الاشتقاق الضمني

الاشتقاق الضمني: حين لا نعزل ص بسهولة

• سبق لك إيجاد مشتقة الاقتران $ص = ق(س)$ عندما تكون العلاقة بين المتغيرين صريحة (ص معرفة بدلالة س)
• في العلاقة $س^{٢} + ٥ص^{٢} = س ص - ٣$ ليس من السهل كتابة ص بدلالة س، فنسميها علاقةً ضمنيةً

1. اشتق الطرفين: اشتق كل حد من طرفي العلاقة بالنسبة إلى س، وتذكر أن ص تعتمد على س.
2. اجمع حدود ص': انقل كل الحدود التي تحوي ص' إلى جهة واحدة.
3. أخرج عاملاً مشتركاً: أخرج ص' عاملاً مشتركاً، ثم اقسم لتجد ص'.

اشتقاق ضمني لعلاقة فيها جا وجتا

فماذا لو ظهرت اقترانات مثلثية في العلاقة؟

معادلة المماس لمنحنى علاقة ضمنية

وكيف نجد معادلة مماس لمنحنى علاقة ضمنية؟

اشتقاق ص عبر متغير ثالث ع

وماذا لو ارتبطت ص وس بمتغير ثالث؟

عندما $ع = ٢$، $س = ١$ (لماذا)

اشتقاق القوى الكسرية: القاعدة والنتيجة

إذا كانت $ص = س^{\frac{م}{ن}}$، $م، ن \in ص$، $م \neq ن$، $ن \neq ٠$، فإن $\frac{دص}{دس} = \frac{م}{ن} س^{\frac{م}{ن} - ١}$

• إذا كان $ق(س) = (هـ(س))^ن$، $ن \in ح$
• وكان $هـ(س)$ اقتراناً قابلاً للاشتقاق فإن $ق'(س) = ن (هـ(س))^{ن-١} \times هـ'(س)$

قاعدة لوبيتال مع جذر تكعيبي

وهل تفيدنا قاعدة القوى الكسرية في النهايات؟

لماذا تساوي النهاية $\frac{١}{١٢}$ بعد تطبيق قاعدة لوبيتال؟ (لماذا؟)

نقاط المماس الموازي لمستقيم

لماذا ميل المماس يساوي $-٢$؟ (لماذا؟)

لماذا نشتق العلاقة ضمنياً بهذه الصورة؟ (لماذا)

نشاطان: اشتقاق ضمني ثم اشتقاق لوغاريتمي

أكمل: باشتقاق الطرفين بالنسبة إلى س تكون $\frac{١}{ص} \frac{دص}{دس}$ تساوي ماذا؟

أكمل: ومنها $\frac{دص}{دس}$ تساوي ماذا؟ ثم جد قيمتها عند $س = ٠$.

تدرّب بنفسك على الاشتقاق الضمني

1. جد $\frac{د\text{ص}}{د\text{س}}$ لكل مما يأتي:

أ. $\text{س}^٣ + \text{س}\text{ص} + ٢\text{ص}^٢ = ٥$ ب. $\text{ص} = \sqrt[٥]{١ - \text{س}^٢} + ٣$ ج. $\text{ص} = \text{جا}(\text{س} + \text{ص})$ د. $\frac{١}{\text{ص}} = \frac{١}{\text{س}} + ٢$

2. جد معادلة العمودي على منحنى الدائرة التي معادلتها $\text{س}^٢ - ٣\text{س} + \text{ص}^٢ = ٢٥$، عند كل من نقطتي تقاطعها مع منحنى $\text{ص} = \text{س}^٢ - ٣\text{س} + ٥$

3. يتحرك جسم على خط مستقيم وفق العلاقة $\text{ف}^{٢} = \text{أ}\text{ن}^{٢} + ٢٤$ حيث $\text{ف}$ المسافة بالأمتار، $\text{ن}$ الزمن بالثواني، جد قيمة أ الموجبة. علماً بأن سرعته بعد ٢ ثانية تساوي ١ م/ث.

4. إذا كانت $\text{ف} = \text{أجا}(٢\text{ن} + \text{م})$، أ $\neq$ ٠ هي معادلة الحركة لجسم يتحرك على خط مستقيم، حيث أ، م عددان ثابتان، أثبت أن: $\text{ت} = -٤\text{ف}$ عددياً. $\text{ف}$ المسافة بالأمتار، $\text{ن}$ الزمن بالثواني.

5. إذا كان المستقيم المار بالنقطة $(-٢، ٠)$ يمس منحنى العلاقة $٤\text{س}^{٢} + \text{ص}^{٢} = ٤$، جد نقطة/نقط التماس.

