المتجهات في الفراغ

نشاط ١ : تقوم رافعة برفع حجارة وموادّ بناء في منشأة قيد الإنشاء، فإذا تم رفع جسر حديد مركز ثقله يقع في النقطة أ ($١٠$ ، $٤$ ، $١$) إلى النقطة ب ($٢٠$ ، $٨$ ، $١٤$) (الوحدات بالأمتار ونقطة الأصل تمثل قاعدة الرافعة)،

$\vec{أب} = ب - أ = (\text{ـــــ} ، \text{ـــــ} ، \text{ـــــ})$ متجه الوحدة السيني $\vec{و_١} = (١ ، ٠ ، ٠)$ متجهه الوحدة الصادي $\vec{و_٢} = (..... ، ١ ، .....)$ ويمكن تعريف متجه الوحدة العيني $\vec{و_٣} = (٠ ، ٠ ، ١)$ بدلالة متجهات الوحدة $\vec{أب} = \text{ـــــ} \vec{و_١} + \text{ـــــ} \vec{و_٢} + \text{ـــــ} \vec{و_٣}$

أتعلم: يمكن تطبيق جميع العمليات على المتجهات في المستوى على المتجهات في الفراغ.

نشاط ٢ : أطلق صاروخ من نقطة إحداثياتها أ ($١$ ، $٣$ ، $٢$) وبعد مدة من الزمن وصل إلى النقطة ب ($٣٠$ ، $٤٥$ ، $٢٠$)، فإذا كانت نقطة الأصل تمثل برج المراقبة وكانت الوحدات بالكيلومتر، فإنّ: $\vec{أب} = (\text{ـــــ} ، \text{ـــــ} ، ٢٠ - ٢) = (\text{ـــــ} ، \text{ـــــ} ، ١٨)$ $\vec{أب} = \text{ـــــ} + \text{ـــــ} + \text{ـــــ}$

مثال ١ : إذا كان $\vec{م_١} = ب \vec{و_١} - ٢ أ \vec{و_٢} + ٥ \vec{و_٣}$ وكان $\vec{م_٢} = أ \vec{و_١} + ب \vec{و_٢} - ٦ \vec{و_٣}$ أجد: أ ، ب ، جـ علماً بأن $\vec{م_١} + \vec{م_٢} = (٩ ، -٣ ، جـ)$

الحل : $\vec{م_١} + \vec{م_٢} = (ب + أ ، -٢ أ + ب ، -١) = (٩ ، -٣ ، جـ)$ ومنها جـ = -١ $ب + أ = ٩$ ، $-٢ أ + ب = -٣$ وبحل المعادلتين ينتج: أ = $٤$ و ب = $٥$

إذا كانت أ $(-٦ ، ٤ ، ٢)$ ب $(٨ ، -٢ ، ٤)$ أجد ما يلي:

1. متجه يوازي $\vec{أب}$ وطوله ٣ امثال طول $\vec{أب}$.
2. متجه عكس اتجاه $\vec{أب}$ وطوله ٣ وحدات.

الحل :

1. $\vec{أب} = (٨ ، -٢ ، ٤) - (-٦ ، ٤ ، ٢) = (١٤ ، -٦ ، ٢)$

   لإيجاد متجه طوله ٣ أمثال $\vec{أب}$ ويوازيه نضرب $\vec{أب}$ في $\pm ٣$ فيصبح $\pm ٣ (١٤ ، -٦ ، ٢)$

2. نجد أولاً متجه وحدة باتجاه $\vec{أب}$ وهو $\frac{\vec{أب}}{|\vec{أب}|} = (\frac{١٤}{\sqrt{٢٣٦}} ، \frac{-٦}{\sqrt{٢٣٦}} ، \frac{٢}{\sqrt{٢٣٦}})$

   نضرب متجه الوحدة في -٣ فيكون المتجه المطلوب $(\frac{-٤٢}{\sqrt{٢٣٦}} ، \frac{١٨}{\sqrt{٢٣٦}} ، \frac{-٦}{\sqrt{٢٣٦}})$

نشاط ٣: إذا كان $\vec{أ} = (-٢ ، ٩ ، ٥)$ ، $\vec{ب} = (س + ١ ، ص^٢ ، \frac{ع}{٢})$ أجد س ، ص ، ع علما بإن : $\vec{أ} = \vec{ب}$

س + ١ = ـــــ ومنها س = ـــــ

ص^٢ = ـــــ ومنها ص = ـــــ

$\frac{ع}{٢}$ = ـــــ ومنها ع = ـــــ

نشاط ٤: إذا كان $\vec{أ} = ٣ \vec{و_١} + ٢ \vec{و_٢}$ ، $\vec{ب} = (٣ ، ٥ ، ٨)$ أجد ما يلي:

1. $٢\vec{أ} + ٣\vec{ب} = \underline{\hspace{3cm}}$
2. $|\vec{أ}| + |\vec{ب}| = \underline{\hspace{3cm}}$
3. $|\vec{أ} + \vec{ب}| = \underline{\hspace{3cm}}$
4. متجه وحدة باتجاه $\vec{أ} = \underline{\hspace{3cm}}$
5. متجه وحدة باتجاه $\vec{ب} = \underline{\hspace{3cm}}$
6. متجه عكس اتجاه $\vec{أ} + \vec{ب}$ وطوله ٤ وحدات = $\underline{\hspace{3cm}}$

1. أثرت قوتان في جسم، فإذا كانت $\vec{ق_١} = ٣ \vec{و_١} - ٢ \vec{و_٢} + \vec{و_٣}$

   $\vec{ق_٢} = -٢ \vec{و_١} + ٤ \vec{و_٢} + ٥ \vec{و_٣}$ أجد محصلة هاتين القوتين.

2. إذا كانت أ $(-٦ ، ٢ ، ٣)$ ، ب $(٢ ، ٤ ، ٨)$ أجد ما يلي:

• أ. متجه طوله ٤ أمثال $\vec{أ ب}$ ويوازيه.
• ب. متجه طوله ٤ وحدات وبنفس اتجاه $\vec{أ ب}$ .
• جـ. متجه وحدة عكس اتجاه $\vec{أ ب}$ .

3. إذا كان $\vec{أ} = (-٢ ، ٤ ، ٦)$ وكان $٢ \vec{أ} + ٣ \vec{ب} = ٢ \vec{و_١} + ٢٣ \vec{و_٢}$

   أجد $\vec{ب}$ بدلالة متجهات الوحدة الأساسية.

5. إذا كان المتجه $\vec{أ} = (م ، -٢م ، ١)$ ، $\vec{ب} = (ن ، ٢ن ، ٢)$ ،

   أجد م ، ن علما بأن $٢ \vec{أ} + ٣ \vec{ب} = (١٩ ، -٢ ، ٨)$

6. ليكن $\vec{أ} = (١ ، -٣ ، ٢)$ ، $\vec{ب} = (س + ٣ ، -س ، ٢س - ٣)$ أجد قيمة / قيم س بحيث أن $| \vec{أ} + \vec{ب} | = \sqrt{٢٢}$ وحدة طول.