حل أنظمة المعادلات الخطية باستخدام المصفوفات

المصفوفات تحلّ الأنظمة

وتعرفنا في صفوف سابقة على حل أنظمة المعادلات الخطية (عدد المعادلات = عدد المتغيرات، ولها حل وحيد) بطريقتي الحذف والتعويض، وفي هذا الدرس سنبرز أهمية المصفوفات والمحددات في حل هذه

• الأنظمة، وسنتناول ثلاث طرق:

1. طريقة النظير الضربي*
2. طريقة كريمر*
3. طريقة جاوس

• * يكتفى بحل نظام مكون من معادلتين خطيتين فقط عند الحل بطريقتي النظير الضربي وكريمر.

نشاط ١: يزرع الحاج أبو رفيق أرضه سنوياً بالقمح والشعير، ويبيع المحصول في السوق الفلسطيني، فإذا كان ثمن ٣ أكياس من القمح مع ٥ أكياس من الشعير يساوي ١٤٠ ديناراً، وكان ثمن ٥ أكياس من القمح يزيد عن ثمن ٤ أكياس من الشعير بمقدار ٣٦ ديناراً.

وكتب مصفوفة المعاملات أ = $\begin{bmatrix} \square & \square \\ \square & \square \end{bmatrix}$

النظير الضربي يحلّ النظام

• يمكننا تمثيل نظام من المعادلات الخطّيّة على شكل معادلة مصفوفية، باستخدام ثلاث مصفوفات، هي:

  مصفوفة المعاملات أ، ومصفوفة المتغيرات ك، ومصفوفة الثوابت جـ.

تكون ك = أ⁻¹ . جـ بشرط أن أ مصفوفة غير منفردة (لماذا؟)

ماذا يحدث للإجابة إذا تم تغيير ترتيب المعادلتين هكذا:

$٤$ س + ص = $١$ ، $٢$ س + ص = -$١$

نشاط ٢ : عند حل نظام المعادلات الآتي: $٣$ س - ب ص = $٣$ ، ب س - $٣$ ص = ب، باستخدام طريقة النظير الضربي، حيث ب > $٣$.

1. ما إشارة $|أ|$؟
2. $أ^{-١} = \dots\dots\dots\dots$
3. قيمة ص

كريمر: حلّ بالمحددات

فإننا نجدهما على النحو: س = $\frac{|أ_س|}{|أ|}$ ، ص = $\frac{|أ_ص|}{|أ|}$

• حيث إن: $أ_س$ المصفوفة الناتجة من استبدال عمود معاملات س بعمود الثوابت.
• $أ_ص$ المصفوفة الناتجة من استبدال عمود معاملات ص بعمود الثوابت.

نشاط ٣ : قامت حنين بحل نظام مكون من معادلتين خطّيتين بالمتغيرين س ، ص، فوجدت أن المصفوفة $أ_س$ = $\begin{bmatrix} ٥ & ٢ \\ ١ & -١ \end{bmatrix}$، والمصفوفة $أ_ص$ = $\begin{bmatrix} ١ & ٥ \\ ٣ & ١ \end{bmatrix}$ فإن:

مصفوفة المعاملات للنظام الذي حلّته حنين هي:

جاوس: صفوف المصفوفة الممتدة

لقد قدم الرياضي الألماني كارل جاوس ($١٧٧٧$ - $١٨٥٥$) هذه الطريقة التي تعتمد على تكوين مصفوفة ممتدة (تشمل المعاملات والثوابت في نظام المعادلات)،

• وللحصول على حل للنظام، نجري بعض العمليات على صفوف $\bar{أ}$ ، لنحصل على مصفوفة مثلثية علوية ونجد منها أولاً قيمة المتغير ع ، ثم بالتعويض العكسي نجد قيمة المتغير ص، ثم المتغير س.

تدرّب على الطرق الثلاث

1. حل كلاً من الأنظمة الآتية باستخدام طريقة النظير الضربي:

أ. س - ص = $٣$ $٢$ س + ص = $٦$

ب. س + ص = $٢$ $١٠$ س + ص = $١١$

2. حل أنظمة المعادلات الآتية باستخدام طريقة كريمر:

أ. س - ص = $٥$ س + $٢$ ص = $٢$

ب. س + ص = -$٣$ $٢$ ص + س = -$٢$

3. عند حل نظام مكون من معادلتين خطيتين بالمتغيرين س ، ص بطريقة كريمر، وجد أن:

   أ = $\begin{bmatrix} ٢ & -٣ \\ -١ & ١ \end{bmatrix}$ ، $أ_س$ = $\begin{bmatrix} ٥ & -٣ \\ -٣ & ١ \end{bmatrix}$ ، فجد قيمة س ، ص

4. استخدم طريقة جاوس في حل الأنظمة الآتية:

أ. $٣$ س - ص = $١$ ، س + $٢$ ص = $٥$

ب. س - ص + ع = $٦$ ، س + $٢$ ص + ع = $٣$ ، $٢$ س + ص - ع = $٠$

مراجعة الوحدة

1. إذا كانت أ = $\begin{bmatrix} ٤ & -١ & ٥ \\ ٦ & -٣ & ٩ \\ ٢ & ٧ & -١ \end{bmatrix}$ فما قيمة $أ_{٢١} - أ_{١٣}$ ؟

   أ) $٤$

• ب. -$١$

• جـ. $١$

• د. -$٣$

2. إذا كانت $\begin{bmatrix} ٣ & س \\ ٦ & ٥ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ٣ & ٢ \\ س^٢ + س & ٥ \end{bmatrix}$ فما مجموعة قيم س ؟

   أ) $\{٣ ، -٢\}$

• ب. $\{-٣\}$

• جـ. $\{٢\}$

• د. $\{-٣ ، ٢\}$

4. إذا كانت أ، ب مصفوفتين مربعتين غير منفردتين، فما العبارة الصحيحة دائماً فيما يأتي؟

   أ) $|٢ أ| = ٤ |أ|$

• ب. $|أ + ب| = |أ| + |ب|$

• جـ. أ . ب =

• ب. أ

• د. $|ب . أ^{-١}| = \frac{|ب|}{|أ|}$

5. إذا كان س . ص = ص . س = م ، فما العبارة الصحيحة دائماً فيما يأتي: (س، ص مربعتان من نفس الرتبة)

   أ) $س^{-١} = ص$

• ب. ص مصفوفة منفردة

• جـ. س = ص

• د. س = -ص

6. إذا كانت س مصفوفة بحيث س . $\begin{bmatrix} ١ \\ ٢ \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} ١ \\ ٢ \end{bmatrix}$ فماذا يمكن أن تكون المصفوفة س ؟

   أ) $\begin{bmatrix} ٠ & ١ \\ ١ & ٠ \end{bmatrix}$

• ب. $\begin{bmatrix} ١ & ٠ \\ ٠ & ١ \end{bmatrix}$

• جـ. $\begin{bmatrix} ١ \\ ١ \end{bmatrix}$

• د. $\begin{bmatrix} ١ & ١ \end{bmatrix}$

7. إذا كانت أ = $\begin{bmatrix} ٢ & ٣ \\ ٣ & ٥ \end{bmatrix}$ ، فما المصفوفة التي تساوي $أ^{-١} + أ$ ، حيث $أ^{-١}$ هي النظير الضربي للمصفوفة أ؟

8. إذا كانت أ، ب مصفوفتين مربعتين غير منفردتين

   بحيث إن: |أ . ب| = $١٨$ ، |أ| + |ب| = $١١$ ، وكان |أ| $\ge$ |ب| فما قيمة |أ| ؟

9. إذا علمت أن أ = $\begin{bmatrix} ٢ & ٢ \\ ٣ & -١ \end{bmatrix}$ ، فما قيمة $أ^٢ - أ$ ؟

10. استخدم أحمد طريقة كريمر لحل نظام مكون من معادلتين خطّيتين في المتغيرين س ، ص

    فوجد أن: $|أ_س| = ٢|أ| = -\frac{١}{٢} |أ_ص|$ ، فما قيم س، ص على الترتيب؟

2. إذا كان $\begin{vmatrix} س & ١ \\ ص & ٢ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -١ & ص \\ -٤ & س \end{vmatrix} = ٧$ ، فما قيم س ، ص؟

3. إذا كانت أ = $\begin{bmatrix} -٣ & ٥ \\ -٢ & ٤ \end{bmatrix}$ فجد: أ) $|أ|$ ، $أ^{-١}$ $|٣ أ|$ $(-٢ أ)^{-١}$

4. جد قيم س التي تجعل $\begin{vmatrix} ١ & س & ٢ \\ س & ٣ & س \\ ٤ & س & ٥ \end{vmatrix} = -٩$

5. حل المعادلات المصفوفية الآتية:

$\begin{bmatrix} ١ & ٢ \\ ٣ & ٤ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} س \\ ص \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ٣ \\ ١ \end{bmatrix}$ (باستخدام النظير الضربي) $\begin{bmatrix} س & ص \end{bmatrix} \begin{bmatrix} ٣ & ٠ \\ ٠ & -٢ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} ١ & -١ & ٣ \\ ٢ & ٠ & ٤ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ٤ & -٣ & ١١ \end{bmatrix}$

6. إذا كانت أ = $\begin{bmatrix} س & ٣ \\ ٥ & ٤ \end{bmatrix}$ ، $أ^{-١}$ = $\begin{bmatrix} ٤ & ص \\ -٥ & ٤ \end{bmatrix}$ ، فما قيم س، ص؟

7. إذا كانت أ ، ب مصفوفتين مربعتين غير صفريتين، بحيث أن أ . ب = و ، فأثبت أن:

   إحدى المصفوفتين أ، ب على الأقل ليس لها نظير ضربي.

8. عند حل المعادلتين ن س - ص = $٥$ ، ك س + ص = $٣$ ، ن ، ك عددان حقيقيان لا يساويان صفراً.

   باستخدام طريقة كريمر، إذا كانت $\begin{vmatrix} ٦ & ٥ \\ ٢ & ٣ \end{vmatrix}$ تمثل محدد $أ_ص$ جد قيمة:

• أ. ن ، ك

• ب. س ، ص

9. إذا كانت $أ^{-١}$ = $\begin{bmatrix} ١ & ٢ \\ ١ & ٣ \end{bmatrix}$ فجد (أ$^٢$)$^{-١}$ ، $(أ^{-١})^٢$ (ماذا تلاحظ؟)

10. استخدم طريقة كريمر لحل نظام المعادلات: $٣$ س + $٢$ ص = -$٤$ ، $٥$ ص + س = $٣$

11. استخدم طريقة جاوس في حل النظام الآتي:

    س - ص + $٤$ ع = $٩$ ، $٢$ س + $٣$ ص + $٢$ ع = $٢$ ، $٣$ ص + س - ع = -$٤$

12. إذا كانت $\begin{vmatrix} س & ٢ & ١١ \\ ٠ & -٤ & ٩ \\ ٠ & ٠ & \frac{١}{٢} س \end{vmatrix} = -٥٠$ ، فجد قيم س مستخدماً خصائص المحددات.

13. أُقيم ذاتي: أُعبر بلغتي عن المفاهيم الأكثر إثارة في هذه الوحدة.