المحددات

المحدد: عدد واحد يلخّص المصفوفة المربعة

للمحددات كثير من التطبيقات والاستخدامات في مجالات عدة، في الجبر والهندسة

• فالمحدد يمثل اقتراناً يربط كل مصفوفة مربعة بعدد حقيقي
• ويفاد منه في حل أنظمة المعادلات، وفي إيجاد النظير الضربي للمصفوفة المربعة
• وسوف تقتصر دراستنا في هذا الدرس على إيجاد محدد المصفوفات المربعة من الرتبة الأولى، والثانية، والثالثة فقط.

إذا كانت أ = [ أ$_{١١}$ ] فإن | أ | = أ$_{١١}$

إذا كانت أ = $\begin{bmatrix} أ_{١١} & أ_{١٢} \\ أ_{٢١} & أ_{٢٢} \end{bmatrix}$

فإن | أ | = $\begin{vmatrix} أ_{١١} & أ_{١٢} \\ أ_{٢١} & أ_{٢٢} \end{vmatrix}$ = أ$_{١١}$ × أ$_{٢٢}$ - أ$_{٢١}$ × أ$_{١٢}$

محدد مصفوفة من الرتبة الثانية

اختر أي صف أو عمود لحساب المحدد

خمس خصائص تسرّع حساب المحدد

يلزمنا في كثير من الحالات حساب قيم المحددات بصورة سريعة، وخاصة عندما تكون المدخلات أعداداً كبيرة

• عند تبديل صف مكان صف، أو عمود مكان آخر، فإن قيمة المحدد تضرب بـ (-١).
• فمثلاً | $\begin{bmatrix} ٤ & ٣ \\ ٥ & ١ \end{bmatrix}$ | = (-١) | $\begin{bmatrix} ٣ & ٤ \\ ١ & ٥ \end{bmatrix}$ |
• يمكن إخراج عامل مشترك من أي صف، أو أي عمود.
• (بإخراج العدد ٣ كعامل مشترك لمدخلات الصف الثالث وضربه بمحدد المصفوفة الناتجة)
• إذا أضيف للمدخلات أي صف، أو أي عمود مضاعفات نظائرها في صف آخر، أو عمود آخر، فلا تتغير قيمة المحدد
• (ضرب مدخلات الصف الثاني بـ ٤ وإضافتها لنظائرها في مدخلات الصف الأول)
• إذا تساوت المدخلات المتناظرة في صفين أو في عمودين في مصفوفة فإن محددها يساوي صفراً.
• فمثلاً يكون | $\begin{bmatrix} ٣ & ٦ & ٨ \\ ٢ & ٧ & ٩ \\ ٣ & ٦ & ٨ \end{bmatrix}$ | = ٠
• إذا كانت المصفوفة مصفوفة مثلثية علوية فإن محددها يساوي حاصل ضرب المدخلات على القطر الرئيسي
• فإن | أ | = أ$_{١١}$ × أ$_{٢٢}$ × أ$_{٣٣}$

ما قيمة محدد المصفوفة المربعة التي تحتوي على صف، أو عمود، كل مدخلاته أصفار؟

ضرب المصفوفة بعدد ثابت

إذا كانت المصفوفة أ = $\begin{bmatrix} ١ & ٢ \\ ٣ & ٤ \end{bmatrix}$ فإن:

قيمة | أ | | -٣أ | | ك أ |

محدد حاصل ضرب مصفوفتين

إذا كانت س = $\begin{bmatrix} ٤ & ٥ \end{bmatrix}$، ص = $\begin{bmatrix} ٢ \\ ٣ \end{bmatrix}$، فلإيجاد | س . ص | فإننا نجد س . ص = [٢٣] ومنها | س . ص | = ٢٣ ص . س | ص . س |

تمارين المحددات

جد قيمة كل من المحددات الآتية:

إذا كانت أ، ب مصفوفتين مربعتين من الرتبة الثانية بحيث إن: | ٣أ | = ٥٤، | أ . ب | = -١٢ فما قيمة | ٢أ | + | ٥ب |؟

إذا كانت أ = $\begin{bmatrix} س & ٢ \\ ٢ & س \end{bmatrix}$، وكان | أ$^٣$ | = ١٢٥، فما قيمة / قيم س؟

إذا علمت أن معادلة المستقيم في المستوى والمار بالنقطتين (س١، ص١)، (س٢، ص٢) تعطى بالقاعدة | $\begin{bmatrix} س & ص & ١ \\ س١ & ص١ & ١ \\ س٢ & ص٢ & ١ \end{bmatrix}$ | = ٠ فاستخدم القاعدة في إيجاد معادلة المستقيم المار بالنقطتين (٣، ٢)، (٥، ٧).

اذكر خاصية/ خصائص المحددات التي استخدمت في كل من المتساويات الآتية:

باستخدام خصائص المحددات أثبت ما يلي: