قاعدة السلسلة

التروس: كيف يتحرك اقتران داخل اقتران؟

تعتبر التروس (المسننات) من الأجزاء الميكانيكية المهمة التي تسهم في نقل الحركة

وماذا نفعل حين يكون الاقتران «مركّبًا» مثل قوة كبيرة لمقدار؟

• مثل $ق(س) = (س^{٢} + ١)^{٣}$: الفك ثم الاشتقاق أو مشتقة حاصل الضرب يصعبان كلما كبر الأس.
• لذلك نبحث عن طريقة أسهل لمشتقة هذه الاقترانات.

قاعدة السلسلة: مشتقة المركّب = مشتقة الخارجي × مشتقة الداخلي

ماذا لو كان الاقتران الداخلي كسرًا، والمطلوب قيمة عند نقطة؟

وإذا أُعطيت قيم اقتران مجهول عند نقطة؟

اقتران مرفوع إلى قوة: القوة أولًا ثم مشتقة الداخل

نشاط ٢: إذا كان $ص = (قاس + ظاس)^{ن}$ فأكمل خطوات إيجاد $\frac{دص}{دس}$.

وهل تمتد القاعدة إلى أكثر من اقترانين؟

سلسلة أطول، ثم الأسّي واللوغاريتم

• القاعدتان تحتاجان $ك(س)$ قابلاً للاشتقاق، وفي اللوغاريتم $ك(س) > ٠$.

أطبّق قاعدة السلسلة بنفسي

جد $\frac{دص}{دس}$ عندما $س = ١$ لكل مما يأتي:

أ. $ص = (س^{٢} + س + ١)^{-٣}$

ب. $ص = س^{٢} قا \left(\frac{\pi}{س}\right)$، $س \ne ٠$

ج. $ص = ٥ع^{٢} - ٧$، $ع = \frac{١}{س^{٢} + ١}$

د. $ص = ظا \left(\frac{\pi}{س}\right) + جتا^{٢} (\pi س)$، $س \ne ٠$

هـ. $ص = (لو_{هـ} س)^{٣}$، $س > ٠$

إذا كان $ق(س) = \frac{لو_هـ(م(س))}{٢س}$، وكان $م(١) = هـ^{٢}$، $م'(١) = ٢هـ$، فجد $ق'(١)$.

جد مشتقة كل من الاقترانات الآتية:

أ. $ق(س) = هـ^{س^{٢} + س}$

ب. $ع(س) = لو_{هـ} (س^{٣} - ٣س^{٢})$، $س > ٣$

إذا كان $ق(س) = س^{٢} م(س^{٢} + ١)$ اعتمد على الجدول المجاور في إيجاد $ق''(١)$.

إذا كان $ص = ق^{٣}(س) - ق(س^{٣})$، جد $\frac{دص}{دس}$ عندما $س = ٢$ علماً بأن $ق(٢) = ١$، $ق'(٢) = -٢$، $ق'(٨) = ٢$.

إذا كان ص = $ن^{٢} + ٥ن$ وكانت $\frac{دن}{دس} |_{ن=١}$ = $٢$، جد $\frac{دص}{دس} |_{ن=١}$.

إذا كان $ق(س) = س + \frac{١}{س}$، $هـ(س) = جتا س$، $س \ne ٠$، أثبت أن: $(ق \circ هـ)'(س) = جا^{٣} س قا^{٢} س$.

جد:

أ. $\lim_{هـ \to ٠} \frac{ظا(٢س + هـ) - ظا ٢س}{هـ}$

ب. $\lim_{هـ \to ٠} \frac{ق(١ + ٣هـ) - ق(١ - ٣هـ)}{١٠هـ}$، علماً بأن $ق'(١) = -٢$