س $\in$ ح
2. $\forall$ س، س $\le$ ٠ $\leftarrow$ س$^٢$ > ٠ ، س $\in$ ح
3. $\forall$ س، $\exists$ ص : س < ص ، س، ص $\in$ ح
4. $\exists$ س، ص : (٢س + ص = ٦) $\wedge$ (س + ١ = $\frac{١}{٢}$) ، س، ص $\in$ ح
5. $\exists$ $\vec{أ}$ ، $\vec{ب}$ : $|\vec{أ} + \vec{ب}| = |\vec{أ}| + |\vec{ب}|$ ؛ $\vec{أ}$ ، $\vec{ب}$ ينتميان لمجموعة المتجهات في الفراغ.