العلاقة بين التفاضل والتكامل

من المساحة إلى التكامل المحدود: م(ب) − م(أ)

العلاقة بين التفاضل والتكامل ⁦(Fundamental Theorem of Calculus)⁩ الشكل المجاور يمثل منحنى الاقتران $ق(س) = ٢ - س$، والمار بالنقطتين أ ، ب

النظرية الأساسية: التكامل المحدود والاقتران المكامل

• إذا كان الاقتران $ق(س)$ متصلاً في الفترة $[أ ، ب]$، وكان $م(س)$ اقتراناً أصلياً للاقتران $ق(س)$ فإن

• إذا كان الاقتران $ق(س)$ قابلاً للتكامل في الفترة $[أ ، ب]$، فإن $ت(س) = \int_أ^س ق(ص) \, د ص$ لجميع قيم $س \in [أ ، ب]$
• ويسمى $ت(س)$ الاقتران المكامل للاقتران $ق(س)$.
• إذا كان $ق(س)$ اقتراناً متصلاً، فإن

$ت'(س) = ق(س)$ لكل $س \in\ ]أ ، ب[$

الاقتران المكامل ت(س): الحد الأدنى ثابت والأعلى متغير

حتى الآن كان الحد الأعلى عدداً ثابتاً؛ فماذا لو جعلناه متغيراً؟

أحسب التكامل المحدود: عوّض الطرفين في الاقتران الأصلي

1. الاقتران الأصلي: أوجد اقتراناً أصلياً للاقتران المطلوب تكامله.
2. التعويض: عوّض الحد الأعلى ثم الحد الأدنى في الاقتران الأصلي.
3. الطرح: اطرح قيمة الحد الأدنى من قيمة الحد الأعلى.

كيف يمكنك إيجاد $ت(١)$ دون إيجاد $ت(س)$؟

التعويض ثم الحدّان: تكامل بتغيير المتغير

جرّب نفسك على النظرية الأساسية

جد قيم التكاملات المحدودة الآتية:

أ. $\int_٠^٤ (٣ + \sqrt{س})^٢ \, د س$ ب. $\int_١^٢ س (س^٢ - ٣)^٣ \, د س$ جـ. $\int_١^هـ \text{لو}_هـ س \, د س$ د. $\int_٠^٢ ١٢٠ س^٢ (س - ١)^٣ \, د س$

إذا كان $ق(س) = \frac{س}{س + ١}$ ، $س \in [٠ ، ٤]$، أوجد $ت(س)$

إذا كان $ت(س) = \begin{cases} ٢ س^٢ + أ & \text{، } -٢ \le س \le ٣ \\ ب س + ١ & \text{، } ٣ < س \le ٥ \end{cases}$ ، هو الاقتران المكامل للاقتران $ق(س)$ في الفترة $[-٢ ، ٥]$، فجد قيم الثابتين أ ، ب .

إذا كان $ق(س)$ اقتراناً متصلاً، وكان $\int_{\frac{١}{٢}}^س ق(ص) \, د ص = س + جا \pi س + جـ$ فجد قيمة الثابت جـ، ثم $ق(٢)$ حيث $س \ge \frac{١}{٢}$

إذا كان $ت(س) = \int_١^س (أ + هـ^ص) \, د ص$ وكان $ت'(٢) = -١$ ، احسب قيمة أ .

جد $\int_٠^١ (س^٢ - ٢ س)(س - ١)^٥ \, د س$