6. إذا كان $\text{ه}^{\text{ص}} + \text{ه}^{\text{س}} = \text{ه}^{-\text{ص}} + \text{ه}^{-\text{س}}$، فجد $\frac{د\text{ص}}{د\text{س}}$ عند النقطة $(-١، ١)$.

8. إذا كان $\text{ق}(\text{س})، \text{ه}(\text{س})$ اقترانين قابلين للاشتقاق وكانت $\text{ص} = (\text{ق}(\text{س}))^{\text{م}} \times (\text{ه}(\text{س}))^{\text{م}}$ أثبت أن: $\frac{\text{ص}'}{\text{ص}} = \text{م} (\frac{\text{ق}'}{\text{ق}} + \frac{\text{ه}'}{\text{ه}})(\text{س})، \text{حيث } \text{م} \neq ٠، \text{ق}(\text{س})، \text{ه}(\text{س}) \neq ٠$.

اختيار من متعدد: راجع ما تعلمته

1. ضع دائرة حول رمز الإجابة الصحيحة في كل مما يأتي:

1. إذا كان متوسط تغير الاقتران $\text{ق}(\text{س})$ في الفترة $[١، ٣]$ يساوي $٤$ وكان متوسط تغير الاقتران في الفترة $[٣، ٧]$ يساوي $-٥$، فما متوسط تغير الاقتران $\text{ق}(\text{س})$ في $[١، ٧]$؟

أ. $٢$ ب. $١$ ج. $-١$ د. $-٢$

2. إذا كان المماس المرسوم لمنحنى $\text{ق}(\text{س})$ عند النقطة $(٢، -١)$ يصنع زاوية قياسها $١٣٥°$ مع الاتجاه الموجب لمحور السينات، فما قيمة $\lim_{\text{س} \to ٢} \frac{\text{ق}(\text{س}) - \text{ق}(٢)}{٢\text{س} - ٤}$؟

أ. $-١$ ب. $-\frac{١}{٢}$ ج. $\frac{١}{٢}$ د. $١$

3. إذا كان $\text{ق}(\text{س}) = \text{جتا٢س}$، فما قيمة $\text{ق}''(\text{س}) + ٦\text{ق}(\text{س})$؟

أ. $\text{جتا٢س}$ ب. $\text{جا٢س}$ ج. $٢$ $\text{جتا٢س}$ د. $٢$ $\text{جا٢س}$

4. إذا كان $\text{ق}(\sqrt{٢\text{س} + ١}) = \text{س}^{٣} + ٢$ وكان $\text{ق}$ قابلاً للاشتقاق، فما قيمة $\text{ق}'(٣)$؟

أ. $١٦$ ب. $٢٩$ ج. $٤٨$ د. $١٤٤$

5. إذا كان $\text{س}^{٢} - \text{س}\text{ص} + \text{ص}^{٢} = ٣$، فما قيمة $\frac{د\text{ص}}{د\text{س}}$ عند النقطة $(١، -١)$؟

أ. $-٢$ ب. $-١$ ج. $١$ د. $٢$

6. إذا كان $\text{ق}(\text{س}) = \begin{cases} \text{س}^{٢} + ٢ & \text{س} \neq ٥ \\ ١٠\text{س} & \text{س} = ٥ \end{cases}$، فما قيمة $\text{ق}'(٥)$؟

أ. $٠$ ب. $٤$ ج. $١٠$ د. غير موجودة

7. يتحرك جسم على خط مستقيم وفق العلاقة: $\text{ف}(\text{ن}) \text{ع}(\text{ن}) = \text{ن}$، $\text{ف}$: المسافة بالأمتار، $\text{ن}$: الزمن بالثواني، وكانت $\text{ع}(٢) = ٣$ م/ث، فما قيمة التسارع عندما $\text{ن} = ٢$ ثانية؟

أ. $-٨$ م/ث$^{٢}$ ب. $٨$ م/ث$^{٢}$ ج. $١٢$ م/ث$^{٢}$ د. $-١٢$ م/ث$^{٢}$

8. إذا كان $\text{ق}'(\text{س}) = \frac{١}{١ + \text{س}^{٢}}$، $\text{ه}(\text{س}) = \text{ظاس}$، فما قيمة $(\text{ق} \circ \text{ه})'(\text{س})$؟

أ. $\text{قا}^{٢}\text{س}$ ب. $\text{جتا}^{٢}\text{س}$ ج. $١$ د. $\text{قا}^{٢}\text{س} \text{ظا}^{٢}\text{س}$

10. إذا كانت $\text{س} = \text{جتاص}$، ص [٠، (π)/(٢)]، فما قيمة $\frac{د\text{ص}}{د\text{س}}$؟

أ. ١١ - س٢ ب. -١١ - س٢ ج. -س١ - س٢ د. س١ - س٢

11. إذا كان (ق ه)'(٣) = ١٥، وكان ق(س) = س٢ - ٩، ه'(٣) = ٥، فما قيمة $\text{ه}(٣)$؟

