العمليات على الأعداد المركبة

نجمع ونضرب الأعداد المركبة كما نجمع ونضرب المقادير الجبرية

بما أن العدد المركب هو مقدار جبري يُكتب على الصورة $س + ص ت$

• فإنه يمكن تعريف الجمع والضرب على الأعداد المركبة، من خلال عملية جمع وضرب مقدارين جبريين
• ويكون لهما نفس خصائص عمليتي الجمع والضرب للمقادير الجبرية، مع مراعاة خصائص قوى ت.

عددان مركبان متساويان: الجزءان الحقيقيان متساويان والجزءان التخيليان متساويان

نجمع الجزأين الحقيقيين معًا والجزأين التخيليين معًا

فإن $ع_١ \pm ع_٢ = (س_١ \pm س_٢) + (ص_١ \pm ص_٢) ت$

والآن ثلاثة أعداد معًا: نجمع ونطرح خطوة بعد خطوة.

خمس خصائص للجمع: مغلق، تجميعي، له محايد، له نظير، تبديلي

• عملية الجمع عملية مغلقة:
• $\forall ع_١ ، ع_٢ \in ك$ فإن $ع_١ + ع_٢ \in ك$
• تجميعية: أي أنه $\forall ع_١ ، ع_٢ ، ع_٣ \in ك$ فإن $(ع_١ + ع_٢) + ع_٣ = ع_١ + (ع_٢ + ع_٣)$
• عملية الجمع عملية تبديلية:
• $\forall ع_١ ، ع_٢ \in ك$ ، $ع_١ + ع_٢ = ع_٢ + ع_١$

ضرب عددين مركبين: قاعدة واحدة وأربعة حدود

فإن $ع_١ ع_٢ = (س_١ س_٢ - ص_١ ص_٢) + (س_١ ص_٢ + س_٢ ص_١) ت$

وإذا ظهرت قوة لـ ت، نختصرها قبل الضرب.

نضرب عددًا حقيقيًا في عدد مركب، ثم نحل معادلة.

خمس خصائص للضرب، ولكل عدد غير الصفر نظير ضربي

• عملية الضرب مغلقة:
• $\forall ع_١ ، ع_٢ \in ك$ ، $ع_١ \times ع_٢ \in ك$
• عملية الضرب تجميعية:
• $\forall ع_١ ، ع_٢ ، ع_٣ \in ك$ ، $(ع_١ \times ع_٢) \times ع_٣ = ع_١ \times (ع_٢ \times ع_٣)$
• عملية الضرب تبديلية:
• $\forall ع_١ ، ع_٢ \in ك$ ، $ع_١ \times ع_٢ = ع_٢ \times ع_١$

نجد النظير الضربي بالتعريف، ثم بقاعدة جاهزة

النظير الضربي للعدد المركب $(س + ص ت)$ هو $\frac{س}{س^٢ + ص^٢} + \frac{-ص}{س^٢ + ص^٢} ت$

تمارين: طبّق الجمع والضرب والنظير بنفسك

اكتب كلاً مما يأتي على الصورة أ + ب ت $٤(٢ + ٤ت) + ٥(٣ - ٢ت)$

إذا كانت $س = أ + ب ت$ ، فما قيم س التي تحقق المعادلة $س + ٢س ت = -٥(س - ٤ت)$؟

جد قيم س ، ص $\in$ ح والتي تحقق المعادلة $س - ص - ٢ = ص^٢ ت - س ت$

بيّن أن: $ع = ت$ تحقق المعادلة $ع^٥ + ع^٢ = ع - ١$

بيّن أن: $ع = -١ + ت$ تحقق المعادلة $ع^٢ + ٢ع + ٢ = ٠$

إذا كان $\frac{ت}{ت + ٣} = \frac{١ + ٣ت}{أ}$ ، جد قيمة الثابت أ حيث أ $\in$ ح.

جد $ع^{-١}$ لكل مما يأتي، واكتبه على الصورة أ + ب ت:

حل النظام الآتي:

$ع_١ + ٣ع_٢ = -\sqrt{٨} ت$ $٢ع_١ - ٣ع_٢ = \sqrt{٥٠} ت \text{ حيث } ع_١ ، ع_٢ \in ك$