أ. $٠$ ب. ١.٥ ج. $٢$ د. ٣

12. أي الاقترانات الآتية يكون قابلاً للاشتقاق على مجاله؟

أ. ق(س) = [س - ٢] ب. ق(س) = |س - ٢| - |س|

• ج. ق(س) = س٢ + ٢س + ١
• د. ق(س) = [س + ٢] - [س]

مسائل منوعة ثم قيّم نفسك

2. إذا كان ق'(١) = -٢، ق(٣) = -٢، ق'(٣) = ٤، جد ه → ٠ ق(١ + ٩ه) - ق(١)١ + ه - ١

3. جد متوسط التغير للاقتران ص = ق(س) = (س + ١)هس^٢ - س عندما تتغير س من ٠ إلى ١

4. إذا كان ق(٢) = ٣، ق'(٢) = -١، جد س → ١ ق(س^٢ + ٢س - ١) - ق(٢)س^٢ - ١

5. جد قيمة كل من النهايات التالية باستخدام قاعدة لوبيتال:

أ. س → ٠ ه٤س - ١ظاس ب. س → ٠ هس^٢ - هس٢س ج. س → ٠ جا٢س - جاس٢س د. س → ٠ ١ - جتاسس جاس

6. إذا كان ه(س) = cases س^٢ + ق(س - ١) & س ≥ ١ \ ق(س) & س < ١ cases، وكان متوسط تغير الاقتران $\text{ق}(\text{س})$ في الفترة [٠، ٢] يساوي ٣ جد متوسط تغير الاقتران ه(س) في الفترة [٠، ٣]

7. إذا كانت س → ١ ق(س) - ٢س - ١ = ٣، ق متصلاً على ح.

جد س → ١ س^٣ ق(س) - ق(١)س - ١

8. يقف أحمد ونزار على سطح بناية، أفلت أحمد كرة من السكون وفق العلاقة ف١(ن) = ٥ن^٢، وفي اللحظة نفسها، رمى نزار كرة أخرى عمودياً إلى أسفل وفق العلاقة ف٢(ن) = ١٥ن + ٥ن^٢، فإذا ارتطمت كرة أحمد بالأرض بعد ثانية واحدة من ارتطام كرة نزار، ما سرعة ارتطام كرة نزار بالأرض؟ (ف الإزاحة بالأمتار، ن الزمن بالثواني)

9. إذا كان ق(س) = أجاس، ه(س) = ٣سس^٢ + ١ فجد قيمة أ بحيث (ه ق)'((π)/(٦)) = ٠، أ ٠

10. إذا كان ق(س) = cases [٢ - س] + س^٢ & ٠ ≤ س < ٢ \ ٢س + ١ & س ≥ ٢ cases، ابحث في قابلية الاقتران للاشتقاق على مجاله.

11. يتحرك جسم على خط مستقيم وفق العلاقة ف = ٢(ه٢ن - ه-٢ن)، بين أن تسارع الجسم في أي لحظة يساوي ٤ف عددياً. (ف الإزاحة بالأمتار، ن الزمن بالثواني)

12. إذا كان ق(س) = جا^٣س - جتا^٣س، جد ق''((π)/(٤)).

13. جد مجموعة قيم س التي تكون عندها ق'(س) = ٠ في كل مما يأتي:

• أ. ق(س) = (س - ٢)^٣(٣ + ٢س)^٤، س [٠، ٣]

• ب. ق(س) = جاس(١ + جتاس)، س [٠، (π)/(٢)]

14. جد $\frac{د\text{ص}}{د\text{س}}$ لكل من الاقترانات الآتية:

• أ. ص = ق(س) = س ه٦سجاس، جاس ٠

• ب. ص = ق(س) = س لوهسجتاس، حيث س > ٠، جتاس ٠

15. يتحرك جسم في خط مستقيم حسب العلاقة ف(ن) = أ(جتا٢ن + جا٢ن) حيث ف تمثل بعد الجسم عن النقطة (و)، ن الزمن بالثواني.

ما تسارع الجسم عندما يكون على بعد ٣ أمتار من النقطة (و)؟

16. جد النقطة/النقاط التي يكون عندها المماس لمنحنى ق(س) = س + ١س، س ٠ موازياً للقاطع الواصل بين النقطتين (١، ٢)، (٢، (٥)/(٢))

• أجد متوسط التغير جبرياً وهندسياً
• استخدم قاعدة لوبيتال في إيجاد المشتقات
• أجد مشتقات الاقترانات واحل مسائل منوعة عليها
• أجد مشتقة اقترانات ليست كثيرة حدود
• أوظف قاعدة السلسلة والاشتقاق الضمني في إيجاد مشتقة اقترانات